книги из ГПНТБ / Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем
.pdf1 2 0 П Р Е О Б Р А З О В А Н И Е М АТР И Ц Ы [ГЛ V
Составляющие матрицы U:
'2
и 1 = /с а м 1 = ' 3
У, = /С,А Д =
— 16 8 — 4 12
б) Приведем теперь матрицу U к диагональному виду. Для этого разобьем собственные значения на четыре группы:
id) |
1. |
Л(2) = - |
1, |
= |
2, |
|
^(4) |
= — 2. |
|
|
Ax(t/) = (i/- |
1(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( — 12 |
|
12 |
— 24 |
36 |
||
|
|
|
|
— 18 |
|
18 |
■- 3 6 |
54 |
||
|
|
|
|
— 24 |
24 |
- 4 8 |
72 |
|||
Примем |
|
|
|
V— 12 |
|
12 |
•- 2 4 |
36 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* і = і |
|
|
|
|
|
|
|
Да (U) = |
(U - |
Х(']Е,) (iU- |
Я(3>£ 4) (U - |
%{4)Е,) |
- |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
/ ° |
0 |
— 18 |
36' |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
— 24 |
48 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
— 30 |
60 |
Примем |
|
|
|
|
“ |
I1ѴО 0 |
— 18 |
36 |
||
3
§ 8] РАЗЛОЖ ЕНИЕ КВ АДРАТН О Й М АТРИ ЦЫ НА СОСТАВЛЯЮ Щ ИЕ 121
Д 3 (1/) = (U - X^EJ (U - ХтЕ,) (U - Х(І)Е,) =
Примем
|
Кя = |
|
|
|
|
|
|
|
|
Д4 (U) = ( f J - Х(1)Е4) (U - |
Х{2)Е,) (U - |
Х^Е,) = |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
/ — 24 |
О |
О |
24N |
||
|
|
|
|
|
— 36 |
0 |
0 |
36 |
|
|
|
|
|
|
— 24 |
0 |
0 |
24 |
|
Примем |
|
|
|
\ — 12 |
О |
О |
12, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К, = |
|
|
|
|
|
|
|
|
Преобразующая матрица |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К = (K^KsKi) = |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
( 1 |
— 1 |
2 |
- 3 \ |
|
|
|
||
A4 = ЛГ1= |
0 |
0 |
— 1 |
|
2 |
1 |
|
|
|
— 3 |
2 |
— 1 |
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
V |
1 |
- 1 |
/ |
|
|
|
||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
УИ1 = (1 — 1 |
2 - 3 ) , |
м , == (0 |
0 |
— |
1 |
2), |
|
||
/И3 = (—3 2 |
—1 |
2), |
М 4 == (1 |
0 |
0 |
|
- 1 ) . |
||
122 |
П Р Е О Б Р А З О В А Н И Е |
М А Т Р И Ц Ы |
|
|
|
[ГЛ. V |
|||||
Без вычислений ясно, что |
Лх = |
^(1) |
= 1, |
Л2 = |
Я,<2) |
= —1, |
|||||
А3 = Л(3) = |
2, Л, = |
ы _ |
—2. Поэтому |
|
|
|
|
|
|||
|
|
/1 |
0 |
0 |
0' |
|
|
|
|
|
|
|
Л = |
1 0 |
— 1 0 |
0 |
|
|
|
|
|
||
|
0 |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
\о0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
0 |
0 — 2, |
|
|
|
|
|
|||
Составляющие матрицы U: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Г 3 |
— 2 |
4 |
- б |
\ |
|
|
||
Ux = К.АіМу = |
— 3 |
6 |
— 9 |
|
|
||||||
4 |
— 4 |
8 |
— 12 |
|
|
||||||
|
|
|
\2 |
— 2 |
4 |
- 6 |
у |
|
|
||
|
|
|
/ ° |
0 |
3 |
— |
6 \ |
|
|
|
|
U2 = КА*М . = |
о |
0 |
4 |
— |
|
|
|
||||
, 0 |
0 |
5 |
|
8 |
1 |
|
|
||||
|
|
|
— |
10 Г |
|
|
|||||
|
|
|
\0 |
0 |
3 |
|
|
|
|||
|
|
|
— |
6 У |
|
|
|
||||
Ua = К А .М , = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
\ — 6 |
4 |
- 2 |
|
4 |
|
|
||
|
|
|
/ |
4 |
0 |
0 |
4\ |
|
|
|
|
U4 = К4А4М4= |
— 6 |
0 |
0 |
6 1 |
|
|
|
||||
|
|
|
— 4 |
0 |
0 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
СМ |
0 |
0 |
У |
|
|
|
|
§ 9. Матрицы ортогонального проектирования |
|
|
|||||||||
Введем в рассмотрение матрицы |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Ръ = КоМа |
(а = |
1,2, |
. . . . р), |
|
(9.1) |
|||||
где Ка, М а — матрицы, фигурирующие в разложении |
(8.1). |
||||||||||
Матрицы |
Ра инвариантны |
относительно |
Ко- |
Действи |
|||||||
тельно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ра = КаМа = KoNaNö' Ма = КаМ0 = Ра.
§ 9] |
М А Т Р И Ц Ы О Р Т О Г О Н А Л Ь Н О Г О П Р О Е К Т И Р О В А Н И Я |
123 |
Непосредственной подстановкой выражёния (9.1) в (8.1) получаем
UPa = PCU = и а |
( а = 1 , 2 .......... |
р). |
Как видно, с помощью матрицы Ра можно выделить ор тогональную составляющую Ua матрицы U, соответствую щую изолированной группе о собственных значений этой матрицы.
Отметим еще следующие равенства, справедливость ко торых устанавливается без труда:
Ao(U)Po = PoAo(U) = Ao(U) |
( о = 1 , 2, . . . , |
р). |
|
С использованием равенств (3.5) легко доказывается, |
|||
что Ра (а = |
1,2, ..., р) — проекционные матрицы, |
удовле |
|
творяющие соотношениям |
|
|
|
Р'а — Р а |
( 0 = 1 , 2 , . . . , / ? ; |
т = 1, 2, . . . ), |
|
A PPS = ° |
{зфа), |
|
,(9.2) |
а—1 |
|
|
' |
Вышеизложенное позволяет чисто алгебраическим пу тем построить проекционные матрицы Ра (о = 1 ,2 .......р). Хорошо известно другое представление проекционных матриц, а именно, матрица, ортогонально проектирующая п-мерное векторное пространство R на £0-мерное инвариант
ное подпространство |
Ra, соответствующее |
изолированной |
||
группе собственных значений Х\а\ |
XfK ..., |
матрицы U, |
||
равна (см., |
например |
[54]) |
|
|
Pa = ^ |
r j>Q,En- U ) - xdX |
( а = 1 , 2 |
......... р), (9.3) |
|
|
Ѵ<т |
|
|
|
где уа — спрямляемая замкнутая дуга, проходящая в комплексной плоскости на положительном расстоянии от собственных значений (спектра) матрицы U и отделяющая
собственные значения К\а), XfK ■■■> от остальных соб
ственных значений матрицы U.
Свойства матриц (9.3) вполне аналогичны свойствам матриц (9.1), т. е. матрицы (9.3) удовлетворяют равенствам
(9.2).
124 |
П Р Е О Б Р А З О В А Н И Е |
М А Т Р И Ц Ы |
[ГЛ. V |
||
Мы покажем, что, более того, |
|
|
|||
2^ - $ |
ß E n - U)~l dX ^ |
КоМо |
( о = 1 , 2 ..........р). (9.4) |
||
Уа |
|
|
|
|
|
Пусть |
|
|
|
|
|
|
N = |
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
NP_ |
|
— квазидиагональная |
матрица, |
приводящая |
квазидиаго |
||
нальную |
матрицу А |
к |
нормальной форме Жордана |
||
J= diag (Jlt J2.......Jp). Тогда, принимая во внимание (3.9)
и(3.7), получим
(ХЕп - U )-'= [К (ХЕП- А) М }-'= [KN (ХЕ„- J) N-'M}~'=-.
= AT'N (XEn — JГ 1N~'K~l = KN (XEn- J)~l N~lM.
Отсюда
(XEn- U)-1= Y KSNS (XEks- Jsr ’ NJ' M4. (9.5)
S=1
Матрицы Js являются квазидиагональными матрицами, диагональные блоки которых представляют собой клетки
Жордана j \s):
Js = diag (J\s)).
В соответствии с этим |
|
(XEki - Js)~l = diag (XEksi - |
(9.6) |
Обозначим через y\s) контур, содержащий внутри себя собственные значения клетки Жордана Jjs) (которые, ко нечно, одинаковы), а через у|5) — контур, который не со
держит внутри себя собственных значений матрицы J |s) и проходит на положительном расстоянии от них.
$ 9] |
М А Т Р И Ц Ы О Р Т О Г О Н А Л Ь Н О Г О |
П Р О Е К Т И Р О В А Н И Я |
125 |
||||||||
Покажем, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
<f>( Щ з1 - |
As)r ' dX = |
2niEksl, |
|
(9.7) |
||||
|
|
|
v}«> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ |
|
|
= 0. |
|
|
|
(9.8) |
|
|
|
|
v{*> |
|
|
|
|
|
|
|
|
Действительно, обозначая общее значение равных соб |
|||||||||||
ственных значений |
матрицы jf* |
через |
Xf\ |
будем |
иметь |
||||||
|
|
|
X _ |
x f ] |
— 1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
X — X\s) |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
о |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. - 1 |
|
|
|
|
|
о |
о |
|
|
|
|
X — Х‘*\ |
|
Обратная |
матрица: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
- [ ( Х - х ? У * ~ !£ьзі + |
|
|||||
|
|
|
(X — X(.s) Asi |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
+ (X - |
x\s)p ‘- 2Hks[ + |
|
|
|
||||
|
|
+ |
(Я. - |
Х?У*‘- 3НІ5І + |
. . . |
+ (X - |
Х \у н у - 11 |
||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нks l~ l |
|
(ХЕк$і |
J[ |
) |
■- х Eksi_ X(S) |
+I■^ _^ Я(5))+ .- |
|
|
|||||
- |
- |
+ (Я — Ajs))As,-' |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.9) |
Здесь |
Hksl — квадратная |
матрица |
порядка |
ksh все эле |
|||||||
менты которой равны нулю, кроме элементов первого после главной диагонали косого ряда, которые равны единице (матрица сдвига).
126 П Р Е О Б Р А З О В А Н И Е М А Т Р И Ц Ы [ГЛ. V
Проинтегрируем обе части равенства (9.9) по некоторому
замкнутому контуру у. Получим |
|
|
|
ф № * - J l T ' л . = |
£,,, ф |
, |
(9. Ю) |
V |
V |
1 |
|
так как |
|
|
|
^ |
= 2.3, |
...). |
|
V |
|
|
|
Если у = y,-s), то контурный интеграл в правой части равенства (9.10) равфн 2лг, и мы получаем соотношение
(9.7). Если же у = y*.s), то этот интеграл равен нулю, и,
значит, справедливо и другое соотношение — (9.8). Учитывая (9.6), (9.7) и (9.8), находим
(( (X£ft(J — Ja)~l dk = 2ліЕко, |
(9.11) |
|
Vo |
|
|
(kEks - Jsr ' dX = 0 |
(s=£o). |
(9.12) |
Vo |
|
|
Наконец, используя равенства (9.5), (9.11) и (9.12), будем иметь
^ Ф ( 7 £ Л- Н Г ' Л =
Ѵо
2лі |
S |
KsMs(f-(KEks- J sr ' d l N T ]Ms |
|
Vo |
|||
|
S = 1 |
= -2ЙГ K°N° № о - ^ Г ' dXNö'Mo = КаМа = Ра.
Vo
Таким образом, соотношение (9.4) доказано.
В заключение этого параграфа укажем способ преобра зования матрицы U к квазидиагональному виду в случае, когда собственные значения какой-нибудь изолированной группы неизвестны.
Пусть, например, неизвестны собственные значения, включенные в последнюю группу (группу р). Мы можем построить матрицу Ар (U), поскольку остальные собствен ные значения матрицы 0 предполагаются известными, а значит, можем построить и Рр.
§ ІО] О П Р И В Е Д Е Н И И |
К |
К В А З И Д И А Г О Н А Л Ь Н О М У |
В И Д У |
127 |
Из последнего равенства (9.2) находим |
|
|
||
р—l |
Po == Р—р — Ел Рр- |
|
|
|
^ |
|
|
||
0=1 |
|
|
и Рр обра |
|
Линейно независимые столбцы матриц |
||||
зуют матрицу (К-рКр), |
преобразующую матрицу U к ква |
|||
зидиагональному виду |
|
|
|
|
причем собственными значениями матрицы Л_р являются известные собственные значения матрицы U, включенные в первые р — 1 групп. Таким образом, задача по приведению матрицы U к квазидиагональному виду в соответствии с раз биением ее собственных значений на р групп сводится к задаче по приведению к квазидиагональному виду матрицы Л _ р в соответствии с разбиением ее собственных значений (известных) на р — 1 группу.
§10. О приведении к квазидиагональному виду
иразложении на составляющие одной матрицы
специального вида
Рассмотрим квадратную матрицу и и матрицу U, опре деленную равенством
Такое соотношение, в частности, встречается при пере ходе от системы дифференциальных уравнений второго по рядка к системе уравнений первого порядка.
Будем предполагать, что и — матрица простой струк туры порядка п. Заметим, что отсюда не следует, что U так же будет матрицей простой структуры.
Выясним прежде всего, в каком соотношении находятся собственные векторы и собственные значения матриц и и U.
Пусть ѵ1( ѵ2...... ѵ„ — собственные значения, а кѵ щ, ...
..., кп — соответствующие собственные векторы матрицы и. Введем следующие обозначения:
128 |
П Р Е О Б Р А З О В А Н И Е |
М А Т Р И Ц Ы |
[ГЛ . |
V |
||
где |
|
|
р, = х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В соответствии с этим будем иметь |
|
|
||||
|
№ |
= |
б|/ = 10, |
і ф ! , |
|
|
|
|
|
Ь . |
П * = /, |
|
|
|
\ljU X j = |
Vj, |
|
|
|
|
|
|
|
|
/ = 1 |
|
U, |
Допустим, |
что |
/( / — собственный вектор |
матрицы |
|||
отвечающий собственному значению Xj. Представим К в виде
|
К , = |
<(1> |
|
|
|
,<2) |
|
||
|
|
|
||
где х<'> — некоторый |
«-мерный |
вектор |
(матрица-столбец). |
|
По определению |
и к , = к,к,, |
|
||
или |
|
|||
|
|
|
|
|
\Еп |
0 Д х < 2>/ |
J\x<27 |
||
Отсюда |
— ux<2' = |
ЯухО), |
(ЮЛ) |
|
|
||||
|
х<» = |
^.х<2>. |
(10.2) |
|
Подставив (10.2) в (10.1), получим |
|
|||
|
ш<<2>= — |
2). |
(10.3) |
|
Равенство (10.3), очевидно, будет удовлетворяться, если |
||||
|
= Kj, |
|
|
|
X j ^ - V i |
|
(/ = 1 , 2 , -----n). |
||
Таким образом, каждому собственному значению ѵ/ мат рицы и соответствуют два собственных значения матрицы U, которые даются формулами
l!» = i K r a ( c o s Ä ä - + ism JSIS .),
(1 0 .4 )
= і К Ы ( с о з З і У |
і + ism ИІЖ + bL y |
(где i = У — 1 — мнимая |
единица.) |
§ in] О П Р И В Е Д Е Н И И |
К К В А З И Д И А Г О Н А Л Ь Н О М У |
В И Д У 129 |
||
Из (10.2) находим |
|
|
|
|
и'” = |
иУ’ = |
|
||
так что собственным значениям (10.4) матрицы U отвечают |
||||
соответственно два |
собственных |
вектора |
|
|
^,/, = |
( ^ 4 ) , |
' \ у |
(10.5) |
|
линейно независимых |
при любом ѵ:ф 0 . |
|
||
Аналогичным путем для транспонированных собствен ных векторов транспонированной матрицы U' получим сле дующие выражения:
М\п = (ц, Х\%),
м Р = (Ц/ ^Ѵ /).
Легко видеть, что
М(ЛК<5) = 0 ( ( o - s ) 2-|-(/ — г)2# 0 ) . Если Ѵу Ф 0, то удобнее принять
Мі<Я = 2ЛрГ
|
|
|
(10.6) |
м У)==^Щ п^і |
Я*Ѵ/)- |
||
При этом будем иметь |
|
|
|
М\а)к?] = ÖU&OS |
(/, г = |
1, 2; |
о, s = 1, 2, . . . , п; |
|
ѵ<ц |
|
|
|
м Р и к Р |
= яУ>. |
|
Если ѵ/ Ф 0 (/ = |
1, 2...... п), то квадратная матрица по |
||
рядка 2п, составленная из 2п собственных векторов (10.5), преобразует матрицу U к диагональному виду.
При наличии нулевого собственного значения матрица U уже не может быть приведена к диагональному виду, ибо векторы (10.5) становятся линейно зависимыми.
В этом случае U может быть преобразована к квазидиа гональному виду. С этой целью введем в рассмотрение прямо
угольные матрицы |
щ |
0 |
0 |
|
|
Кі |
(10.7) |
||||
О |
у.. |
Иі |
|||
|
|
Б К. А. Абгаряа