книги из ГПНТБ / Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем

S 2] И Н В А Р И А Н Т Н Ы Е П О Д П Р О С Т Р А Н С Т В А 71

Многочлен г|з (Ä.) называется аннулирующим многочленом матрицы А, если выполняется равенство (1.9).

Как видим, аннулирующий многочлен пространства R, в котором введен линейный оператор А, является аннули­ рующим многочленом матрицы, отвечающей этому операто­ ру. Минимальный аннулирующий многочлен пространства является минимальным аннулирующим многочленом матри­ цы, отвечающей линейному оператору А.

§ 2. Инвариантные подпространства векторного пространства

Подпространство /?х пространства R называется инва­ риантным относительно линейного оператора А , если ARx а /?х, т. е. А х £ Rx (Ѵ х £ /?х).

Если Rx — инвариантное относительно А подпространст­

£ Rx и А х £ Rx следует, что А 2х £ Rx, и, вообще, А кх £ £ Rx, и, значит, для любого многочлена f (к) с коэффициен­ тами из поля ді f(A)x £ Rx- В частности, подпространство, инвариантное относительно оператора А , инвариантно и относительно оператора А — кЕ. Для оператора А — кЕ имеет место и обратное утверждение, а именно, если х £ /?х

и(А — кЕ) X £ Rx, то

АX = {А — кЕ) X -f- кх £ Rx-

Ле м м а 2.1. Пусть I — подпространство простран­ ства R и Р — проекционный оператор, осуществляющий проектирование R на I, т. е.

PR = I.

Для того чтобы подпространство I было инвариантным, относительно линейного оператора А , необходимо и доста­ точно, чтобы

Д о к а з а т е л ь с т в о . Н е о б х о д и м о с т ь . Пусть / — инвариантное относительно А подпространство. Тогда для произвольного вектора х £ / имеем

А х = у $ 1 .

Отсюда, учитывая, что х = Р х (л: £ /), получим

АР х = у

идалее, в силу соотношения (2.1),

РА х = у,

т. е.

Ру = у.

Из последнего равенства следует, что у £ /. Лемма до­ казана.

Рассмотрим какое-нибудь расщепление пространства R на два подпространства / х и / 2:

Каждому расщеплению (2.2) соответствуют два проек­ ционных оператора Р г и Я, (/^ — оператор, осуществляю­ щий проектирование пространства R на подпространство Іг параллельно подпространству / 2, а Р 2 — оператор, осуще­ ствляющий проектирование пространства R на подпростран­ ство / 2 параллельно / х).

Пусть /j — некоторое фиксированное подпространство пространства R. Существует бесчисленное множество под­ пространств / 2, удовлетворяющих соотношению (2.2). Это значит, что даже при заданном / х расщепление (2.2) прост­ ранства R неоднозначно. Рассмотрим, например, двумерное векторное пространство. Некоторая прямая /, проходящая через О в / ? , выделяет одномерное подпространство Іг. Любая другая прямая, проходящая через 0, но не совпадаю­

будем иметь соответствующую пару проекционных опера­ торов Р х и Р 2. Эти операторы всегда удовлетворяют соот­ ношениям

(Рі + Р2) х = х

Л е м м а 2.2. Пусть пространство R расщепляется на два подпространства А и А :

Р — А + А

причем А — подпространство, инвариантное относительно линейного оператора А . Для того чтобы дополнительное подпространство І 2 было также инвариантным относи­ тельно оператора А, необходимо и достаточно, чтобы

где Р2 — проекционный оператор, осуществляющий проек­ тирование R на / 2 параллельно подпространству / ѵ Имеем

т.е. P t — действительно проекционные матрицы.

Всилу равенств (3.2) и (3.3) пространство R расщепляет­

ся на два подпространства:

перестановочны с А. Поэтому согласно лемме 2.1 подпрост­ ранства /, (г = 1, 2) инвариантны относительно операто­ ра А.

Остается показать, что фх и ф2 служат соответственно

многочлен подпространства І ъ а х — произвольный вектор

Фі (Л)ф2(Л )* = ф2 (Л)ф1(Л)дг1+ Фі(Л)ф2(Л)л:2 = 0. Так как последнее соотношение выполняется для любо­

го вектора х из R, то фх (к) ф2 (А,) является аннулирующим многочленом этого пространства и потому делится без остат­ ка на минимальный многочлен пространства фх (А.) ф2 (А,). Следовательно произвольный аннулирующий многочлен

подпространства / х — фх (А) — делится на аннулирующий многочлен фх (к) этого подпространства. Значит, фх (к) — минимальный многочлен подпространства Іг. Тем же путем устанавливается, что ф2 (к) есть минимальный многочлен подпространства / 2. Теорема доказана.

Минимальный многочлен ф (к) разложим на неприводи­ мые в поле üi множители:

Ф(*) = [фі(Ь)]'* ГФ (Л-)]'» ••• ІФшМ]''"-

в поле дг многочлены со старшими коэффициентами, равны­ ми единице.

Тогда, как это вытекает из теоремы 3.1, пространство R

нимальный многочлен вектора ец есть делитель многочлена

ф,-(X), поэтому есть многочлен вида [ср, (А) ]^/ (р,- С lt). Но минимальный многочлен пространства есть наименьшее общее кратное минимальных многочленов базисных векто­

многочленом одного из базисных векторов вп, е-л, ..., е^с

Обозначим этот вектор через е('>.

Рассмотрим теперь два подпространства Д и Д с мини­

мальными многочленами ф,- (X) = [ср,- (к) 1^ и ф;- (к) = [cp;- (X) ]г/. Эти многочлены взаимно просты и являются минимальными многочленами для векторов е{і) £ Д и ell">£ Д соответст­ венно.

Многочлен ф; (X) ф;- (X) является аннулирующим для век­ тора е = е(/) + е(/). Действительно,

Фс (Л) ф/ (Л) е = ф/ (А ) ф,- (Л) е(і>+ ф< (Л) ф/ (А ) е<'> = 0.

Покажем, что этот многочлен является минимальным аннулирующим многочленом вектора е<;) + е(і).

Пусть ф (X) — произвольный аннулирующий многочлен вектора ew + е(,). Тогда

ф (Л) е<0 + ф (Л) е(/) = 0.

Воздействуя на это равенство оператором ф,- (Л), полу­ чим

ф( (Л )ф (Л) è(/) = 0.

Значит, ф, (X) ф (к) — аннулирующий многочлен вектора и потому делится на минимальный аннулирующий мно­

§ 4] С Р А В Н Е Н И Я 79

А

В силу свойств 1) и 2) множество всех классов R есть век­ торное пространство над полем Ж. Роль нуля в этом про­

странстве выполняет класс 0.

Будем считать, что векторы х х, ..., х р линейно зависимы

ах = а2 — ... = ар = 0, то векторы x lt х 2, ..., х р линейно независимы.

Пусть размерность пространства R равна п, подпрост­ ранства I равна т. Выясним, какова размерность п про­

странства R. Векторы x lt х 2, ..., х р пространства R будем называть линейно зависимыми, если в Ж существуют такие числа а1г а2, ..., ар, не все равные нулю, что

..., ет, Ху, ..., Xп-т — какая-нибудь система п линейно неза­

висимых векторов из R. Рассмотрим классы х х, х 2, ..., х п—т, соответствующие векторам х х, х 2, ..., х п- т. Все эти классы различны.