книги из ГПНТБ / Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем
.pdf170 |
С И С Т Е М Ы |
Л И Н Е Й Н Ы Х У Р А В Н Е Н И Й |
[ГЛ . V II |
|||
Таким образом, |
|
|
г—1 — |
|
||
|
|
1 |
t |
Р |
|
|
|
|
21 |
(1-1)1 |
|
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
/—2 |
|
|
Х = |
0 |
1 |
|
(/− 2)1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
Как видно, X — невырожденная матрица (det X = |
1). Учи |
|||||
тывая это, из (6.12) находим |
|
|
||||
|
|
- ^ - = %z + x - 1(о W ü |
te. 13) |
|||
Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
X“ 1= Г = |
|
Z - |
|
||
|
|
|
|
^ I / |
\Z t |
|
Ясно, что (6.13) распадается на I независимых уравнений |
||||||
первого |
порядка |
|
|
|
|
|
|
-ІГ = |
Аг* + |
Г*1> |
( * = 1 , 2 .......... I). |
(6.14) |
|
Итак, каждая подсистема системы (6.9) может быть рас щеплена на независимые линейные дифференциальные урав нения первого порядка вида (6.14), а замена переменных
х — КХ (t) z,
где К — матрица, преобразующая матрицу U к форме Жор дана
Л |
о |
X = о |
с субматрицами вида
|
t |
г- |
' • |
л - 1 - |
|
|
2 |
(А/ — 1)! |
|
Х ,= |
1 |
t |
. •• |
Л " 2 |
|
(А,-2)1 |
|||
|
0 |
0 . |
1 |
|
$ в] |
Р А С Щ Е П Л Е Н И Е С И С Т Е М Ы |
171 |
реализует полное расщепление системы (6.7), а именно, при водит ее к виду
= baZla + VT]Mah
( а = 1 , 2 , |
£ = 1,2, .. . , ka). |
Чтобы удовлетворялось и начальное условие для исходно го вектора х, решение г должно удовлетворять соотношению
ж(£0) = Кх (<о)г (U = с>
т. е.
г(/0) = Х-1(£0) Мс.
6.5. Расщепление сопряженной системы. Биортогональ ность. Рассмотрим однородную сопряженную систему
(6.15)
Пусть по-прежнему собственные значения матрицы U раз биты на р групп при условии (6.1). Пусть X — фундамен тальная матрица однородной системы
dx тт
-іГ = Ш ■
аY — фундаментальная матрица сопряженной системы (6.15). Мы знаем, что Y*X — const и, в частности,
|
Y*X — Е. |
(6.16) |
|
В силу соотношений (6.6) и (6.8) при h = О |
|||
где |
X = КеЛІ, |
|
|
|
|
"А, |
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
К = |
(К, ... Кр), |
А = |
О |
Из (6.16) |
находим |
|
АР |
|
|
||
Y = (А*)~‘ = (еА'‘К*Г1= |
( 0 * е ~ л'', |
||
или |
|
|
|
7 = М*е~А'‘.
172 |
С И С Т Е М Ы Л И Н Е Й Н Ы Х У Р А В Н Е Н И Й |
(ГЛ . V II |
Учитывая, что М* = (М\ ... М'р), имеем
У = 2 М'ае~Аа< . (Т=І
а
Наконец, е~А(,і является фундаментальной матрицей под системы с номером а системы
^ - = - Л ; 2о |
(а = |
1,2.......... р). |
(6.17) |
Из вышеизложенного следует, |
что замена |
переменных |
|
У = |
2 M<>z- |
|
|
|
ст=1 |
|
|
преобразует сопряженную систему (6.15) к расщепленной системе (6.17).
Две системы векторов аъ я2.......bu Ь2,... называются би ортогональными, если
(Я(, bj) = ЙуД; = 0 |
(і=/=/). |
Назовем системы матриц А±, А2>... и Вг, В2,... биортого |
|
нальными, если |
|
BjAi = 0 |
(і Ф і) . |
Таким образом, фундаментальные матрицы решений системы однородных дифференциальных уравнений и со ответствующей сопряженной системы представляются по средством двух систем биортогональных матриц Кі, Къ,--.
..., Кр и М1г М2, ..., Мр.
§ 7. Теория возмущений |
|
|
|
|
Здесь |
рассматривается |
уравнение |
|
|
|
- ^ - = (Л + вД)х+Л(0, |
*(*„) = с, |
(7.1) |
|
где А и В — постоянные |
матрицы, |
а е — некоторый (ма |
||
лый) параметр. |
|
|
|
|
7.1. |
Метод последовательных |
приближений |
для одн |
|
родной системы. Применяя формально метод вариации про извольных постоянных к уравнению (7.1) при h (t) = 0,
S 7] |
Т Е О Р И Я В О З М У Щ Е Н И Й |
173 |
получаем |
|
|
x(t) = |
еА "“ '"’с + е J ел {t~s)Bx (s) äs. |
(7.2) |
|
to |
|
Интегральное уравнение (7.2) (типа Вольтерра) можно решить методом последовательных приближений. Будем
иметь |
|
|
|
|
х'О) = ел (<- ' о)С, |
х(І) = ел |
+ |
е J ел и~5)ВеА ^ d |
s с |
И Т . д . |
|
|
to |
|
|
могут |
быть определены |
х(0), |
|
Отсюда последовательно |
||||
х(1>, .... представляющие собой приближенные решения од нородной системы (7.1). Эта последовательность, как легко доказать, сходящаяся.
Заметим, что построение каждого нового приближения связано с необходимостью вычисления интеграла от некото
рой матрицы. |
|
|
|
|
|
||
7.2. |
О решении одного матричного уравнения. Рассмот |
||||||
рим матричное уравнение |
|
|
|
|
|
||
|
|
АХ = |
ХВ + С, |
|
(7.3) |
||
где X — прямоугольная матрица |
типа |
т X п, А и В — |
|||||
квадратные |
|
матрицы порядков |
т |
и |
п |
соответственно, |
|
С — т X п-матрица. |
|
|
|
|
Если матрицы |
||
Л е м м а |
7.1 ( о с н о в н а я л е м м а ) . |
||||||
А и В не имеют общего собственного значения, то уравне- |
|||||||
нение (7.3) имеет единственное решение X. |
|
||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть |
JА и Jв — жордановы |
|||||
формы матриц А и В, так что |
|
|
|
|
|||
|
|
А = TJAT ~\ |
В = |
SJBS~\ |
(7.4) |
||
где Т и S — невырожденные матрицы порядков m и п со ответственно.
Подставляя (7.4) в (7.3), получаем
JAZ = ZJв + T~lCS, |
(7.5) |
где |
|
Z = T~lXS. |
(7.6) |
Согласно (7.6) каждому решению X уравнения (7.3) соответствует единственное решение Z уравнения (7.5), и обратно.
174 |
|
С И СТ Е М Ы Л И Н Е Й Н Ы Х |
У Р А В Н Е Н И Й |
|
[ГЛ . V II |
|||||
Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
JA = |
d i a g ^ |
(Я,), 4 Л) ( U |
. . . . |
J{PA) ß p)), |
|
||||
|
JB = |
diag (j\B) а д , 4 B) (m), . . . . |
4 B> Ы) . |
|
||||||
Здесь |
Я2, |
|
Xp — собственные |
значения |
матрицы А, а |
|||||
Pi, р2> |
Р?— собственные |
значения матрицы |
В. Через |
|||||||
kt обозначим порядок клетки Жордана jjA){kt), |
через |
1{ — |
||||||||
порядок клетки Жордана 4 В)(мД- |
Матрицу |
Z |
и матрицу |
|||||||
R = Т - 1 CS представим в виде блочных матриц: |
|
|||||||||
|
г11 |
гХ2 |
• ■■ |
г,Д |
|
/''и |
г12 |
. • • |
/V |
|
Z = |
Z21 |
Z22 |
• '■• |
г* Н , |
я = |
Г2Х |
Г22 |
• .. |
r2q |
|
|
Zp\ |
|
• ■•• |
ZpJ |
|
\\гр\ |
Гр2 |
.. • |
ГРЧ |
|
|
— матрицы типа k( X |
/у. |
|
|
|
|
||||
|
Ги ■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При этом уравнение (7.5) расщепляется на тп матрич |
||||||||||
ных уравнений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
4 Л)(4 )* / = |
ztjJ}B) fr,) + Гц |
|
|
(7.7) |
|||
|
( і = |
1, 2, . . . , р \ |
/ = |
1, 2 .............q). |
|
|
||||
Каждое из матричных уравнений системы (7.7) представ |
||||||||||
ляет собой уравнение |
типа |
|
|
|
|
|
|
|||
|
№ |
+ Я*) и = |
и (ц£, + Я,) + г |
(Я, =зь ц), |
(7.8) |
|||||
где Et — единичные матрицы порядков k и I соответ ственно, Hk, Hj — матрицы сдвига порядков k и I соответ ственно, и и г — k X /-матрицы.
Для доказательства леммы достаточно показать, что уравнение (7.8) имеет единственное решение. Пусть
и = (uij), |
г = {гц) |
(і = 1,2, |
1,2, . . . , / ) . |
Тогда матричное уравнение (7.8) эквивалентно следующей системе скалярных уравнений:
( к — ( А ) |
U i j + |
« 1 + 1 |
/ — |
Щ і - |
1 = |
г и |
|
(7.9) |
(/= 1,2, . .. , |
А; |
/ = |
1,2, |
. . . , |
/), |
|
||
причем |
|
|
|
|
|
|
|
(7 .1 0 ) |
Ир+і/ = |
0 |
( / = |
1,2, |
. .. , |
/), |
I |
||
«ю = 0 |
( / = 1 , 2 , |
|
|
k). J |
||||
1 г] |
Т Е О Р И Я |
В О З М У Щ Е Н И Й |
175 |
|
Разрешая |
(7.9) относительно ис!, имеем |
|
||
|
иц = |
г ц + |
и і / - 1 ~ и і+ 1 І |
(7.11) |
|
|
X — (i |
||
|
|
|
|
|
Рекуррентное соотношение (7.11) однозначно определя ет все U[j. В самом деле, учитывая (7.10), находим
Up\ —
X — ц
Зная Upi, далее последовательно при |
і = р — 1, р — 2, ... |
..., 1 определяем значения всех элементов первого столбца |
|
матрицы и, пользуясь соотношением |
|
«п |
гі\ ~ ці+ і 1 |
|
X — ji |
||
|
Затем строим элементы второго столбца, начиная с эле мента Upг, посредством соотношения
|
ГІ2+ ип ~ и1+ 12 |
(і = |
Р, р — 1, |
р — 2 |
1) |
W/2 = |
А, — р. |
||||
|
|
|
|
|
И т. д.
Этот процесс подтверждает существование и единствен ность решения матричного уравнения (7.8), что в свою оче редь доказывает лемму.
7.3.Асимптотический метод для однородной системы.
Пусть К = {К1 Кг КР) — матрица, преобразующая мат рицу А к квазидиагональному виду Л = diag (Alt Л2, ..., Ар) при условии, что у матриц As и Л0 (s ф а) нет общего соб ственного значения (в частности, Л может быть матрицей
Жордана). |
решение |
однородного уравнения |
(7.1) |
Будем строить |
|||
(h (t) =э 0) в виде |
|
|
|
|
* = |
2,КоУо, |
(7.12) |
|
|
0= 1 |
|
предполагая, что |
уа — решения уравнений |
|
|
~ ~ |
= АоУо |
(о = 1.......... р), |
(7.13) |
а постоянные матрицы Ко, Аа представлены формальными рядами
Ко = 2 &kK[o \ |
~Ао = 2 е*МЧ |
(7.14) |
4=0 |
4=0 |
|
176 |
|
С И СТ Е М Ы Л И Н Е Й Н Ы Х |
у р а в н е н и й |
[ГЛ. ѵ п |
||||
Подставим (7.12) в однородное уравнение (7.1) и исключим |
||||||||
ЛУа |
с помощью равенства (7.13). |
Получим |
|
|||||
di |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У. КаАоУа — (А -f- eß) |
2 |
КаУо- |
|
|||
|
<т=1 |
|
|
а=I |
|
|
||
Это соотношение будет выполняться тождественно, если |
||||||||
|
{А -f eß) Ко = |
КаАа |
(а = |
1..........р). |
(7.15) |
|||
Подставляя сюда ряды (7.14) и приравнивая члены, со |
||||||||
держащие е в одинаковых степенях, имеем |
|
|||||||
|
АК™ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
А ф = |
/СУ]АГа] + |
Ф А[о1] - |
ß/C[o0], |
|
(7.16) |
||
|
А ф ] = K[a]Alo]+ |
К1а]ф + Ф |
]Ф |
- В К [о'\ |
|
|||
Положим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф = |
Ко, Аса0] = Ао |
(а = |
1,2, |
. . . , р). |
(7.17) |
||
При этом первое равенство (7.16) выполняется тождест венно. Из остальных равенств последовательно могут быть
определены Ка \ А д іф , |
A ^; |
... В самом деле, |
пусть уже |
|||
найдены /(ст], Ag] (і — 0, |
1,2, |
.... k |
— 1). |
Определим I\lak], |
||
используя (k + 1)-е равенство |
(7.16), |
которое с уче |
||||
том (7.17) можно представить так: |
|
|
|
|||
АК1а] = К[о ]Ао + |
КоА[а 1+ D[ok-U |
(7.18) |
||||
Здесь D[k- ' ] = |
А'о^Ло'1-11+ • • • + |
|
- |
ВК[о~и - |
||
уже известная |
матрица. |
|
|
|
|
|
Равенство (7.18) умножим на
К~' = М =
Получим
AQlok] =С ф А а +М К оА Ікі + M D [k- n |
(7 .1 9 ) |
|
где |
||
|
||
QW = MKlo]. |
|
§ 7 ] |
ТЕО РИ Я ВОЗМУЩ ЕНИЙ |
177 |
Ввиду квазидиагональной структуры матрицы Л ра венство (7.19) распадается на р независимых равенств
ЛД о = |
Qlo Ла + М'КаЛ!ьк] + МДак- ' ] |
(s = 1, |
. . . , р). |
||
При s = |
а |
МаКа — Eka, и мы имеем |
|
(7.20) |
|
|
|
||||
Отсюда |
|
Л„<2аа = |
QaaAa + |
+ ЛСД |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЛС„*] = - |
М Д * “ *1+ AoQao1- |
QroAa- |
(7.21) |
При s Ф a |
MsKo = |
0, и потому |
|
|
|
|
|
AsQs*] = Q^a’Aa + М Д Д " . |
(7.22) |
||
Так как Л5 и Лст не имеют общих собственных значений, то матричное уравнение (7.22) по лемме 7.1 имеет единствен ное решение.
Неопределенной осталась лишь матрица Qoa1Так как не осталось никаких невыполненных условий, то в качест
ве Qaa можно взять произвольную постоянную матрицу порядка ka (ka — порядок блока Аст) и, в частности, можно
принять QIJC = |
0. Зная |
легко |
определить |
До^'- |
|
К\?] = |
AQ[-ft] . |
|
(7.23) |
Полученные |
рекуррентные |
соотношения (7.21) |
и. (7.23) |
|
принимают особенно простой вид, когда все собственные значения матрицы А простые. Тогда, если К составить из всех собственных векторов матрицы А, то А будет диаго нальной матрицей, причем по главной диагонали будут рас положены отвечающие этим собственным векторам собствен
ные значения |
..., Кп. При |
этом согласно |
(7.22) |
||
|
|
|
[*і |
л Д * ~ 1] |
|
|
|
|
Qso |
|
|
и (7.23) принимает |
вид |
|
|
||
K W |
= |
у |
K sM s |
D [fe-n + K o Q m |
_ |
—J As — Ka
$=1 sv»(J
Упрощается и выражение (7.21). Так как теперь Л0, Qoo — скалярные величины, то
ЛЕ,*1 = Х Р = — M CTD [aft- 1 ] .
178 |
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫ Х у р а в н е н и й |
[ГЛ . VII |
Приближенное решение однородного уравнения (7.1) можно получить из формул (7.12) и (7.13), удерживая в формальных рядах (7.14) некоторое число первых членов:
* „ = а-2=1 к ? Ѵ . |
^ h - A S ” Ѵ Г , |
где |
|
К ст)( = 2 BW |
, |
Л'Г = 2 е ^ 1. |
||
= 0 |
|
|
|
/2=0 |
|
|
|
|
|
Поскольку Аат) — постоянная матрица, |
||||
Уіт) = |
,(т). |
|
|
|
е |
С(7 |
|
|
|
*,„ = |
2 |
r(m) |
A<m>f |
|
|
в |
C- |
||
|
0=1 |
|
|
|
7.4. Асимптотический метод для неоднородной системы. Решение неоднородной системы (7.1) будем строить в виде
|
|
* = j^KoiJo, |
|
(7.24) |
|
где t/a — решение |
СТ=1 |
|
|
|
|
уравнения |
|
|
|
||
|
= А ауа + Mah (t) |
(а = 1 , 2 .......... р). |
|
(7.25) |
|
После подстановки (7.24) и (7.25) в (7.1) имеем |
|
||||
2 |
КЛаУа + 2 |
KoMoh (0 = |
(А + гВ) 2 |
+ |
Л (Q. |
0=1 |
0=1 |
|
0=1 |
|
|
Отсюда, приравнивая коэффициенты при уа и свободные члены, получим соотношение (7.15) и равенство
2koMah(i) = h(t).
0=1
Чтобы выражения (7.24) и (7.25) представляли собой
формальное решение уравнения (7.1), нужно Ко и Л„ опре
делить, как это указано выше, а Ма выбрать так, чтобы выполнялось равенство2
2КоМо = Е. |
(7 .2 6 ) |
0=1 |
5 7] |
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩ ЕНИЯ |
179 |
Вобозначениях
*= ( * ! • • . Кр),
равенство (7.26) принимает вид |
|
М„ |
|
|
|
||
Мы имеем |
КМ = |
Е. |
(7.27) |
|
|
|
|
УС = |
УС + |
| ) |
е*УС[Ч |
где |
<е=1 |
|
|
|
. К. .1Ьр- |
||
УСс* ] = |
(УСІЧ |
||
Матрицу М также будем строить в форме ряда по степе ням е:
|
|
|
с о |
|
|
|
|
м |
=м + 2 * kMw . |
|
|
||
|
|
|
k = \ |
|
|
|
Подставляя |
ряды, |
представляющие УС и М, в (7.27) |
и |
|||
приравнивая коэффициенты |
при |
одинаковых степенях |
е, |
|||
получим |
|
|
ч |
КМ = Е, |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
КМт + |
УС[1]М = |
О, |
|
|
У |
Ш [2] |
+ УС[1]М |
[1] + |
УС[2]М |
= О, |
|
Умножая все эти равенства слева на УС-1, получим соот ношения, определяющие последовательно М, УИ[І1, УИ[2], ...:
М = К ~\
Міи = — УС“ 'УС[1]УИ = — Л4УС[|]М,
м т = — м (ус[1]уи[1] +к т м)
И т. д.
Таким образом, и неоднородную систему (7.1) можно привести к расщепленному виду (7.25).
В частном случае, когда все собственные значения мат рицы А различны, систему (7.25) можно получить в виде независимых уравнений первого порядка.