книги из ГПНТБ / Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем

10 П Р Е Д И С Л О В И Е

формальное решение исходной системы, сумма же конечного числа первых членов ряда может рассматриваться как приближенное решение системы. Таким образом, в этой час­ ти нашли свое отражение идеи Н. М. Крылова и Н. Н. Бо­ голюбова по асимптотическому интегрированию дифферен­ циальных уравнений с введением медленного времени.

Третья часть книги посвящена теории устойчивости про­ цессов. Предлагается одна постановка задачи об устойчи­ вости процессов на заданном промежутке времени и ука­ зываются пути построения критериев устойчивости реше­ ния линейной системы и, допуская некоторое отклонение от темы, решения нелинейной дифференциальной системы по линейному приближению.

В конце книги представлена весьма краткая библиогра­ фия. Пришлось отказаться от мысли приведения скольконибудь полного перечня работ, посвященного тем довольно разнообразным по характеру вопросам, которые затронуты в книге, и ограничиться перечислением некоторых моногра­ фий, а также небольшого числа журнальных статей, имею­ щих непосредственное отношение к излагаемому материалу.

Автор

Строчные и столбцовые матрицы иногда будем называть векторами.

Сокращенно т X «-матрицу будем обозначать (аік)тп или же одной прописной (или строчной) буквой, например Л, имея в виду, что А = (aik)mn.

Прямоугольная матрица, у которой число строк и число столбцов одинаковы, называется квадратной матрицей. Число п, равное числу строк (столбцов) квадратной матри­ цы, называется ее порядком. Место расположения элементов ап (і = 1,2, ..., п) квадратной матрицы (а(к)пп называется

главной диагональю. Определитель

квадратной матрицы с п2 числами из числового поля ZK есть сумма п\ членов (— ....V al!tl a2k, ...ank , каж­

дый из которых соответствует одному из п\ различных пере­ становок klt k2, ..., kn, полученных t попарными транспо­ зициями элементов из множества 1,2, ... п. Число п есть порядок определителя. Определитель квадратной матрицы принято сокращенно обозначать через | А | или det А. Итак, по определению

§ 2] С Л О Ж Е Н И Е М А Т РИ Ц И У М Н О Ж Е Н И Е М А Т Р И Ц Ы НА Ч И СЛ О 13

в частности, главным минором является ее определитель. Если среди миноров прямоугольной матрицы А с разме­ рами т X п имеется отличный от нуля минор порядка г, в то время как все миноры более высокого порядка равны нулю, то число г называется рангом этой матрицы. Очевидно, что г<;«г, п. Ранг невырожденной матрицы совпадает с ее порядком. Ранг вырожденной матрицы меньше ее порядка.

§ 2. Сложение матриц и умножение матрицы на число

Для матриц с одинаковыми размерами т х п вводится операция сложения матриц, определяющая сумму матриц.

Суммой прямоугольных матриц А = (аі7) и В — (Ьи) оди­ наковых размеров т х п называется т х «-матрица С = = (сц), элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц А и В, т. е.

С = А + В,

если

сц = ац + Ьц (г = 1,2, . .. , «г; } = 1,2, .. . , «).

Операция сложения матриц обладает переместительным и сочетательным свойствами:

2)(А + В) + С = А + (В + С);

здесь А, В, С — прямоугольные матрицы одинаковых раз­ меров.

Матрица, все элементы которой совпадают с нулем (по­ ля Ui), называется нулевой матрицей.

Если А — произвольная прямоугольная матрица с раз­ мерами т X «, а О — нулевая матрица с теми же размерами,

то

A + О = A.

Разность двух прямоугольных матриц с одинаковыми размерами определяется равенством

А — В = А -f- (— В),

где (—В) — матрица, составленная из элементов матрицы В, взятых с обратным знаком.

Две матрицы А и В равны друг другу тогда и только тогда, когда они одних и тех же размеров и их соответствую­ щие элементы равны между собой, т. е.

ац = Ьц (/ = 1,2, .. . , т; / = 1,2, . . . , п).

Множество всех прямоугольных матриц с одинаковыми размерами с операцией сложения, введенной выше, представ­ ляет собой аддитивную группу. Роль нуля в этой группе выполняет нулевая матрица, а элемента, противоположного данному элементу В,— матрица— В.

Произведением матрицы А — {ац) на число а из Ui назы­ вается матрица С = (с,у), элементы которой получаются из соответствующих элементов матрицы А умножением на число а, т. е.

С = а А,

§ 3. Умножение прямоугольных матриц

Для двух матриц, между размерами которых имеет место определенное соотношение, указываемое ниже, вводится операция умножения матриц, определяющая произведение двух матриц. Произведение матриц А и В обозначается либо через AB, и в этом случае говорят, что матрица А

слева умножается на Л), либо через 5Л — матрица ß спра­ ва умножается на Л (или, что то же самое, матрица Л слева умножается на В). Говоря «произведение матрицы Л на В», мы будем иметь в виду результат умножения матрицы Л справа на В (или, что то же самое, результат умножения матрицы В слева на Л), т. е. AB.

Произведением AB двух матриц Л и В называется мат­ рица С, у которой элемент сц, стоящий на пересечении г'-й строки и /'-го столбца, равен произведению і-й строки матрицы Л на j-й столбец второй матрицы В. В свою оче­ редь произведение строки на столбец определяется как сумма произведений соответствующих элементов строки и столбца, а именно:

Операция умножения строки на столбец, определяющая произведение строки на столбец, применима тогда и только тогда, когда число элементов строки (первого сомножителя) равно числу элементов столбца (второго сомножителя). Поэтому операция умножения матрицы Л на матрицу В применима тогда и только тогда, когда число столбцов матрицы Л равно числу строк матрицы В.

Итак, пусть

и п — т! . Тогда

AB = С = (сц),

где

П

Сц — 2 &іФкі Ü — 1, 2, . .. , tn, j 1,2, ... п).

Матрица С = AB имеет столько строк, сколько строк в матрице Л, и столько столбцов, сколько столбцов в матри­ це В, так что если Л и В имеют соответственно размеры т х X п и п X I, то С имеет размеры т х /. Матрица С — AB в свою очередь может быть умножена справа на матрицу D,

(

= AB + АС.

Переместительным свойством умножение матриц не об­ ладает. Действительно, пусть, например,

Тогда

Ясно, что AB Ф ВА.

Если AB = ВА, то матрицы А и В называются переста­ новочными или коммутативными.

Квадратная матрица

О

Л =

О •

'п

все элементы которой, не лежащие на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной. Для диагональных матриц применяется обозначение: diag (^, К,..., К)-

Умножение прямоугольной т X п-матрицы А справа на диагональную матрицу Л порядка п сводится к умножению столбцов матрицы А на соответственные диагональные эле­ менты матрицы Л. Умножение л х (7 -матрицы А слева на диагональную матрицу сводится к умножению строк матри­ цы А на соответственные диагональные элементы матрицы Л.

Диагональная матрица, все диагональные элементы ко­ торой равны между собой, называется скалярной матрицей. Умножение матрицы А на скалярную матрицу diag (а, ...

..., а) сводится к умножению всех элементов матрицы А на число а,т. е. умножение какой-нибудь матрицы на скалярную