книги из ГПНТБ / Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем
.pdf100 |
П Р Е О Б Р А З О В А Н И Е М А Т Р И Ц Ы |
[ГЛ. V |
Итак, всякая квадратная матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению (теорема Гамильтона — Кэли).
Эта теорема непосредственно следует и из соотношения (4.7.3). В самом деле, характеристический многочлен Д (А) оператора А в /?, которому в некотором базисе отвечает рассматриваемая матрица А , содержит в качестве множи теля минимальный многочлен всего пространства % (А). По этому из равенства
И) = 0
немедленно вытекает равенство
А (Л) = 0
и, значит,— равенство (2.1).
§ 3. Построение матрицы, преобразующей квадратную матрицу к квазидиагональному виду
Рассмотрим квадратную матрицу U порядка п с собст венными значениями Ац А2, ..., А,„ среди которых могут быть и равные *). В дальнейшем эти собственные значения будем разбивать на группы, отмечая принадлежность к той
или иной группе верхним индексом. Так, А/0> обозначает /-е собственное значение группы о.
Пусть собственные значения матрицы U разбиты на р
групп А(іа), .... |
A^j (о = |
1, ..., |
р ; |
ka = л), так, что |
||
|
|
|
а=1 |
|
|
|
I А,-а) — A/s) I > 0 |
(оф8-, |
і = 1 , |
. . . , k a- |
j = \ , . . . , k s). |
||
|
|
|
|
|
|
(3.1) |
Каждой группе о поставим в |
соответствие |
многочлен |
||||
Да (А) = |
П (А - |
Af) |
(а = 1 |
, |
..........2 |
р). (3.2) |
|
s«I /=1 |
|
|
|
|
|
|
s=jп£=o |
|
|
|
|
|
Вычислим ранг матрицы Да (V). Для этого воспользу емся теоремой о дефекте матричного многочлена, согласно
*) Собственное значение кратности т здесь рассматривается как т равных собственных значений, и каждому из них приписывается свой индекс.
$ 3] П О С Т Р О Е Н И Е М А Т Р И Ц Ы 101
которой, если матрица U имеет |
элементарные делители |
(Я — Я1)Л>, (Я— Я2)г*, |
(Я — %t)rt, |
то дефект матричного многочлена Аа (U) определяется фор мулой
і
d = 2 mln(v/> rl)>
У-1
где Vj — кратность Я/ как корня Да (Я).
Если Яj принадлежит группе о, то Vj — 0.. Если же Я; не принадлежит группе о, то ѵ/ >> г,-, так как степень эле ментарного делителя не может превосходить кратности соб ственного значения Я/ матрицы U, а кратность собственно го значения Я, матрицы U совпадает с кратностью Я к а к корня многочлена Д0 (Я) (в правой части (3.2) множитель (Я— Яj) повторяется столько раз, какова кратность Яj). Поэтому дефект матрицы Да (U) равен сумме степеней эле ментарных делителей, соответствующих всем собственным значениям, не включенным в группу а, или, учитывая, что сумма элементарных делителей, соответствующих данному
Я/, равна кратности Я/ как собственного значения |
матрицы |
|
и, получим, |
что дефект матрицы Д0 (U) равен |
п — ka. |
Отсюда ранг |
матрицы Да (U) в точности равняется k0 — |
|
числу собственных значений матрицы U (с учетом их крат ностей), включенных в группу а.
При возведении матрицы Дст (U) в целую степень нену левые числа V/ увеличиваются,.в то вр.емя как все г/ остаются без изменения. Поэтому ранг любой целой степени этой матрицы также равен ka.
Матрицу Дст (U) как матрицу ранга ka можно представить в виде произведения матрицы Ко типа п х ka с ka ли
нейно независимыми столбцами на матрицу Моо типа |
ka х |
X п с ka линейно независимыми строками: |
|
Да (U) = КоМоа. |
(3.3) |
Поскольку ранг матрицы Дд (U) равен ka, то из равенства
Да (U) = КоМооКоМоо
следует, что квадратная матрица М0а Ко порядка ka явля ется невырожденной матрицей.
Введем в рассмотрение матрицу |
|
|
'■ |
М , = (МооКоГ1Мост. |
(3 . 4) |
102 |
П Р Е О Б Р А З О В А Н И Е |
М А Т Р И Ц Ы |
[ГЛ. V |
|
Матрицы Ка и Ms (а, s |
, |
р) связаны следующими со- |
||
отношениями: |
МаКа — Eko, |
|
|
|
|
|
(3.5) |
||
|
M<jK5 = 0 |
(o # s ). |
||
|
|
|||
Первое из этих равенств сразу получается умножением (3.4) справа на Ка. Для доказательства второго равенства
заметим, |
что |
(U) As(U) = |
|
(офз), |
|
|
Д а |
0 |
(3.6) |
||
так как из произведения ACTAS при |
а Ф s можно выделить |
||||
множитель |
|
|
|
|
|
|
П |
П ( ^ - ^ |
я) = |
А(і/), |
|
|
Ѵ = 1 |
/ = 1 |
|
|
|
который |
согласно |
теореме |
Гимнльтона — Кэли |
равен |
|
нулю, ибо А (X.) является характеристическим многочленом матрицы U. Используя (3.4), равенство (3.6) можно предста вить в виде
КоМоРКаМаК$Мй$ “ 0.
Отсюда, |
учитывая, что Ка состоит из /е0 линейно |
неза |
|||
висимых столбцов, M0s — из ksлинейно независимых |
строк, |
||||
а МооКа — невырожденная матрица, |
непосредственно по |
||||
лучим второе равенство (3.5). |
|
|
|
||
Введем в рассмотрение блочные матрицы |
|
||||
|
|
|
|
/ М! |
|
|
к = |
(к 1к 2 .. . к р), |
м |
= м 2 |
|
|
|
|
|
\ м р |
|
В соответствии с равенствами (3.5) |
|
||||
|
|
МК = КМ = Еп. |
(3.7) |
||
Представим тождество U = |
KMUKM следующим обра |
||||
зом: |
|
|
|
|
|
|
|
'м у к ^ м у к г ... |
м ,и к Р |
|
|
у |
Л |
MjJK, MJJK2 ... |
м м к Р \ м |
|
|
,мрик, мри к 2... мрикР
§ 4] |
С О Б С Т В Е Н Н Ы Е З Н А Ч Е Н И Я С У Б М А Т Р И Ц Ы |
103 |
|
Принимая во внимание, что матрицы U и |
As (U), как |
многочлены от одной и той же матрицы U, перестановочны, |
||
будем иметь |
|
|
M0UKS= MnUKsM0sKs (MDsKsr l = MaKsMosUKs(MasK5r l.
Отсюда в силу (3.5) |
|
|
|
||
MoUKs — 0 |
(a ^s). |
||||
Поэтому |
|
|
|
|
|
'М1и/<1 |
0 |
. . . |
0 |
||
0 М Ш а |
|
0 |
|||
|
|
|
|
\М. |
|
о |
|
о |
|
• Мри к р/ |
|
|
Ло = |
MaUKa, |
(3.8) |
||
|
л, |
о ... |
о |
||
А = |
о |
л2 ... |
о |
||
|
|
|
|
||
будем иметь |
о |
о ... |
л0 |
||
U = |
KAM, |
(3.9) |
|||
|
|||||
или, принимая во внимание (3.7),
U = КАК~\
Таким образом, построенная матрица К преобразует матрицу U к квазидиагоналъному виду А.
§ 4. Собственные значения субматрицы преобразованной квазидиагональной матрицы
Матрицы U и А, как подобные матрицы, имеют одни и
те же собственные значения. |
|
|
Покажем, что собственные значения -субматрицы |
А0 |
|
матрицы А суть собственные значения матрицы U, включен |
||
ные в группу о. |
|
|
Пусть Xj — собственное |
значение матрицы А0. Тогда |
|
А0 — XjEka — вырожденная |
матрица. |
|
Предположим, что Xj не принадлежит группе а. Тогда |
||
U — XjEn является множителем Д0 (U). Имея в виду, |
что, |
|
104 |
П Р Е О Б Р А З О В А Н И Е М А Т Р И Ц Ы |
[ГЛ. V |
||
как нетрудно проверить с помощью равенств |
(3.9), (3.5), |
|||
и |
Мо (У - ХЕп) = |
(Л0 - |
XE J М |
|
(U - ХЕп) Ко = |
Ко (Ас - ХЕка), |
|
||
|
|
|||
представим матрицу МаАаКа в виде |
|
|
||
|
МоАоКа = П |
П (Ла - |
b f E J . |
|
|
s=l /=] |
|
|
|
|
s^Aa |
|
|
|
Согласно сделанному предположению среди множителей правой части последнего равенства имеется вырожденная
матрица |
Ла — А;£ьа. Поэтому МаАаКо — вырожденная |
матрица. |
Но, с другой стороны, |
M QA OK O = M OK OM QOK O — M QоК о>
причем, как было показано в § 3, MQOKO — невырожден ная матрица. Полученное противоречие доказывает, что любое собственное значение матрицы Л0 есть собственное значение матрицы U, включенное в группу о.
Пусть теперь А/ — собственное значение матрицы U, включенное в группу о.
Предположим, что X,- не является собственным значением матрицы Ла. Тогда А/ должно быть собственным значением хотй бы одной из остальных матриц Л, ([ = 1, ..., р; і Ф а). Пусть это будет Лй(s Ф а). Но тогда, по доказанному выше, А,- принадлежит группе s. То есть оказалось, что Ау принад
лежит одновременно двум различным группам a n s , |
что |
|
противоречит условию (3.1). Таким образом, |
справедливо |
|
и обратное предложение, а именно: всякое |
собственное |
|
значение матрицы U, включенное в группу о, является соб |
||
ственным значением матрицы д ст. |
|
|
§ 5. Общий вид преобразующей матрицы |
|
|
Матрица К, преобразующая квадратную матрицу |
U к |
|
квазидиагональному виду Л, составлена из блоков Ко (о = = 1,2, ..., р), которые представляют собой левые множите ли в разложениях матриц А0 (U) (о = 1, ..., р) в форме (3.3). Разложение (3.3) неоднозначно: в качестве множителя Ко может быть взята любая матрица, составленная из ka линейно независимых столбцов матрицы Да (U) и даже из
♣ 6] |
О Б Щ И Й В И Д П Р Е О Б Р А З У Ю Щ Е Й М А Т Р И Ц Ы |
105 |
ka линейно независимых линейных комбинаций столбцов этой матрицы.
Пусть
Ao(U)=KaM0a, |
(5.1) |
где Ко и Моа — какая-нибудь пара матриц, удовлетворяю щая условиям разложения на множители матрицы Аа (U) в форме (3.3). Тогда множество всех матриц, удовлетворяю щих условиям разложения на множители Аа (U) в форме (3.3), может быть представлено соотношениями
|
Ко = KaNa, |
M0a = N 7lMoo, |
(5.2) |
где |
No — произвольная |
невырожденная матрица |
поряд |
ка |
ko. |
|
|
Всамом деле, Ко и Моо также являются матрицами типа
пX ko и ko X п соответственно и ранга ^ и в силу (5.1)
KoMoo = Ao(U). |
(5.3) |
С другой стороны, если
Ao(U) = KoMoo
и
Аа {U) = K OM QO,
то существует такая невырожденная матрица N a порядка ko, что
Ко = KoNo.
Действительно, умножая обе части равенства
КоМ-Оо — KONIQO
справа на Ко (Мо0Ка)~\ получим
К о = К о М о о К о Ш о о К о Г 1,
т. е. Ко представляется как произведение матрицы Ко на матрицу
Na = МоаКа (МоаКа) *
типа ko X ko.
Остается доказать, что Na — невырожденная матрица. Для этого достаточно показать, что МооКо — невырожденная
І 0 6 |
П Р Е О Б Р А З О В А Н И Е М А Т Р И Ц Ы |
[ГЛ . V |
матрица. Что это так, видно из равенства
An(U)До(U)= KOM QOKGM QO-
В левой части этого равенства стоит матрица ранга ka, поэтому ранг каждого сомножителя в правой части не может быть меньше, чем ка. В частности, не меньше, чем ko, ранг
матрицы МоаКа, а так как ее порядок равен ka, то ранг этой матрицы в точности равен ka-
Теперь о М0а — втором сомножителе в разложении матри цы А0 (U).
Если Ко = КаКа, то, как было отмечено выше, матрица
Nâ'Moo удовлетворяет условиям разложения матрицы Аа (U) (см. (5.3)). Покажем, что это единственная матрица, удовлетворяющая соотношению (5.3) при выбранном первом
сомножителе Ко- Действительно, пусть
Au (U) = ЛТМоа и Да (V) = КаМоа.
Вычитая из первого равенства второе, получим
Ко (MQO — Moo) — 0.
Отсюда, учитывая, что Ко есть матрица с ka линейно неза висимыми столбцами, имеем
Моо = MQO-
Итак, выражения (5.2) определяют общий вид сомножи телей матрицы Да (U) в разложении (3.3).
Выясним далее, в каком соотношении находятся ма трицы
Mo — (-MQOKO) Klоо
И
Мо = (МооКоГ1м 0а.
Подставляя в правую часть второго равенства соотно шения' (5.2) и сравнивая с первым равенством, находим
Ма = N7'Мо-
§ 6] |
П О С Т Р О Е Н И Е Ж О Р Д А Н О В О Й Ф ОРМ Ы М А Т Р И Ц Ы |
І07 |
||
Наконец, сравнение друг с другом матриц |
|
|||
|
До = МаиКа |
и |
До = MJJKa |
|
даст |
|
|
|
|
|
Да = |
МГ'ЛаА'а. |
|
|
До, |
Таким образом, матрицы KoNa, N ^ lM a, N ^lAaNa, |
где |
||
Ма, Аа — какая-нибудь |
тройка матриц, удовлетво |
|||
ряющая соотношениям (3.3), (3.4), (3.8), а Na — произволь ная невырожденная матрица порядка ka, можно рассмат ривать как общий вид отвечающих группе о собственных значений матрицы U блоков преобразующей матрицы, матрицы, обратной преобразующей, и соответствующей ква зидиагональной матрицы.
В соответствии с вышеизложенным множество всех матриц, преобразующих квадратную матрицу к квазидиаго нальному виду при данном разбиении собственных значе ний матрицы 0 на некоторое число р групп, исчерпывается выражением
К = KN.
где К — какая-нибудь матрица, приводящая U к квазидиа гональному виду Л, а N — квазидиагональная матрица, у которой /-я диагональная клетка (/ = 1, 2, ..., р) занята произвольной невырожденной матрицей того же порядка, что и /-й диагональный блок матрицы Л.§
§ 6. Построение жордановой формы матрицы
Вопрос о построении жордановой матрицы, подобной данной, и соответствующей преобразующей матрицы может быть решен различными путями. Мы здесь приводим один простой способ решения этих задач, в котором используется алгоритм преобразования матрицы к квазидиагональному виду, изложенный в предшествующих параграфах.
Пусть дана квадратная матрица U порядка п. Собствен ные значения этой матрицы, которые предполагаются из вестными, разобьем на группы в соответствии с условием (3.1) при дополнительном требовании, чтобы в каждую груп пу были включены только разные между собой собственные значения. Итак, если U имеет р различных собственных
108 |
П Р Е О Б Р А З О В А Н И Е М А Т Р И Ц Ы |
[ГЛ . V |
|
значений Alt Хг, |
Хр, то при указанном разбиении собствен |
||
ных значений на группы будем иметь р групп, причем в пер вой группе окажутся, например, все собственные значения матрицы U, равные А^, во второй группе — все собственные значения, совпадающие с А2, и т. д. Как и прежде, число собственных значений, включенных в группу а, будем обо значать через ko- Рассмотрим какую-нибудь группу, на пример группу s, объединяющую ks равных собственных значений матрицы U. Этой группе в жордановой форме матрицы будет отвечать одна или несколько клеток Жорда на, сумма порядков которых равна ks. Для построения жор дановой формы матрицы нужно знать, сколько клеток Жор дана отвечает данной группе, и порядок этих клеток. От вет на указанные вопросы может быть получен с помощью
теоремы, |
которая приводится ниже. |
|
|||
Введем некоторые |
обозначения. |
|
|||
Положим |
|
|
|
|
|
|
|
f(X) = U — ХЕ. |
|
||
Через |
4 Ѵ) обозначим дефект |
матрицы fv (Xs) (v = 0, 1, |
|||
2, ...). Так как |
/° (As) |
= Е (по |
определению), то |
df'1= 0. |
|
Через |4Ш) обозначим число клеток т-го порядка с соб |
|||||
ственным |
значением |
Х5 в жордановой матрице, |
подобной |
||
матрице |
U. |
|
обозначим общее число клеток Жор |
||
Наконец, через р,5 |
|||||
дана с собственным |
значением |
Xs. |
значение |
||
Т е о р е м а |
6.1. |
Пусть |
Xs — собственное |
||
(ks-Kpamme) матрицы U. Тогда число клеток Жордана гп-го
порядка (т = 1, 2, 3, |
...) с собственным значением Aä |
в жор |
дановой матрице, подобной матрице U, связано с дефектами |
||
матриц /ѵ (Xs) (v = |
0, 1, 2, ...) соотношением |
|
p,'m) = |
2dT]- dT~X)- dT+i)- |
(6.1) |
Д о к а з а т е л ь с т в о . ца, подобная матрице U, а разующая матрица, так что
Пусть J — жорданова матри Т — соответствующая преоб
U = TJT~\ |
(6.2) |
J == diag [Jx (А,х)..........JS(XS), . . . , JP(XP)]. |
|
Здесь Xi ф Xj (i Ф j) и каждый из блоков//(Xj) (i = |
1, 2, ... |
..., p) является матрицей Жордана, состоящей из одного или нескольких клеток Жордана.
5 6] |
П О С Т Р О Е Н И Е Ж О Р Д А Н О В О Й Ф ОРМ Ы |
М А Т Р И Ц Ы |
109 |
||
Согласно |
(6.2) матрицы |
(U — КЕ,У |
и |
|
|
(У — |
= |
diag {[Л (^) — |
. . . . |
Ѵ А К ) - К Е крѴі |
|
подобны, и потому их дефекты совпадают. Дефект квазидиа- гоналы-юй матрицы (J — hsEn)v равен сумме дефектов ее диагональных блоков. Но все диагональные блоки, кроме одного, а именно блока [,/s (Д) — ksEks]v,— невырожден
ные матрицы, так как Xs не является собственным значением матриц {%і) {і Ф s).Поэтому дефект матрицы (J — УД,)Ѵ а значит и матрицы (U — \Е„)Ѵ, совпадает с дефектом блока Uj (А.) — XsEks]v. Вычислим дефект этого блока.
Пусть
|
./s W |
= diag [ / < > s), 4 2)( U . . . . |
|
|
||||||
где j[]) |
(Xs), |
..., |
(К) — клетки Жордана порядка ks\, ... |
|||||||
..., kstx.s соответственно (У) ksi = |
ks). |
Тогда |
|
|
||||||
[Js( h ) - b s E ksV = d\ag(Hlsi, Н \г, |
. . . , |
НІЩ), |
||||||||
где Hksi — матрица сдвига порядка ksi. |
|
|
|
|
||||||
Согласно |
последнему |
равенству |
дефект |
матрицы |
||||||
[Js (\) |
— XsEk ]ѵ, совпадающий |
с дефектом ,div) |
матрицы |
|||||||
/ѵ (\), |
равен |
сумме дефектов матриц |
Н\ |
^ |
(/ = |
1, 2, ..., p,s). |
||||
|
|
|
|
|
V |
при |
ѵ <; |
ksi |
равен ѵ, |
|
В свою очередь дефект матрицы Я* |
|
|||||||||
а при V > ksi равен ksi. Учитывая это, имеем |
|
|
||||||||
|
|
4 V) = |
£ ~ l) + |
ц, - |
Ѵѵ |
р'И |
|
|
(6.3) |
|
|
|
|
|
|
г=і |
|
|
|
|
|
Полагая в (6.3) ѵ = т и ѵ = /л + 1, получим соответ ственно
( М
4 m+1) = dm + ^ _ 2 ц».
і=і
Наконец, вычитая из второго равенства первое, находим
р Г = 24"° - d f -1) - d T fl), что и доказывает теорему.