книги из ГПНТБ / Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем

Г л а в а III

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Вл-МЕРНОМ ВЕКТОРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

§1. Кольцо линейных операторов

Линейный оператор, который каждому вектору х из п - мерного векторного пространства R относит некоторый век­ тор у из того же пространства R , будем называть

о п е р а т о р о м в R .

Рассмотрим совокупность всех линейных операторов в R . В этой совокупности операции сложения и умножения естественно ввести так. Пусть А и В — операторы, относя­ щие вектору X векторы

z = А В х = Сх.

Эти операции сложения и умножения, как легко проверить,

(-А ).

В силу свойств (1.1) и последнего замечания совокуп­ ность всех линейных операторов в «-мерном пространстве R образует некоммутативное кольцо. В этом кольце имеется единичный оператор Е, который каждому вектору х £ R относит тот же самый вектор:

E x = X .

где А — квадратная матрица порядка «, отвечающая в дан­ ном базисе оператору А.

Линейный оператор А, матрица базисных векторов g и матрица А связаны друг с другом равенством (см. (2.6.9))

Выбором базиса устанавливается изоморфное соответ­ ствие между кольцом линейных операторов и кольцом квад­ ратных матриц «-го порядка. В самом деле, сумме и произ­ ведению двух операторов А и В соответствуют, как это сле­ дует из (1.2), сумма и произведение квадратных матриц А и В, а произведению числа а из Зъ на линейный оператор А отвечает произведение того же числа на матрицу А. Наконец, единичному оператору Е отвечает единичная матрица Е =

=(ö//).§

§2. Матрицы линейного оператора в разных базисах

Рассмотрим в R два базиса g = (ег е2 ... еп) и ^ = = (ві в2 ... еп), связанные друг с другом соотношением

где Т — неособенная квадратная матрица порядка «, и ли­ нейный оператор А, который произвольному вектору х £ R

относит некоторый вектор у £ R. Пусть А и Ах — матрицы линейного оператора А в базисах g и gj соответственно. Тогда согласно (1.2)

Две матрицы А и В, связанные друг с другом соотно­ шением вида (2.3) (или (2.4)), называются подобными.

Таким образом, одному и тому же линейному оператору в различных базисах отвечают матрицы, подобные между со­ бой. Матрица Т, связывающая эти матрицы, является мат­ рицей преобразования координат при переходе от первого базиса ко второму.

З а м е ч а н и е . Подобные матрицы имеют один и тот же ранг, поскольку каждая из подобных матриц полу­ чается из другой путем умножения слева и справа на неосо­ бенные матрицы.

Определители подобных матриц равны друг другу. Это следует из свойства определителя произведения матриц.

§ 3. Обратный оператор

Принимая во внимание, что определитель матрицы ли­ нейного оператора не зависит от выбора базиса в R , можно ввести понятие определителя линейного оператора, подра­ зумевая под этим определитель матрицы линейного опе­ ратора в каком-нибудь базисе. Определитель линейного опе­ ратора, как и определитель матрицы, обозначается симво­ лами IЛ I и det А.

Оператор А называется особенным (неособенным), если

\А I = 0 (соответственно \А 1=7^0). Если оператор неособенный, то 1) из А х = 0 следует х = 0;

в этом базисе. Так как А — невырожденная матрица, то для любой столбцовой матрицы у существует столбцовая матрица

т. е. рассматриваемый (произвольный) вектор у £ R есть вектор вида А х (х £ R). Значит, действительно, векторы А х (Y x £ R ) заполняют все пространство R.

Матрицу А~] линейного преобразования (3.1) можно рассматривать как матрицу, соответствующую обратному

оператору Д“ 1в данном базисе пространства R. Оператор Л~! также является линейным в К и

АА~' = А ~ХА = Е ,

что немедленно следует из двух равенств:

у = А х и х — А ~ 1'у.

§ 4. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора и квадратной матрицы

Вектор X £ R называется собственным вектором ли­ нейного оператора А , а число Я £ ді — его собственным зна­ чением, если

столбцовая матрица, элементами которой служат коор­ динаты вектора х в этом базисе. Имеем, учитывая (1.2),

А X = А %х = %Ах, Хх = XQx = %Хх.

Отсюда в силу (4.1)

&Ах = gta,

Для того чтобы система линейных однородных уравнений (4.3) имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю:

IА — ХЕ I =

Уравнение (4.4) представляет собой алгебраическое урав­ нение п-й степени относительно X и называется характери­ стическим уравнением. Многочлен | А — ХЕ | называется характеристическим многочленом.

Каждое собственное значение X линейного оператора А является корнем характеристического уравнения (4.4). И на­ оборот, каждому корню X уравнения (4.4) соответствует ненулевое решение хъ х2, ..., хп системы (4.3), и, значит,

числу X отвечает собственный вектор х = ^ х сес = &х one-

ственным вектором матрицы.

Уравнение (4.4) имеет не более чем п корней, поэтому линейный оператор А в R имеет не более чем п собственных значений.

S 4] С О Б С Т В Е Н Н Ы Е В Е К Т О Р Ы И С О Б С Т В Е Н Н Ы Е З Н А Ч Е Н И Я 5 5

Пусть 4 — матрица, отвечающая тому же оператору А, но при другом базисе в /?. Матрицы Ах и А подобны:

4 = т ~ 1а т .

Отсюда

4 — ХЕ = Т -'А Т — ХТ~хТ = Т~х (А — ХЕ) Т,

и, следовательно,

| 4 — Х£| = \А — ХЕ\.

Таким образом, подобные матрицы имеют один и тот же хар актеристический многочлен.

Собственный вектор оператора (матрицы) определяется с точностью до произвольного множителя, не равного нулю. Действительно, пусть х — собственный вектор оператора А ,

Данному собственному значению X могут соответствовать и несколько линейно независимых собственных векторов. Если собственному значению X отвечают собственные век­ торы X , у, ...., и оператора А, то любая линейная комби­ нация этих векторов либо сама является собственным век­

Линейно независимые собственные векторы, отвечающие одному и тому же собственному значению, порождают не­ которое собственное подпространство. В частности, каждый собственный вектор порождает одномерное собственное под­ пространство, или собственное направление.

Л е м м а 4.1. Собственные векторы линейного опера­ тора А (матрицы А), отвечающие попарно различным собственным значениям, линейно независимы.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Имеем

Допустим противное, а именно, что в условиях леммы собственные векторыл^, х 2, ..., x k линейно зависимы, т. е. имеются числа аи а2, ..., ak£ Ж, не все равные нулю и

Однако последнее соотношение не может выполняться, так как в левой части, согласно условиям леммы и сделан­ ному предположению о существовании не равного нулю коэффициента ak, все сомножители отличны от нуля. Полу­ ченное противоречие доказывает лемму.§

§ 5. Линейные операторы и матрицы простой структуры

Линейный оператор А в «-мерном пространстве R может иметь не более чем п линейно независимых собственных век­ торов. Если характеристическое уравнение имеет п различ­ ных корней, то оператор А имеет точно п линейно незави­ симых собственных векторов. Если характеристическое уравнение имеет k различных корней (/г •< п), то число ли­ нейно независимых собственных векторов может быть и больше, чем /г, и даже равно п.

§ 5] Л И Н Е Й Н Ы Е О П Е Р А Т О Р Ы И М А Т Р И Ц Ы П РОСТО Й С Т Р У К Т У Р Ы 57

Линейный оператор А в п-мерном векторном пространст­ ве называется оператором простой структуры, если А имеет п линейно независимых собственных векторов.

Пусть А — оператор простой структуры и g lt g 2, g n— линейно независимые собственные векторы оператора А:

Agk = hgk (Â = 1,2, . .. , л). (5.1)

Примем эти векторы в качестве базисных векторов. Если

X = # х ,

где $ = (gigz-.-gn), а X — столбцовая матрица, элементами которой служат координаты вектора л: в базисе $ , то

У=

—столбцовая матрица, элементами которой служат коор­ динаты вектора А х в базисе

Таким образом воздействие оператора простой структу­ ры А на вектор х сводится к «растяжению» составляющих этого вектора по собственным направлениям, порожденным

векторами gi, g e, ■■■, g n>с коэффициентами ^ХД 2, ..., Ъ,п. Соотношения (5.1) эквивалентны одному матричному ра­

венству

где

К

Значит, оператору простой структуры А в «собственном» базисе g lt g 2, ..., ^„соответствует диагональная матрица.

В произвольном базисе оператору простой структуры А соответствует матрица А, подобная диагональной матрице:

А = КАК~1.

Матрица, подобная диагональной матрице, называется

матрицей простой структуры.

Итак, оператору простой структуры во всяком базисе отвечает матрица простой структуры, и наоборот.

§ б. Расщепление «-мерного пространства

Пусть R x и /?2 — подпространства «-мерного простран­ ства R. Если и R 2не имеют общих векторов, кроме нуля, и любой вектор X из R представляется в виде

то говорят, что пространство R расщепляется на два под­ пространства R 1 и Ro или что пространство R разлагается в прямую сумму подпространств R x и R 2.

Это разложение записывают так:

Представление вектора л: в форме (6.1) единственно. Действительно, допуская, что возможно еще другое пред­ ставление

после вычитания (6.3) из (6.1) придем к равенству двух век­