Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

17.28 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 4415 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

140	М А Т Р И Ц Ы		И
где
U =
~ 0		Е
0		0
0		0
L- L T ' L k		о1 1	1•се

§ 3. Норма матрицы

Л И Н Е Й Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я

[ГЛ. VI

0		0		0
Е		0		0
0		0		Е
—Lo 'Z-*_2•	1	1о	еч	- 1 о ~
	1	1о	еч

Нормой прямоугольной матрицы А = (щ,) (в частности, и столбцовой, и строчной матриц) называется неотрицатель


ное действительное число \|\|А \|\|, удовлетворяющее					условиям:
1) NА I >		0, если А Ф 0, и \|\| А \|\| =		0, если / 4	= 0 ;
2)	I Л +	В I < I А I + I В \|\|;		поля Эг);
3)	I ХА I =		I XIIА I (X — число из	поля Эг);
4)	II AB I С		I /4 ВI В \|\|.

Условиям 1)—4) можно удовлетворить многими спосо

бами. Например, можно положить
Ц/4\|\| = max 2 1o-jk \|, или \|\|/4\|\| =	max	\|.
І k	k	І
ИЛИ

M l- { ill* /* I* } * .

Норма, определенная последним равенством, называется

эрмитовой (в случае вещественных ац — евклидовой).

Отметим два свойства нормы матрицы:

К	К И П	(3 .1)
I Я/1 -сIIЛII,		(3.2)

где Xj — собственное значение матрицы А.

Свойство (3.1) очевидно, а (3.2) можно установить так. Пусть Ху — собственный вектор, отвечающий собственно му значению Хр

XjXj — Axj.

Переходя к нормам, получаем

ІМ І* /І Ы І ^ ,||< И ||||* /||.

Отсюда, так как xt Ф 0, следует (3.2).

§ 5]	Т Е О Р Е М А С У Щ Е С Т В О В А Н И Я И Е Д И Н С Т В Е Н Н О С Т И	141
§ 4.	Матричные ряды

Рассмотрим последовательность матриц Сг, С2.......С„, ...

(Ср = (elf)) одного и того же типа т х п.

Пределом этой последовательности называется матрица

С = lim Ср== (lim eff)		(i = 1,2.........т\ j = 1,2, . . ., п),
р-+ сх.	р-+ со

если, конечно, она имеет смысл, т. е. существуют пределы

числовых	последовательностей		cj}) elf)	...,	c\f\ ... (i =
= 1,2, ..., m;j		= 1,2, ..., n).
Пусть	Uv	U2, .... Un, ... — матрицы		одного и того же
типа. Матричный ряд
		U y+ U 2+ . . .	+ U p + ...		(4.1)

называется сходящимся, если существует предел последова

тельности его частичных сумм Sy, S2...... Sn, ... (Sp = Uy + ...

• ■■ +	Up).		Предел		этой		последовательности				называется
суммой ряда (4.1).
Наряду с матричным рядом (4.1) введем в рассмотрение
ряд,	составленный				из		норм	матриц	U	=	(u\f) (р =
= 1,	2,	...):	1^11 +11^11 +•+1^1+•								(+2)
			1^11 +11^11 +•+1^1+•								(+2)
Если ряд (4.2) сходящийся, то матричный ряд (4.1) так
же сходящийся.								всех і и	j	\ u\f]\ <С\|\|(У(р)[\|
Действительно,					так	как при		всех і и	j	\ u\f]\ <С\|\|(У(р)[\|
(см. § 3), то согласно						признаку		сравнения		скалярных ря-
			0°					сходящиеся. Следователь-
дов все ряды 2				иП абсолютно				сходящиеся. Следователь-
			р = 1
		с о		/	о о	\
но, ряд		2	U	=	2	ии і	также сходится.
		р = 1		. +	= і	/

§5. Теорема существования и единственности

Те о р е м а 5.1. Если U (t) непрерывна на t0 С t <: у , то существует единственное решение уравнения

142	М А Т Р И Ц Ы			И Л И Н Е Й Н Ы Е	У Р А В Н Е Н И Я		[ГЛ. VI
удовлетворяющее начальному условию
				х (^о) = с-			(5-2)
Это решение непрерывно и дифференцируемо на і.0 С							t <; Т .
5.1. Существование решения. От дифференциального
уравнения	(5.1)		перейдем к соответствующему интеграль
ному уравнению				t
				t
	X(0 =		с +	f t/ (s)x (s) ds,			(5.3)
				^о
Уравнение	(5.3) будем решать методом					последовательных
приближений. Пусть а'(,ѵ~1) и X(W) — последовательные при
ближения уравнения				(5.3). Тогда
		/		(s) ds	(N =
*<"> (0 =	с +	ff/ (s)		(s) ds	(N =	1,2, 3___ ). (5.4)
Отсюда, полагая x(0>= с, при N =					1 будем иметь
				/
			х(1)— х(0) = f U (s) xmds,				(5.5)
а при N >	1 —			'о
а при N >	1 —			t
Х(Ѵ) _				t	— х(Л,- 2>] ds.
Х(Ѵ) _		<-!) = f U(s)			— х(Л,- 2>] ds.		(5.6)

Из равенств (5.5) и (5.6) вытекают следующие неравенства:

IIЛ-(1)-Х(0)||< j||f / ( S)||||A-(0)||c(S,

(5.7)

||xW _ x(M-l)||< j 1^(5) ЦПх(М -1)_х(М-2)|гі5_ (5-8)

^ о

Нормы векторов и матриц определим так:

11*11=21^1’	1^1 = max 2 \| a,-k\.
і=1	i	k

Из непрерывности матрицы U на замкнутом промежутке U0) Т] следует ограниченность ее нормы. Пусть

m - шах IU (t) ||;

♣ 6]	Т Е О Р Е М А	С У Щ Е С Т В О В А Н И Я И		Е Д И Н С Т В Е Н Н О С Т И		143
тогда из (5.7) и (5.8) получаем
			t
	\|лД> — *<0>\|\|< j m\c\ds =			m \|[ с I (t — t0),
			и
	IД2>-	Д » I <	I m2\|\|c\\(s~ g ds =		?*№ it -	t0f
и далее по индукции			<0
и далее по индукции
\|\|x'<w) — x{N~[)I •< —			(^ — g w <	(- ^ 4 N	( 7 \ = r - g .

Р яд

“m N T f

2J ivi Л/=1

сходящийся. Действительно, используя признак сходимости Даламбера, будем иметь

m N + ' T ? + ' N I	m T l	-ѵО при УѴ-	оо.
(УѴ+ 1)1 mNT^	N+ 1

Из сходимости ряда последовательно следует равномерная сходимость на [У0, Т] рядов

ZJ NI v	'	’	2 \|\|xW — Д "-»\|\|
			N = 1
и, наконец, ряда
	с о
л-(0) +		(X(W )_X(W-D).		(5.9)
	^

лг=і

Поскольку ряд (5.9) сходится равномерно на [У0, Г], то существует предел последовательности Д0), х(1), ...:

lim x(W) (У) = x(t)

N -У<УЭ
(x(W) есть сумма первых N -\|- 1 членов ряда			(5.9)).
Вейлу равномерной	сходимости последовательнее г,і
х<°), х(\|>...... x[N\ ... в левой и правой частях			равенства (5.4)
можно перейти к пределу	при	N -у оо. В	результате по
лучим	t
	t		(5.10)
X(0 = с -f- j		U (s) X (s) ds.	(5.10)
	ff)

144	М А Т Р И Ц Ы	И Л И Н Е Й Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я	[ГЛ .	VI
	Функция * (t) как	предел равномерно сходящейся		по

следовательности непрерывных функций сама является неп рерывной функцией, и, как это видно из (5.10), она диффе ренцируема и удовлетворяет уравнению (5.1) и начальному

условию	(5.2).		решения.		Л е м м а		Т р о н у -
5.2.	Единственность		решения.		Л е м м а		Т р о н у -
о л л а — В е л л м а н а .		Если q		> 0, и (t) > 0,			о (t) >
> 0 (и (t), V (t) б С (а,		Ь)),	то из	неравенства
	t
	ч({) < с 1+ j' u(s)v{s)ds			( a < t 0, t<^b)			(5.11)
следует	неравенство
	и (0 <	q exp I V (s) ds.
Д о к а з а т е л ь с т в о .			К	(5.11)		имеем
Д о к а з а т е л ь с т в о .			Из	(5.11)		имеем
		и {t)		<1−
	с, -J- ^ « (s) V(s) ds

Умножим обе части последнего неравенства на и (t) и проин

тегрируем от t0 до		t:
	t	и (Г)V (/')dt'		<	I	ü (s) ds.
		и (Г)V (/')dt'

	t Cl+ Jи (s)V (s) ds				и
Отсюда		to
Отсюда		t '	l	i	t
		t '	l	i	t
ln	cx +	I' и (s) V (s) ds		I	<	j' и (s) ds,
и, следовательно,				to		tß
и, следовательно,						t
	t					t
cl +	j и (s) V (s) ds =		и (t) C		cx exp j v (s) ds.
	to					tQ

Лемма доказана.

Пусть х и у — два решения уравнения (5.1), удовлет воряющие одному и тому же начальному условию (5.2). Тогда

t	I
X = с + I”U (s) X (s) ds,	у — с + j U (s) у (s) ds.

§ 5]

ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ

145

Вычитая друг из друга, получаем . t

* — I/ = \ и (s) (х — у) ds.

Отсюда

\х — у\\< [ | £ / ( S) | | | JC — у\ ds

(5.12)

и, тем более,

II* — УІІСсі -1- I ll^ (s) III* y\ds to

для любого положительного числа сѵ Используя лемму, получаем

II* — */||<П е*Р ]' ||^(s)||cfs.

Это соотношение справедливо для любого сколь угодно малого положительного сг Поэтому

II* — УII = о

и, значит,

* = У- Единственность можно доказать и другим путем, не

прибегая к лемме Гронуолла — Веллмана.

Так как х и у — два непрерывных и дифференцируемых решения уравнения, то их нормы на U0, Т] ограничены. Пусть

гп1 = max I-V— t/||.

Из (5.12) находим

II * — i / \ \ < m m 1 (t — t0).

Найденную оценку для || JC — у || снова подставим в (5.12). Получим

! * - ^ < ^ ( * - У а-

Повторяя этот процесс, будем иметь

	II*— У\\<	гп.пг
	II*— У\\<	/і!	$
Полагая я	оо (при t < оо), получаем
	I I * -	0 \| \| <	О .

Значит, I л: — у || = 0 и х = у.

146

М А Т Р И Ц Ы И Л И Н Е Й Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я

[ГЛ . VI

§6. Фундаментальная матрица системы

6.1.Решение матричного уравнения. Построим теперь решение матричного уравнения

	■^- = U{t)X		(6.1)
при начальном условии
	х ( д = с,		(6.2)
где С •— постоянная невырожденная		матрица	порядка п.
Эта задача эквивалентна построению п решений вектор
но-матричного уравнения
	- з г = £/(),		(б-з)
соответствующих п начальным условиям
x(t0) =ci	( і= 1,2,	. . . , п),	(6.4)
где С{ (і = 1, 2, ..., п)	— столбцы матрицы С.

По теореме существования и единственности решения уравнения (6.3) каждому с( соответствует единственное ре шение х( (t). Ясно, что матрица, составленная из этих ре шений, а именно матрица

X = {хгх2 . .. х„),

представляет собой решение матричного уравнения (6.1)

при начальном условии (6.2).					Продиффе
6.2. Формула		Остроградского — Лиувилля.			Продиффе
ренцируем определитель матрицы X (t) =				(xL х2...хп), пред
ставляющей	решение уравнения (6.1) при условии (6.2):
		ЛГц (t) . . .	xlk (t) . .	xln (0
d\X\	Л	dxh (t)	dxjk (t)	dXin(0
dt	Ь	dt	di		di
	/'=1
		xnl (t) ...	Xnk(t)- ..	^nn (0
Но
м	— 2	ui5W Xsk	(/. k = 1,	. . . ,	n),
	s=1

§ 6] Ф У Н Д А М Е Н Т А Л Ь Н А Я М А Т Р И Ц А С И С Т Е М Ы 147

где и/s (s = 1, 2,	п) — элементы /-й строки матрицы U.
П оэтом у
*11	• •	x lk	x ln

d \ X \		n
d \ X \		»	u /^si
£Й	~	2	u /^si
£Й	~	/=1 S=1
		/=1 S=1
		H	1—1
		*

n Л

= 2 2 u ' s *sl . . .

M S=1

*nl •••

	n		n
• •	UjsXsk	•	*	ttjsXsn
	s = 1		S=1
• •	%nk	• •
X l k	*1л
	• x sn		л	n
	• x sn	=	2	2 ^ (
			/ =	1s=l

■

где 8is — символ	Кронекера, и, далее,
d \ Х \	= S « / / ( O I ^ I = Spt/\| X\|*).
dt	/=1
	/=1

Интегрируя последнее соотношение, получим ф о р м у л у О с т р о г р а д с к о г о — Л и у в и л л я :

\Х(і)\ = \Х(і0)\екр \SpU(t)dt. tо*1234

*) Сумма диагональных элементов квадратной матрицы А называется следом матрицы н обозначается через Sp А. След матрицы обладает свойствами:

1)	Sp А =		Sp А',		Sp А + Sp В (А и В — квадратные матрицы одного
2) Sp		(А +	В)	=
и того	же	порядка),
3)	Sp	(аА)	=	а Sp А,
4)	Sp (AB)		=	Sp	(ЕЛ) (Л и В —матрицы типа т Х п и п Х и соот

ветственно).

Первые три свойства очевидны. Последнее свойство можно доказать так. Если Л и В — матрицы с размерами соответственно т X п и п X т, то

А В =		,	2 ° / А	"ft/	Ь		В А - І Я Ь ' ь а Л
		,		"ft/		■ип -			\ ^ j vikukil
		\*=i		/					\ft=i
В соответствии с	этим
	т		п				п	т
Sp (A B ) =	2		2 а,л*« =				2	2	ѵ , * = Sp (BX).
	i=lft=l						i= l i=l

148

М А Т Р И Ц Ы И Л И Н Е Й Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я

[ГЛ . VI

6.3. Фундаментальная матрица. Пусть X — решение матричного уравнения (6.1) при условии (6.2). Покажем, что единственное решение векторно-матричного уравнения

-%Г = и Ф'Х

при условии

.г (д = с

можно представить в виде

(6.5)

(6.6)

(6.7)

где у — постоянная столбцовая матрица.

Отметим прежде всего, что X (t) на любом отрезке [ g t < оо] есть невырожденная матрица. Действительно, в соответствии с формулой Остроградского — Лиувнлля имеем

IX (t) I = IС I exp i Sp U (t) dt. tо

Так как U (t) непрерывна на U0, f], то все ее элементы на

этом промежутке ограничены, и, значит, нигде на [/„, t]

(

exp \ Sp U (t)dt не может обратиться в нуль. Не равен нулю

Іо также |С|, так как по условию С — невырожденная мат

рица.

Значит,

| *(/)|=*0.

Покажем теперь, что выражение вида (6.7) удовлетво ряет уравнению (6.5). С этой целью подставим (6.7) в (6.5). Получим

d X	1 1 ѵ
—	y = UXy.

В силу равенства (6.1) последнее соотношение выполняет ся тождественно. Остается показать, что заданием началь ного условия (6.6) однозначно определяется столбцовая матрица у. Что это так, видно из равенства

X{t0)y = x{t0).

В силу невырожденности матрицы X (і0) последнее уравне ние допускает единственное решение

У= Х~1(*о) X(t0).

(6 .8 )

§ 7] М А Т Р И Ц А Н Т 149

Итак, любое решение уравнения (6.5) посредством матрицы X может быть представлено в виде (6.7). Матрица X назы вается фундаментальной матрицей системы (6.5).

Если X — фундаментальная матрица системы, то про изведение ХВ, где В — произвольная постоянная невырож денная матрица, есть также фундаментальная матрица, так как снова является решением матричного уравнения (6.1), но, конечно, при некотором другом начальном усло вии.

Подставив (6.8) в (6.7), получим
x(t) = K(t, t0)x(t0y,	(6.9)

здесь

K(t, t0) = X (t) Х - ' (t0)

— м а т р и ц а К о ш и . Матрица Коши представляет со бой решение матричного уравнения (6.1) при начальном условии

X{t0) = E.

Матрица Коши не зависит от выбора фундаментальной матрицы. В самом деле, если вместо X (t) взять фундамен тальную матрицу ХВ, где В — постоянная невырожденная матрица, то

к (t, g = X (о ß ß - ' x - 1 ( g = X (о X “ 1 ( g .

§7. Матрицант

В§ 5 было показано, что решение системы (5.1), удов летворяющее начальному условию х (t0) = с = х(0), пред ставляется равномерно сходящимся рядом

	X =		х<°> +	СО	(7.1)
				2 (<"> — <"-»).
Имеем (см.	(5.5)	и	W=1
			(5.6))	t
xu> _ x<°> =	t
	(j и ( g		x ^ d t x = ( u ( g
	in		t	in
	x<2 >_			( g [<» ( g — « »] dtx =
		x m = j u

= \ u { t r) \ u ( t n} d t ^ d t y

К и

и т. д.

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 4415 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
03.11.20234.21 Mб8ba0501.djvu
#
10.05.2024227.33 Кб4Panel.doc
#
29.10.202310.49 Mб7Pushkov N.V. Quiet Sun.pdf
#
29.10.20232.39 Mб5А. А. Якубов библиография.pdf
#
03.11.20232.9 Mб16А.В.Никонов, Л.З.Папернов. - Измерители уровня звуковых сигналов-Радио и связь (1981).djvu
#
25.10.202317.28 Mб22Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf
#
19.10.20232.3 Mб16Абдуллаев, Я. Р. Электромагнитные устройства с индукционной подвеской учебное пособие.pdf
#
25.10.202315.35 Mб27Абелев М.Ю. Слабые водонасыщенные глинистые грунты как основания сооружений 8-й междунар. конгресс по механике грунтов и фундаментостроению.pdf
#
20.10.20237.92 Mб12Абжирко, Н. Н. Влияние вибрации на характеристики радиолокационных антенн.pdf
#
23.10.20236.9 Mб22Абовский Н.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек учеб. пособие.pdf
#
29.10.20232.32 Mб19Абраменко Б.С. Сборник задач по теоретическим основам эксплуатации радиотехнических средств.pdf