книги из ГПНТБ / Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем
.pdf2 0 |
М А Т Р И Ц Ы |
[ГЛ . I |
элементами которой служат алгебраические дополнения эле ментов матрицы А, а именно:
ац |
. . . |
öi /_1 |
а1 /4 -і |
|
• |
п |
at- |
1 1 . . . |
1j—i at—1/4-і |
. . |
at—1 |
||
fli+l |
I . . . |
ai4-i j—i |
а;-)-1 /-и |
. |
• |
Q/+1 |
^ЛІ |
. .. |
Q-n/—і |
ап/4 -і |
|
• |
&nn |
|
|
( i . / = 1. 2, |
. |
■, |
n). |
|
Из теории определителей известно, что сумма произве дений всех элементов некоторого столбца (строки) определи теля на алгебраические дополнения соответственных эле ментов другого столбца (строки) равна нулю, а сумма произ ведений всех элементов столбца (строки) определителя на алгебраические дополнения соответственных элементов то го же столбца (строки) равна данному определителю:
|
2 |
üikAjk — 8ц |
|
|0, |
і Ф ІЛ |
|
|
|
|
4=1 |
|
бц |
|
|
|||
|
Л |
Abidin = |
8ц IА |
И, |
f - y j |
■ |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
*=1 |
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая это, легкоиустанавливаем основное свойство |
||||||||
присоединенной матрицы: |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
ААС= АСА = \А |£ . |
|
|
(5.1) |
||
§ 6. |
Обратная матрица |
|
|
|
|
|
||
Квадратная матрица В называется обратной данной |
||||||||
квадратной матрице А, если |
|
|
|
|
|
|||
|
Е — единичная |
В А ^ А В ^ Е , |
|
|
|
(6.1) |
||
где |
матрица |
соответствующего |
порядка. |
|||||
Матрица, |
обратная |
матрице |
А, обозначается через |
А~К |
||||
На основании свойства определителя произведения |
ма |
|||||||
триц |
|
1 л -1И Л I = [Л[| л -1! = 1 |
|
(6.2) |
||||
|
|
|
||||||
(определитель единичной матрицы равен 1). Отсюда ясно, что, во-первых, обратную может иметь только матрица,
§ 7] |
Т Р А Н С П О Н И Р О В А Н И Е М А Т Р И Ц Ы |
21 |
определитель которой отличен от нуля, во-вторых, опре делитель обратной матрицы тоже отличен от нуля и, в-тре тьих, определители матриц А и Л-1 — взаимно обратные числа:
И-І-тѴ
Итак, обратную может иметь только невырожденная мат рица.
Всякая невырожденная матрица имеет обратную. В са мом деле, как это следует из равенств (5.1), обратной для матрицы А является, например, матрица
А~1= - щ - А с. |
(6.3) |
Каждая матрица может иметь только одну обратную. Действительно, пусть матрица С удовлетворяет, как и мат
рица Л-1. условиям (6.1). Тогда
С = СЕ = С (АА~') = (СА)Л~‘ = ЕА~1= А~\
что и доказывает единственность обратной матрицы. Матрица, обратная произведению двух невырожденных
матриц Л и В, определяется равенством
{AB)-' = ВГ1А~\ |
(6.4) |
В самом деле, умножая обе части равенства
(AB)-' AB = Е
справа на произведение обратных В~'А~', сразу получаем (6.4).
§ 7. Транспонирование матрицы и переход к сопряженной матрице
Рассмотрим прямоугольную матрицу Л = (аг;) с раз мерами т X п.
Матрица Л' = (а],-) с размерами п X т называется тран спонированной по отношению к матрице Л, если а*,- =
Матрица Л* = (а*,-) с размерами п X т называется со пряженной (или эрмитово сопряженной) по отношению к
матрице Л, если a'ki — aik, где alk — число, комплексно
2 2 |
М А Т Р И Ц Ы |
[ГЛ . I |
сопряженное элементу aik. В частности, для скалярной ве личины а, которую можно рассматривать как матрицу с
размерами 1 X 1, а* = а.
Операции транспонирования и перехода к сопряженной матрице обладают следующими легко доказываемыми свой ствами:
1) |
(А')' = А, |
|
(Л*)* = |
А, |
2) |
(А + В )’ = А' + В', |
(А + В)* = |
Л* + В*, |
|
3) |
(аАу = аА', |
(аА)* = |
аА*, |
|
4) |
(AB)' = В’А’, |
(AB)* = |
В*А*. |
|
Кроме того, для квадратных матриц |
|
|||
5) |
(Л -1)' = |
(Л'Г\ |
И-1)* = и |
т \ |
6) |
<МЛ' = |
с1е1:Л, |
<іеі:Л*=с1еіЛ. |
|
Если матрица Л совпадает со своей транспонированной (Л = Л'), то матрица Л называется симметрической. Ес ли же Л совпадает со своей сопряженной (Л = Л*), то она называется эрмитовой. Симметрическими и эрмитовыми матрицами могут быть только квадратные матрицы.
§ 8. Блочные матрицы
Прямоугольную матрицу
П1 П2
Л =
ій /п і О.m2 • ■• &г
горизонтальными и вертикальными линиями можно рассечь на прямоугольные клетки (блоки):
Каждый из блоков (субматриц) Ац представляет собой некоторую прямоугольную матрицу (и, в частности, число)
S 8J |
БЛОЧНЫЕ МАТРИЦЫ |
|
23 |
||||
с размерами т1 X щ\ например, |
|
|
|
||||
|
а и |
•• а 12 |
а 1з |
Яі.|\ |
(Ап |
Л і2 \ |
|
|
а 2і |
; #22 |
а 23 |
||||
|
% | |
= |
I |
|
|||
|
а 31 : а 32 |
Й33 |
J |
|
^ 2 1 |
А22/ |
|
где |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Аи |
аіі> А12 = (а12 |
«13 |
а 14). |
А21 |
-(7' |
||
|
|
|
|
|
|
|
\Раі. |
і 23
^22 ~
В частности, матрица может быть рассечена только го ризонтальными или только вертикальными линиями. При этом блочная матрица будет иметь соответственно вид
Л = |
или А = (Аг А2 |
A t). |
Сокращенно блочную матрицу обозначают так:
А = (Лар)5і/.
Рассмотрим две матрицы А и В одинаковых размеров и с одинаковым разбиением на блоки, т. е.
Д ^ І |
А а |
^12 |
... |
л,д |
|
|
/ В и |
В 12 |
• • • В и'' |
|
“^21 |
“^22 |
... |
А» |
|
|
В 21 |
В 22 |
••••• |
В % |
|
|
■ • • |
“ 2Г I |
с |
= |
“ |
^22 |
|
|||
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
А si |
A s2 |
• ■■ A st / |
|
|
\ B s l |
B s2 |
|
Bs |
|
и матрицы Лар и имеют одинаковые размеры та X щ (а = 1, 2, ..., s; ß = 1, 2, ..., t). Тогда в соответствии с правидом сложения матриц
/ Ап -f- Ви |
^i2 4* В12 . . . |
А -р Ви |
|
А-{- В — А2і + |
В21 |
А22+ В22 . . . |
Лг/ Т- B2t |
\Л 5і + |
Bs1 |
А$2 Bs* • ■• |
Ast -j- В5t |
Таким образом, операция сложения над блочными мат рицами одинаковых размеров с одинаковым разбиением на
2 4 |
М А Т Р И Ц Ы |
[ГЛ. I |
блоки производится формально так, как если бы вместо бло ков стояли числовые элементы.
Для того чтобы правило умножения матриц можно бы ло перенести на блочные матрицы, необходимо, чтобы все горизонтальные размеры блоков в первом сомножителе сов падали с соответствующими вертикальными размерами бло ков во втором сомножителе. Иными словами, если
и, кроме того, число столбцов блока Лав равно числу строк блока Вб\з (а = 1, 2, ..., s; ß = 1, 2, и; б = 1, 2, ..., f), то возможно перемножение матриц А и В формально так, как если бы вместо блоков стояли числовые элементы:
где |
AB - |
С = |
(СаР), |
|
|
|
|
t |
|
|
|
Cal3 = 21 ЛхбЯбЗ |
(а = |
1, 2, |
.. . , s; ß = 1, 2, . . ., и). |
6=i
Квадратная матрица, у которой все элементы, располо женные под (над) главной диагональю, равны нулю, назы вается верхней (нижней) треугольной матрицей.
Аналогичные понятия вводятся и для блочных матриц. Блочная матрица
|
/( Ап |
А12 |
■•■• А\р |
А = |
А.п |
А-22 |
■■■ а 2р |
|
|
|
|
|
\\ А>і |
Ар2 |
• • ■ Арр |
называется верхней (нижней) квазитреугольной матрицей,
если все диагональные блоки и сама матрица А — квадрат ные матрицы, а все недиагональные блоки, расположенные под (над) диагональными блоками,— нулевые матрицы.
Блочная матрица А = (Ац) называется квазидиагональной, если все диагональные блоки и сама матрица А — квад ратные матрицы, а недиагональные блоки — нулевые мат рицы. Квазидиагональная матрица является частного вида квазитреугольной матрицей.
♣ 8] |
Б Л О Ч Н Ы Е МАТРИЦЫ |
25 |
Определитель квазитреугольной матрицы А = (Ац)ррсвя зан с определителями диагональных блоков соотношением
р |
|
det А = П det Ац. |
(8 .1) |
і= і |
|
Докажем это. |
матрицу |
Рассмотрим сначала квазитреугольную |
|
|
|
Qr-4-1 п |
|
А о .) — |
|
|
По определению |
|
||
det А = |
2 |
( - |
'*"*..... Ѵ а і*.а2 *. • • • a„ka. |
|
.....fen= ‘ |
|
|
|
kftk} (Іфі) |
|
|
Так как /112 = |
0, то из |
всех произведений alk,a2k.... ankn |
|
могут быть не равны нулю только те, в которых индексы klt k2, ..., kr принадлежат множеству !, 2, ..., г. Вследствие
этого остальные индексы kr+{, kr+2, |
kn могут |
при |
нимать значения только из множества г -+- 1, г + 2, |
..., п. |
|
В этих условиях число транспозиций элементов, необходи мых для приведения перестановки 1, 2, ..., п к расположе
нию |
klt k2, ..., kn, равно сумме числа транспозиций элемен |
||
тов, |
необходимых для приведения перестановки 1, 2, |
..., г |
|
к расположению kx, k2, ..., |
kr и числа транспозиций, необ |
||
ходимых для приведения перестановки г + 1, г + 2, |
п |
||
к расположению kr+\, kr+2, |
К -’ |
|
|
І(Йд, k2, • . . , ka) |
’ • * J^r) ^2 (^ H - b kr-\-2» • • • j ^vz)* |
2 6 |
|
М А Т Р И Ц Ы |
[ГЛ. I |
|
Учитывая это, находим |
|
|
||
det А = |
2 |
2 |
(— 1)'’ <kl.... кг}+'* (ft'+ ...... .. ^ |
|
*і.....ftr=l fcr+1..A„>=r+1 |
|
|
||
|
k^kj ѴФ!) |
|
|
|
|
К Йій, |
• . . ßrkr@r+l |
= |
|
= |
2 |
(— l / ' (fel’ |
кг>аІА, • • • |
^ |
|
А...... Аг=1 |
|
|
|
|
А(Ѵ=А/ №*/> |
|
|
|
к2 ( _ и ' - (*'+'.... v fl,+1Vfi . .. flnft
fcr+l..fen= r+'
А,-**/ ('¥=/)
Отсюда
det A = det An det Л22. |
(8.2) |
Рассматривая в общем случае матрицу
согласно (8.2) будем иметь det А = det Аи det Л32. Матри
ца /122 снова квазитреугольная. Проделав над ней ту же операцию, получим
det А = det Ап det А22det А33.
После р — 1 таких шагов придем к соотношению (8.1). Таким же путем может быть доказано равенство (8.1) при менительно в верхней квазитреугольиой матрице.
S 9] |
Л И Н Е Й Н Ы Е П Р Е О Б Р А З О В А Н И Я И М А Т Р И Ц Ы |
2 7 |
§ 9. Линейные преобразования и матрицы
Пусть т величин уг, у2, ..., ут выражаются линейно и однородно через л других величин хг, х2, ..., хп:
Уі = |
Сцлу + |
а12х2+ |
• • • |
+ а,пхп, |
|
|
у2= |
|
“f" ^2 2 - ^ 2"Ь |
* * * |
"Ь &2 пХп, |
(9.1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ут— ат\ % 1 |
+ |
ат2 Х2-(-••• |
+ атпХп. |
|
||
Преобразование величин хг, х2, ..., хп в величины уг, у2, ..., ут посредством равенств (9.1) называется линейным преобразованием.
Система равенств (9.1) эквивалентна одному матричному равенству
в чем легко убедиться, выполнив умножение матриц в пра вой части этого равенства и приравняв друг другу соответ ствующие элементы матриц, расположенных слева и справа от знака равенства. Обозначая
можно вместо (9.1) записать коротко: |
|
У = Ах. |
(9.2) |
Таким образом, линейное преобразование (9.1) одно значно определяет матрицу А и, обратно, всякая матрица А определяет некоторое линейное преобразование одной си
стемы чисел в другую. |
в свою очередь |
выража |
|
Допустим, что хг, х2....... хп |
|||
ются через величины z1, z2, ..., zp |
посредством |
равенств |
|
Xi = bllZl + b12z2+ |
■■■ |
+ b lpzp, |
|
^2 = &2A + b2 Ä + |
••• |
+ b 2pZp, |
(9.3) |
|
|
|
|
*я — bnfii A- bnSZ%+ |
• • • |
+ bnpZp. |
|
2 8 |
М А Т Р И Ц Ы |
[ГЛ . 1 |
Можно |
tji, у2, .... Ут непосредственно выразить через |
|
zlt z2, |
Zp. Для этого нужно с помощью равенств |
(9.3) |
исключить хх,х 2, ..., хпиз равенств (9.1). В результате полу чим
|
Уі ~ |
С1121 + |
C12Z2+ |
' • ' |
+ С\Р2р. |
|
||
|
Уі “ |
^2121“Ь ^2222 “1 |
' ' * “Н |
|
|
|||
где |
Ут— Cm\Zi -f- Cm2Z2 + |
■• • |
+ |
CmpZp, , |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
П |
aikbki |
(i = |
|
|
|
|
|
|
Cij = 2 |
1,2, . . . , m; |
/ = 1,2, . . . |
, p). |
|||||
fe=l |
|
|
|
|
|
|
(9.5) |
|
В самом деле, учитывая, что (см. (9.1) и (9.3)) |
||||||||
|
||||||||
|
|
п |
|
|
р |
|
|
|
|
Уі —■2 |
QikXk, |
хк = |
2 |
bkjZj, |
|
||
|
|
k = 1 |
|
|
/=і |
|
|
|
последовательно |
получаем |
|
|
|
|
|||
п |
р |
П |
р |
|
|
|
|
|
Уі — k=\ |
i=1 ^kjZj = fc=l /=I |
|
== |
|
p |
|||
|
|
|
|
P |
n |
|
||
|
|
|
= |
2 |
2 |
Z/ = |
2 ci/2/> |
|
|
|
|
|
|
ft=i |
|
/=1 |
|
откуда и следуют соотношения (9.4), (9.5).
Эту операцию можно выполнить также, используя мат ричные обозначения. Полагая
вместо (9.3) будем иметь |
|
X = Bz. |
(9.6) |
Подставляя (9.6) в (9.2), получим |
|
у = ABz = Сг, |
(9.7) |
где С — матрица с размерами т X р, элементы которой, в соответствии с правилом умножения матриц, определяются формулой (9.5).
§ 9] |
ЛИНЕЙНЫ Е ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И МАТРИЦЫ |
29 |
||
Допустим, что квадратная матрица А порядка п, опре |
||||
деляющая |
линейное |
преобразование |
|
|
Уі = ацх1+ |
аі2х2 + |
■■■ + аіпхп |
(г = 1 , 2 , .. . , п), |
(9.8) |
— невырожденная матрица. Тогда система алгебраических уравнений (9.8) может быть разрешена относительно xlt х2, ..., хп при любых Ух, у2, ..., Уп- согласно правилу Кра мера
|
|
а п . .. |
а,\ j— 1 |
У1 |
CL\ /+і . . . |
Q\n |
|
|
X ,- |
1 |
а21 . . . |
Ü2 /—I |
У2 |
Ü2/ + і .. . |
0-2п |
• |
|
Ml |
|
|
|
|
|
|
||
Отсюда |
|
а п1 |
• • - |
@п/—1 |
Уп |
&п/+1 ■• • |
&пп |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*/ = |
I |
- 2 |
А„уі |
(/ = |
1,2.......... |
п ), |
(9.9) |
|
|
Ml |
і= |
і |
|
|
|
|
где Att — алгебраическое дополнение элемента |
аг/ |
матри |
||||||
цы А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
В матричной записи (9.9) |
принимает вид |
|
|
|||||
или, если учитывать (6.3),
* = А~'у.
Этот же результат немедленно следует и из матричного равенства
Ах = у
после умножения обеих частей этого равенства слева на мат рицу А~1.