книги из ГПНТБ / Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем

ференциальных уравнений

A ( t ) ^ - = B(t)x + f(t)

(0.1)

определить М и Л, используя соотношения (1.4) и (1.5).

Пусть Ко, Ад, Мо (ст = 1, ..., р) — построенные таким

путем матрицы. Тогда выражения KaNa,

N 7xN0Na,

где

Na — произвольная невырожденная

матрица порядка

ko,

представляют общий вид матриц, осуществляющих раз­

ложение (1.2). Соответственно, если N — квазидиагональ­

общим выражением матриц, преобразующих

матрицу

U

к квазидиагональному виду.

Ко,

Для дальнейшего представляют интерес те матрицы

которые нужное число раз дифференцируемы на

промежут­

ке [О, L). Вопрос о дифференцируемости матрицы Ко тесно

ХІ'\ ..., Xi'1 и

Хр1, ..., Хщ*.

В

соответствии с

этим

много­

член А (X) можно представить в виде

Д (X) =

Дх(Х) Д2 (X),

(1.8)

где Aj_ (X) — многочлен степени k

с

корнями

Х[1),

...,

Х*,1’,

а Дг (X) — многочлен

степени

т с

корнями XS2),

...,

Хт.

Пусть

+ ak—\ (т) X 4- ak(т),

Ді(Х) = Х

-f-a1(r)Xft

+

1

(19)

Аг (X) — X

+

ßj (т) Xm

1+ •••

-)- ßm_i (т) X + ßm (т).

I

Имеет

место следующая

Л е м м а

1.1. Если на промежутке [О, L]

(X) яв­

1) коэффициенты

а/ (j =

1 / ... ,

п)

многочлена

Д

ляются I раз дифференцируемыми функциями от т (1 >

1) и

2)

|Я/(1)(х) — Я,)8>( т ) | > 0

(1.10)

(/ = 1,

1,

. . . . т),

сто неравенства (1.1). Условия леммы, таким

образом, вы­

полняются. Согласно лемме

коэффициенты

многочлена

Аа(к) дифференцируемы по

крайней мере

столько раз,

186

А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Е

Р А С Щ Е П Л Е Н И Е

С И С Т Е М Ы

ІГЛ . V III

вида:

А(%, е ) - ^ - = В(т, г)х + f(t, г, е)

(т = et).

(2.1)

Здесь А (т,

е),

В (т,

е) — квадратные матрицы порядка л,

допускающие разложение по степеням параметра е:

А (Г, 8) =

2

е Ч

(*),

В (х, е) =

I

е Ч

(х)

(2.2)

k=0

А=0

(г б [О, Ц).

При Ak (x) =

Bk (т) s

0 (k — 1, 2,...)

и

е =

1

уравне­

ние (2.1) принимает вид (0.1).

на

сегменте

0

с

т

■< L

Т е о р е м а

2.1.

Пусть

а) f (t,

г,

е) — непрерывная

вектор-функция,

регулярная

относительно е в окрестности точки

г — 0,

б) матрицы

Ak (х),

Bk (т)

(k =

0,

1,2,...)

имеют производные по х всех

порядков, а

Л0 (х),

кроме того,

является

невырожденной

матрицей.

Тогда,

предполагая, что собственные

значения

матрицы U (х) =

ЛсГ1(х) В0(х) разбиты на р групп ?ча), . . .

. . . , XjfJ |ог =

1......... p - ^ k a = n j при условии,

что

\Kila)( x ) - X f )(T)\>0

(2.3)

(s ф а;

і = 1 ,

. . . , А : а; / = 1, . ..

,

ks; х g

[0,

Ц),

формальное решение системы (2.1)

можно представить так:

X =

2

г) уо,

(2.4) .

а=і

где уо (а =

1,2,

...,

р) есть решения уравнений

L

= Ла (X, е) У о

+ Mo ( X ,

е) R (х, е) / (t,

х, е)

(2.5)

(ст= 1,

.. . ,

р),

а Ко,

Ла,

Mo,

R

— матрицы

типа

соответственно

п X ko,

ka X ka,

ko X n,

n

X n,

представляемые

5 2]

П О С Т Р О Е Н И Е Ф О Р М А Л Ь Н О Г О

П Р О Ц Е С С А

187

формальными рядами

Ко (т, в) =

2 гкК1ок] (т),

л„(т, е) =

2

е‘Л ?] (т),

fc=0

*■—"

(2.6)

УЙСТ(т, е) =

2

(т),

/? (т, е) =

J

М-

А=0

А=0

Д о к а з а т е л ь с т в о . Подставим

выражение

(2.4)

в

(2.1) и используем при этом равенства (2.5):

р

d K G (т,

е)

Л ( т ,

б ) 2

dx

Уа -Ь Ко (т, е) Ла (т, е) Уо +

СГ= 1

+

Ко (t, е) Mo (Т, е) R (х, е) / (t, т, е)

=

В (х, е) ^ Ко (г, е) уа+ f (t, г,

е).

а=1

А (т,

dK„ (х, е)

~

В(Х, е) Коіу, е ) (2.7)

е) -------- ^

-------------- Ь К о ( т , е ) А о

( т , е )

( 0 = 1 ,

р),

л (т,

е) 2

К

е) Кіо (т, е) /? (т, е) —

f(t, т, е) = 0. (2.8)

ст=І

одинаковых степенях

е . Получим

А — 1

j f t ' t * — ѵ — Ч /

*

А — ѵ

£

А

№

„т - +

£

А, (X)2 Й* - ѵ-д (X)Л И (X) =

ѵ=0

ѵ=0

/= О

=

p

/

( T ) i ( ' M ] (T)

( 0

= 1, . . . , р ; k = 0, 1, 2, ...). (2.9)

/ - 9

188

А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Е

Р А С Щ Е П Л Е Н И Е С И С Т Е М Ы

[ГЛ V III

Равенства (2.9) умножим слева на Ло1 и, учитывая, что

AöxB0 =

U, представим их в виде

и (Т) K la ](Т) =

Kik] (т) Л™ (т) +

у

А

- ' 1 (г) Ад/] (г) +

+

Ао1(т) ^

Аѵ- 1(t)

ак[к- ѵЦх)

■ßv (T) K[cA' Vl(T) +

âx

k—V

Ѵ = 1

+

V

Лѵ(т)А А ѵ~ /](тА ' А )

Наконец,

обозначив

(0 =

1, ...J ,

p\

£ = 0 , 1 , 2 ,

Й Ы 1(т) =

^ Ѵ а М

( т ) 4 Л (T) +

/=І

+

Л^1(т)

*

Лѵ-І (Т) -

/r)

-

в ѵ (т) /йА_ѵ] (Т) +

V

- dx

k — V

ѵ = I

+

V Лѵ (т) К1а Ѵ

(т) А^1 (т)

( 0 = 1 .......... р), (2.10)

/= О

будем иметь

U (т)

А ° ] (т) =

А ° ] (т) А о 1 (X).

У (т) К1о ](т) =

(т )А ^

(т) + /^0] (т) №

(т) + А *“ 11 (г)

( 0 = 1 .......... р\

k = 1,2,

.. .).

(2.11)

Пусть А =

(/<і (т) ... Ар

(т)) — матрица,

преобразующая

при условии (2.3) квадратную матрицу U к квазидиагональ-

ному виду

А

(т)

•

О

А(Ѵ =

І

р

•

л

р (т)'

S 2]

П О С Т Р О Е Н И Е Ф О Р М А Л Ь Н О Г О П Р О Ц Е С С А

189

^Сс] (т) = Ко (т),

А^0] (т) = А0 (т)

(а = 1.........р). (2.12)

В самом деле, используя равенства (1.2) и (1.3), имеем

UKla] = и Ко = 2

К А М Д а = КаАа =

S=1

Пусть /Са°], Ла°]; . . . ; Как

Лп*

|] уже найдены. При

этом Da*-1-1 будет

известной матрицей. Определим

и

Умножим

(k +

1)-е равенство

(2.11) слева на М. Полу­

чим

Qla ]Ac + M K cA ^ +

MDlak~l\

AQaft] =

(2.13)

Здесь

Q W = M K la \

(2.14)

Матрицу

, состоящую из n строк и ka столбцов,

коагулируем

(разобъем

на блоки)

следующим образом:

Лф а1= Qlc]A„ +

+ м Л к~']

(S =

1.......... р).

Отсюда, принимая

во внимание равенства

(1.3),

полу­

чаем

A(;Q!£] =

Q&]A + Л ^1+

(2.15)

ASQSC] = (ф А 0 + М Л ~ 1]

(s Фа).

(2.16)

Из (2.15) непосредственно находим

Л™ = AoQao — Qao]Aa —

(2.17)