книги из ГПНТБ / Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем
.pdfГ л а в а II
ВЕКТОРЫ, ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА, ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И МАТРИЦЫ
§ 1. Векторы и векторное пространство
Пусть дано некоторое множество R элементов .с, у, Z, ...
и числовое поле ді.
Множество R элементов х , у, z , ... называется линейным пространством, если введены операции сложения элементов и умножения элемента из R на число из ді, т. е.
а) каждым двум элементам х , у £ R поставлен в соот ветствие элемент х + у £ R, называемый суммой элементов
X и у,
б) каждому элементу |
х £ R |
и каждому числу X £ ді |
|
поставлен |
в соответствие |
элементов %х £ R, называемый |
|
произведением числа X на элемент х , |
|||
и эти операции удовлетворяют постулатам: |
|||
1) х |
у = у х (коммутативность); |
||
2) (х + |
у) + z = X + |
(у + z) |
(ассоциативность); |
3) существует нулевой элемент 0 в R такой, что произве дение числа 0 на любой х £ R равно элементу 0:
Ох = 0;
4)I X = х;
5)а (ßjt) = (aß) х;
6) (a -j- ß) X = ax + ßjc;
7) a (x + у) = <zx + a_y.
В дальнейшем элементы x , y , z , ... мы будет называть
векторами, а пространство R — линейным векторным про странством или просто векторным пространством.
Пр и м е р ы.
1.В геометрии, физике, механике рассматриваются н правленные отрезки (векторы), для которых операции сложения и умножения на число (действительное) вводятся
§ ]] В Е К Т О Р Ы И В Е К Т О Р Н О Е П Р О С Т Р А Н С Т В О 31
так. Суммой векторов х н у считается вектор, построенный (при неколлинеарных л: и у) по правилу параллелограм ма (рис. 2.1).
Произведение вектора х на действительное число X есть вектор, направленный в ту же сторону, что и вектор х, если Â .X), и в обратную,— если X < 0, и имеющий длину, равную длине вектора х , умноженной на модуль числа X.
Легко проверить, что введенные таким путем операции сложения и умножения на число удовлетворяют постулатам
зг
1)—7), и, значит, множество всех направленных отрезков есть линейное пространство.
2. Множество всех многочленов, степень которых не превышает натурального числа п, с операциями сложения многочленов и умножения многочлена на число, определен ными обычным способом, есть линейное пространство.
Множество же всех многочленов степени п уже не обра зует линейного пространства, так как, например, степень суммы двух многочленов может и не равняться п. Так,
(*" + 2t + 3) + (— іп + 1) = 2t + 4.
3. Рассмотрим множество векторов, представленных в виде упорядоченных систем п чисел из поля ді. Пусть, на пример, X = {х1гх2, ..., х„). Операции сложения векторов и умножения вектора на число определим так:
(*і*8 |
+ (Уі Уі ... |
уп) = {x1 + IJ, |
х2 + у.2 .. . хп + уп), |
|
<х(х1х і . . . |
х„) = (ослу с а у |
. . . ахп). |
Нулевым элементом является вектор (0 0 ... 0). |
|||
Нетрудно проверить, что постулаты |
1)—7) выполняются. |
Поэтому рассматриваемое множество образует линейное пространство.
Линейное пространство, в котором векторами служат упорядоченные системы чисел, называют численным прост-
ранетом.
3 2 В Е К Т О Р Ы , В Е К Т О Р Н Ы Е П Р О С Т Р А Н С Т В А [ГЛ . II
§ 2. Линейная зависимость векторов
Пусть R — линейное пространство, а х ъ х г, ...,х п, ...— векторы в нем.
Векторы x ltx 2, .... х к называются линейно зависимыми
над полем ді, |
если в этом поле существуют такие числа а и |
||||
а 2....... ак, из |
которых хотя |
бы одно отлично от нуля, что |
|||
|
a^Vj + а2х 2+ |
• • • + |
akx k = °- |
||
Векторы лгх, х 2, .... х кназываются линейно независимыми, |
|||||
если равенство |
|
|
|
|
|
|
ctjATj -)- а.гх |
2- ) - ••• + |
akx k — О |
||
возможно только |
тогда, |
когда а : = |
а 2 = • • • = ак = 0. |
||
Л е м м а |
2.1. |
Если |
в системе векторов x lt х 2, .... x t |
||
линейного пространства |
R |
имеется подсистема линейно |
зависимых векторов, то и сама система линейно зависима.
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть векторы х и х 2, ..., х к |
||
(k <; /) линейно зависимы. |
Значит, |
имеет |
место равенство |
« Л + <у-2х 2+ |
• • • + |
akXk = |
°» |
в то время как среди коэффициентов аи сс2, ..., ак имеется не равный нулю коэффициент. Но тогда справедливо и такое равенство:
“ і*! + • • • + акх к + Од:*-*-! + • • • + О*, = 0,
а это означает линейную зависимость векторов д^, дг2, ..., дг{. Любая система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима, ибо подсистема, состоящая из одного
только нулевого вектора, линейно зависима. Л е м м а 2.2. Если векторы
ХЪ Х2і • • • I х і
линейного пространства R линейно независимы и каждый из них является линейной комбинацией векторов
У ъ У г........ |
Ук 6 R , |
то I с k.
Д о к а з а т е л ь с т в о проведем от противного. До пустим, что I > k. По условию леммы
х і = аау1 + аа у г + ••• +аіку к |
(і = 1,2........ |
/). |
(2. 1)
§ 2] |
Л И Н Е Й Н А Я ЗА В И С И М О С Т Ь В Е К Т О Р О В |
33 |
||
Среди |
коэффициентов аи (і = 1, |
2, |
k) |
непременно |
имеется не равный нулю, иначе х х = |
0, |
а это означало бы |
линейную зависимость векторов х х, х 2, ..., x t. Без наруше
ния |
общности |
можно считать, |
что а и Ф 0. Тогда, разре |
|||
шая |
первое равенство системы |
(2.1) |
относительно у х и ис |
|||
ключая с помощью полученного соотношения |
из осталь |
|||||
ных равенств этой системы, получим |
|
|
||||
Хі = апх х + а-2у 2+ |
• •• + aiky k |
(i = 2, 3, |
(2-2) |
|||
где |
|
|
|
|
|
|
|
а і\ |
’ |
a il |
|
(/ = 2, 3, |
..., k). |
«л = — . |
ач = |
« и ------— «1/ |
||||
|
all |
|
а11 |
|
|
|
Если а2j = |
0 (j = |
2, 3, .... k), то лемма доказана, ибо |
при этом векторы х хи х 2оказались бы линейно зависимыми, а это влечет за собой линейную зависимость системы векто ров х х, ..., x h что противоречит условию леммы.
Пусть среди коэффициентов а 2/- (J — 2, 3, |
k) имеется |
||
не равный нулю, например, |
а 22 ф 0. |
Тогда, исключая из |
|
системы (2.2) у 2, получим |
|
|
|
Хі — сс,і х х -j- <Хі2х 2-j- (ХізУа -f- |
••• - ) - |
о-ікУк |
|
(‘ = 3,4, |
..., k). |
|
|
/Повторяя эти рассуждения, в конце концов придем либо
ксистеме
Хі = |
аЯ-1’*! + • ■• |
-f а(і7-і Хг-і + |
<#Г1)у, + |
• • • |
+ |
||
|
|
|
+ * П |
к |
(і = г, |
.... 0, (2.3) |
|
где |
и a(rj~X) |
~ |
0 (/ = П |
•••> |
£)> либо, |
так |
как по |
предположению I > |
k, к системе |
|
|
|
|
||
Xі — |
-j- <х\2х 2 -(- |
• • • -f- |
х к |
(i = k -f- |
1, ..., /). |
||
|
|
|
|
|
|
|
(2.4) |
В обоих случаях приходим к противоречию, ибо как равенства (2.3), так и равенства (2.4) означают, вопреки условиям леммы, линейную зависимость векторов х х, х 2,...
..., Хі. Значит, / /г, и лемма доказана.
2 К.А. Абгарян
3 4 |
В Е К Т О Р Ы , В Е К Т О Р Н Ы Е П Р О С Т Р А Н С Т В А |
[ГЛ . II |
§ 3. Размерность и базис векторного пространства
Наибольшее число линейно независимых векторов в ли нейном пространстве R характеризует размерность (число измерений) этого пространства. Линейное пространство R называется п-мерным, если в R существует п линейно не зависимых векторов и нет большего числа линейно незави симых векторов.
Линейное пространство, в котором можно найти любое число линейно независимых векторов, называется бесконеч номерным.
Система из п линейно независимых векторов elt е2, |
еп |
|
л-мерного пространства R называется базисом в R. |
|
|
Любой вектор |
X из л-мерного пространства R можно |
|
представить как |
линейную комбинацию векторов базиса. |
В самом деле, поскольку векторы л:, ег, ..., еп линейно зави симы (их число равно л-f 1), то существуют числа а 0>а і.--
..., а„, не все равные нулю и такие, что
аох + |
аіеі + ••• + <*пеп = О- |
(з л ) |
В данном случае |
коэффициент а 0 не может |
равняться |
нулю, так как при этом равенство (3.1) означало бы линей ную зависимость векторов базиса. Поэтому из (3.1) находим
X 1=1 X^ß-y 4“ X2ß2"Ф * * ' "Ф Xnßn, |
(3 ’^) |
где |
|
(*=1 . 2, •••> «)■
СХ-о
Докажем, что хи х2, ..., хп однозначно определяются за
данием вектора х и базиса е1г е2, еп- Предположим, что имеется еще одно разложение векто
ра х:
X = х.ву + х,е2 + |
■■• |
+ хпе„■ |
(3-3) |
Вычитая почленно (3.3) из (3.2), получим |
|
||
{х1— х\) ех-[- (х2— х%) е2-\- |
• • • |
-ф (хп |
хп) еп = 0. |
В силу линейной независимости векторов е1г е2, ..., еп последнее равенство возможно только тогда, когда
хх— хі = 0, х2— х*і — 0, . . . , ха хп — 0.
Отсюда
ас, — дс\ |
{I — 1,2, • • • » к). |
S 3] Р А З М Е Р Н О С Т Ь |
И Б АЗИ С В Е К Т О Р Н О Г О |
П Р О С Т Р А Н С Т В А |
3 5 |
Если ві, е2, ..., |
еп есть базис в л-мерном пространстве и |
||
X = |
х1е1-j- х2е2+ ••• + |
хпеп, |
|
то числа xlt х2, ..., хп называются координатами вектора х
вбазисе ех, е2, е |
п. Слагаемые*^, х2е2, ...,хпепназываются |
||||||||||
компонентами (или составляющими) вектора х . |
|
|
|
||||||||
П р и м е р ы . |
|
|
|
|
Р |
(t) = |
а0 + |
axt + |
|||
1. Множество |
многочленов |
||||||||||
+ • • • + ал_і tn~' |
степени |
не |
выше |
п — 1 |
с |
коэффи |
|||||
циентами из поля ді |
преставляет |
собой |
л-мерное вектор |
||||||||
ное |
пространство. |
Элементы |
і°, |
t, Р....... tn~x линейно |
|||||||
независимы. Любой |
другой |
многочлен |
степени |
не |
выше |
||||||
п — 1 |
есть линейная комбинация |
этих |
|
элементов. |
Коэф |
||||||
фициенты а0, аи ..., |
а„_і можно рассматривать как коор |
||||||||||
динаты вектора |
Р (t) в базисе /°, t, |
..., f ~ l. |
... хп) есть |
||||||||
2. |
Линейное |
пространство |
векторов |
|
(лу х2 |
л-мерное пространство. В самом деле, например, векторы
(10 . .. 0), (0 1 . . . 0), . . . . (00 . . . 1), (3.4)
число которых равно п, линейно независимы, а любой другой вектор (х1х2...хп) представим в виде линейной комбинации этих векторов:
(+ * 2 ... *л) = *і(Ю . . . 0 ) + х 2(0 1 . . . 0) +
+ . . . + * „ (0 0 . .. 1).
Система векторов (3.4) может рассматриваться как базис данного л-мерного пространства.
3. Множество бесконечных последовательностей^^...
...*„...), в котором операции сложения и умножения на число определены соотношениями
( + * , . . . *„ . . . ) + |
( у 1 у 2 |
. . . |
у п . . . |
) |
= |
|
|
|
= (х і + У і х а + |
у |
а |
. . . х „ + |
у п . . . ), |
||
а(х1хя ... |
*„ . . . |
) = |
(о*! а*2 |
|
. .. |
ахп .. |
.), |
образует линейное пространство. В этом пространстве мож но указать любое число линейно независимых векторов. Например, линейно независимыми являются векторы беско нечного ряда
(10 . . . 0 ...), (01 . . . 0 . . . ), (00 . . . 1 . .. ).......... |
(3.5) |
а*
3 6 В Е К Т О Р Ы , В Е К Т О Р Н Ы Е П Р О С Т Р А Н С Т В А [ГЛ . II
так как равенство
о*і (10 ... О |
а2(0 1 |
... О ...) -f- |
■• |
• |
-f- |
|
|
+ а п (0 0 • • • 1 |
• • •) + • • ■ = 0 |
||
может выполняться только тогда, когда |
|
|
|
||
Щ = 0 |
(і = |
1, 2, . . . . п, |
...). |
||
Рассматриваемое пространство является |
бесконечномер |
ным. Базисом этого пространства может служить, например, система векторов (3.5).
Пусть еъ е2, ..., еп — базис в R, а х — вектор из R с ко ординатами хх, х2, ..., хп в этом базисе. Составим из базис ных векторов строчную матрицу g = (ех е2 ■•■■еп), а из чи сел хх, ..., хп — столбцовую матрицу
В этих обозначениях соотношение (3.2) приобретает вид
|
X = |
gx. |
|
|
(3.6) |
Наряду с базисом еи е2, |
рассмотрим второй базис |
||||
в\, е2, .... еп, связанный с первым равенствами |
|
||||
в і = t \ i ß x -f- k l & г Ч" ••■ “Ь к і в п |
(^ = |
1,2, |
... , и ) . |
||
Эти равенства можно представить в матричной записи: |
|||||
где |
gi = |
g Т, |
|
|
(3.7) |
|
( к і |
кг |
.. |
кп |
|
|
|
||||
gi = (е\ е2 ... е'п), |
|
*21 |
кг |
•■■ кп |
|
Т = | |
|
|
|
||
|
|
Ѵ„1 |
кг |
■■* |
^пп |
Учитывая (3.7), будем иметь |
|
|
|
||
X = %х = |
%ххх = gТхх |
|
|
(хх — столбцовая матрица, составленная из координат век
тора X в базисе |
Отсюда следует, что |
|
|
х = 7 Х . |
(3.8) |
Формула (3.8) определяет преобразование координат век тора при переходе от одного базиса к другому.
§ 4 ] |
И ЗОМ ОРФ И ЗМ л -М Е Р Н Ы Х П Р О С Т Р А Н С Т В |
37 |
§ 4. Изоморфизм «-мерных пространств
Линейные пространства/? и R Lназываются изоморфными, если между векторами х пространства /? и векторами х ' пространства /?г можно установить взаимно однозначное соответствие х<г+х' так, что если х<-*х', у <->у', то
1) |
л: + у ** х ' + у', |
|
2) |
Хх <-* Хх' |
(X £ Di). |
_Если пространства /? и /?2 изоморфны и векторам л:, у,...
.... и |
пространства |
R соответствуют векторы х ’,у ', ..., и', |
||||
то из |
определения |
изоморфизма |
следует, |
что |
линейной |
|
комбинации |
+ ру + • • ■+ би |
векторов из R соответст |
||||
вует линейная |
комбинация Xx' + |
py'-f- • • • + |
би' |
векторов |
||
из Rv Так что если |
|
|
|
|||
то и |
|
Хх ру -{- • • • -j- бн — О, |
|
|
||
|
Хх' |
ру -f- - • • -f- би = 0. |
|
|
||
|
|
|
|
|||
Отсюда следует, что линейно |
независимым векторам из |
|||||
R соответствуют линейно независимые векторы |
из Rlt и |
|||||
обратно. Значит, если R и R x изоморфны, то |
максимальное |
число линейно независимых векторов в этих пространствах одно и то же, т. е. изоморфные линейные пространства имеют одну и ту же размерность.
Более того, все пространства одной и той же размерности над одним и тем же числовым полем Di изоморфны друг дру гу. В самом деле, пусть R и Rt — «-мерные пространства над одним и тем же числовым полем Di с базисами ег , ..., еп
и е[, ..., еп соответственно. Каждому вектору х из R поста вим в соответствие вектор х ' из R lt имеющий в базисе
ей ..., еп те же координаты, что и вектор х в базисе eL, ..., еп, т. е. вектору
|
|
лт |
= |
xLe, + х , е 2 + |
■ ■ ■ |
хпеп |
из R |
поставим |
в |
соответствие |
вектор |
|
|
|
|
х ' — ххв\ -f- х2в2 |
|
хпеп |
||
из Rl. Э т о |
соответствие взаимно однозначно. Если векторам |
|||||
X иу |
из R |
соответствуют векторы х ' и у ' |
из R L, то из уста |
новленного правила соответствия сразу следует, что вектору X + у £/? соответствует вектор х ' + у' £/?г,
3 8 |
В Е К Т О Р Ы , В Е К Т О Р Н Ы Е П Р О С Т Р А Н С Т В А |
[ГЛ . II |
вектору |
%х £R соответствует кх' £Rx- Значит, простран |
|
ства R и /?! изоморфны. |
|
|
Итак, все линейные пространства одной и той |
же раз |
мерности изоморфны между собой. Единственной су щественной характеристикой конечномерного пространства является его размерность. Все я-мерные пространства с точностью до изоморфизма совпадают с одним и тем же я-мерным численным пространством.
Эго важное обстоятельство позволяет свести изучение различных линейных пространств к изучению одного, на пример численного, пространства.
§ 5. Подпространства векторного пространства
Совокупность векторов из R, образующих линейное про странство относительно уже введенных в R операций сложе ния и умножения на число, называется подпространством Rx пространства R.
Другими словами Rx d R образует подпространство ли
нейного пространства R , если из х , у |
£ R ' , к £дъ следует |
|||||||
х + |
и кх £ Rx- |
|
если |
х |
£ R u |
то |
и |
|
По |
определению |
подпространства, |
||||||
X + (—1) X £ /?х. Но |
X + (—1) |
= (1—1)х = |
Ох = |
0, |
и, |
|||
значит, |
любое подпространство |
содержит в |
себе нулевой |
|||||
элемент. |
|
|
|
|
|
|
|
Пр и м е р ы .
1.В трехмерном пространстве R совокупность Rx век торов, лежащих на прямой, проходящей через начало ко ординат, образует одномерное подпространство.
2.Нулевой элемент пространства R образует подпро странство (нулевое подпространство). Подпространством яв ляется и все пространство R.
Рассмотрим совокупность векторов я-мерного вектор ного пространства R, представляющую все линейные комби нации над полем ді т фиксированных векторов из R, т. е. совокупность векторов вида
|
X = ахХх + а2х 2+ |
• • • + сстх т, |
|
где Хх, х 2, |
х т £ R ,a a lta2, ...,ат — произвольные числа |
||
из Ць. |
|
подпространство |
/?х. Гово |
Эта совокупность образует |
|||
рят, что |
Rx — подпространство, порожденное |
векторами |
$ 6] Л И Н Е Й Н Ы Е О П Е Р А Т О Р Ы В В Е К Т О Р Н Ы Х П Р О С Т Р А Н С Т І А Х 39
х х, х 2, ■■■, х т. Подпространство R x, порожденное линейно независимыми векторами ех, е2, ...,ек, A-мерное, и век торы ех, е2, ek образуют в нем базис. В самом деле, в R x имеется система А линейно независимых векторов (таковой является, например, система ех, е2, .... ек). Всякий вектор из /?! есть линейная комбинация векторов ех, е2, .... ek. Если векторы х х, х 2, ..., x t £ R x линейно независимы, то, согласно лемме 2.2, / < А. Значит, в подпространстве R x максимальное число линейно независимых векторов равно А, т. е. R x А-мерно. Система А линейно независимых векторов ех, е2, ...,екможет рассматриваться как базис подпространст ва/?!.
§ 6. Линейные операторы в векторных пространствах
Рассмотрим два векторных пространства над числовым полем ді\ тг-мерное /? и m-мерное S. Пусть А — оператор, который каждому вектору х из R относит вектор у из S:
у = А х.
Оператор Л, отображающий R в S, т. е. относящий каж дому вектору X из /? некоторый вектор у = А х из S, назы
вается линейным, если для |
любых |
х х, х 2 £ R |
и а £ üi |
||
|
А (хх+ х 2) = А х х + |
Ах 2, |
А (ах) = аА х. |
(6.2) |
|
Выберем в R некоторый базис ех, е2, ..., еп, а в 5 некото |
|||||
рый |
базис g x, g 2, ..., g m. |
|
вектора х |
£ R |
в ба |
Пусть хх, х2, ..., хп —• координаты |
|||||
зисе |
ех, е2, ..., еп, а ух, у2, |
..., ут — координаты вектора |
|||
У É S в базисе gy, g 2, ..., g m. Тогда |
|
|
(6.3) |
||
|
X = |
g x , |
|
|
|
где |
У = |
|
|
|
(6.4) |
g = (ех, е2, ... , еп), |
& = (gx, g 2.......... gm), |
|
|||
|
|
Подставим (6.3) и (6.4) в (6.1): |
(6 .5 ) |
&у = ,4gx = (Аех Ае2 ... А еп)х. |