Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

17.28 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 4427 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 > Следующая >>>

2 6 0	Д И Н А М И Ч Е С К И Е Х А Р А К Т Е Р И С Т И К И С И С Т Е М					[ГЛ .	X
Для определения матрицы G (t, Q					уравнение (0.1)		за
меним эквивалентным			соотношением
		t
	X = X ( t ) c + \ X ( t ) X '1(О А~' (t’) Н (Г) и dt’,
где X	(t) — фундаментальная			матрица	однородного	урав
нения
		A ( t ) - ^ = B(t)x.				(2.1)
Если система до подачи входного сигнала находилась в
покое, так что х (t0) =			0, то с = 0 и в случае предваритель
но' невозбуладенной системы имеем
		Г■
	X =	J X (0 X“ 1(П А~1(Г) Н (О и dt’.				(2.2)
		to
Пусть на /-й вход предварительно невозбужденной си
стемы подан сигнал в виде дельта-функции, т. е.
as = 0		(s ф /),	И/ =	б (/-£ )	(5 GІ^о. 0)-
Тогда,	имея в виду, что
		Н = (М г .. . ht),
и используя (2.2), получаем
gl (t, Ѳ =		1’ X (/) X - 1(П А-' (О h, (О б (/' — 9 dr,
или
	Ы *. S) = X (О X-1 о л -1 © МЮ-
ESсоответствии с этим
	G© l) = X { t ) X - x(l)A -\l)H {i).					(2.3)

Согласно вышеизложенному G (t, g) представляет собой решение матричного дифференциального уравнения

л ( о - § - = д ( / ) о + я ( о б ( / - а

(2.4)

при условии

G (ё — 0. 6) = 0.

§ 3] СВЯЗЬ М Е Ж Д У В Х О Д Н Ы М И И В Ы Х О Д Н Ы М И С И Г Н А Л А М И 261

С другой стороны,		учитывая (2.3), находим
А (0	= а (0 - ^ Г ~	Я © =
	=	В (/) X (/) X - 1(I) Л“ 1(0 Н (£) = Я (О G.

Значит, G (G 9 можно трактовать и как решение одно родного матричного уравнения


		Л ( 0 ~	=	Я(Г)О,
удовлетворяющего		неоднородному условию
		G(£, I) =	А~х(9 Н (£).
З а м е ч а н и е . Из (2.3)				видно,		что	каждая		строка
матрицы G (t,	9	является	линейной			комбинацией			строк
матрицы Н (9	и, обратно, каждая строка						матрицы		Н ( 9
есть линейная	комбинация		строк		матрицы			G (/,	9- От
сюда следует,	что	матрицы G'(t, 9 .			# '(9		и	расширенная

матрица (G'H') имеют один и тот же ранг.

§ 3. Связь между входными и выходными сигналами посредством импульсной переходной функции

Связь между матрицей входных сигналов и и матрицей выходных сигналов х предварительно невозбужденной си стемы дается формулой (2.2). С учетом (2.3) эта формула приобретает вид

(3.1)

Соотношение (3.1) может быть получено и из соответст вующей дифференциальной системы. Действительно, умно жим уравнение (2.4) справа на и (9 и проинтегрируем почленно по £ от —оо до оо:

оо

$ G(t,l)u(l)dl =

— со
оо	оо
= B ( t ) ] G(l,'t)u(t)dl + H ( t )	j и (g) ö (/ — £) rfg.

— oo

2 6 2 Д И Н А М И Ч Е С К И Е Х А Р А К Т Е Р И С Т И К И С И С Т Е М [ГЛ . X

Отсюда

о с

оо

J G(t,®u(t)dZ = B(t)

J G{t,l)u{i)dl +

H{t)u{t).

— с о

(0.1),

получаем

— оо

Сравнивая

оо

* =

J G(t, l)u ( l)d t

— оо

Принимая

во внимание, что п(^) =

0 при 5 <

0(система

до

момента

t0 находилась

в невозбужденном

состоянии)

и учитывая

условия

физической

реализуемости

системы,

имеем

G(/, 5) и ©

при

I < /0,

G(t,l)u(l)=s 0

при

l > t ,

поэтому

будем иметь

х =

j G(t,l) u(l)dl.

(3.1)

представляет

П р и м е ч а н и е .

Соотношение

связь между

входными и выходными сигналами системы в

общей форме. Если в качестве начала отсчета времени (пер вый аргумент импульсной переходной функции) принять момент подачи входного сигнала,то аргумент t импульс

ной	переходной			функции		должен	быть сдвинут на		вели
чину	I	(рис.	10.3).		Учитывая		это,	импульсную	пере
ходную		функцию			более	детально		следует записывать
как	G ( і — I,		I).	В	соответствии		с	этим формула	(3.1)

5 41	Р Е А К Ц И И С И С Т Е М Ы НА В Х О Д Н О Й С И Г Н А Л	2 6 3
предстанет в виде
	t
	* =	(3.3)

Расширяя нижний предел интегрирования (с учетом (3.2)), связь между входными и выходными сигналами си стемы можно записать и так:

* = J

(3.4)

§ 4. Реакции системы на входной сигнал в виде производной и интеграла от дельта-функции

Рассматривая входной сигнал в виде производной г-го порядка от дельта-функции и учитывая (1.6), получаем

J G (t, t')&lr) (t' - 0 dt' = ( - 1 у

•

Значит, входной сигнал в виде производной от дельта функции г-го порядка вызывает реакцию (см. (3.1))

Gr (U ) = ( - ! ) '

Можно показать, что Gr (t, 0 удовлетворяет дифферен циальному уравнению

А (0 = В (/) G, + H (0 S(r) (t - 0 (4.1)

при условии

Gr ( l - 0 , 0 = 0 .

Действительно, дифференцируя левую и правую части уравнения (2.4) по £ г раз и учитывая, что

■= ( - У6^Г6) = ( - і)гб(г) (t - Ю,

придем к соотношению (4.1).

Теперь рассмотрим входной сигнал в виде интеграла от t

дельта-функции J 6 (т— 0 dt, который представляет собой

^0 единичную ступенчатую функцию.

264	Д И Н А М И Ч Е С К И Е Х А Р А К Т Е Р И С Т И К И С И С Т Е М		[ГЛ . X
	Согласно (3.1)
	S) dT dt' == j' G (l, t') 1 {t' — £) dl' =
	= [G(è, t') 1 {t' — l)d f =	\G{t,	t') dt'.
	I	'l

Реакцию системы на единичную ступенчатую функцию 1 (/ — £) называют обычно переходной функцией. Поэтому

матрицу

F{t,l) = \G {tJ ')d t’	(4.2)
6

можно рассматривать как матрицу переходных функций многомерной системы.

Дифференцируя (4.2) по получим выражение матри цы импульсных переходных функций линейной системы через матрицу ее переходных функций:

3 F (t , S)

Матрицу переходных функций можно трактовать как решение дифференциального уравнения

Л ( 0 ^ - = = Д ( 0 ^ + Я ( 0 1 ( / - Ю

(4.3)

при начальном условии

F ( g - o . ! ) = - 0.

В самом деле, интегрируя левую и правую части урав нения (2.4) по I от 0 до t, имеем

I		і	I
A { t ) ^ \ G { t , l ) d l		= B{t) j'	G{t,l) dl + H{t) j ö ( / - \| ) d \| .
Отсюда,	так как
t		I
\ d { t - l ) d l = [ d { z ) d z = \ { z ) = \ { t - l \
получаем
А(0	\G (t, 0	df = Я(t)	[ G {t, 1)dl + H (l) 1 (t - 0,

5 5]	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ НАЧАЛ ЬНЫ Х		УСЛОВИЯ	265
что	совпадает	с (4.3), ибо
	ft	G(t, 0 d g = I\G(t, t)d l=	F (t, l).

§5. Преобразование начальных условий на выходе системы в эквивалентный входной сигнал

До сих пор процессы в линейной системе при воздейст вии входных сигналов рассматривались в предположении, что до начала подачи входных сигналов система находи лась в невозбужденном состоянии.

Допустим теперь, что система, состояние которой опи сывается уравнением

ИY	(5.1)
A ( t ) ^ - = B(()x + H ( { ) u ( t ) \ ( t - l ) ,

к моменту £ приложения входного воздействия уже нахо

дилась	в	возбужденном		состоянии,		так что
		X (£ — 0) =			(а'£ Ф 0).			(5.2)
Подберем такой дополнительный сигнал							f (t, £), чтобы
на выходе предварительно					невозбужденной		системы полу
чить процесс, тождественный при						t >• £ +	0 процессу на
выходе	возбужденной			системы. Другими			словами,	надо
найти такую функцию / (t,					£), чтобы решение уравнения
		л
A(t)		- £ - =	B ( ß ) x + H ( f ) u ( f ) i ( ß - $					(5.3)
удовлетворяющее			условию
			* ( S - 0 ) = 0,					(5.4)
при t	I + 0 совпадало бы с решением уравнения							(5.1),
удовлетворяющим условию (5.2), т. е.
			х(() = х(()І ( / - £ ) ,					(5.5)
где X (/)		иX (f) — решения			соответствующих уравнений,

удовлетворяющие условиям (5.2) и (5.4) соответственно. Продифференцируем (5.5) по t:

2 6 6

Д И Н А М И Ч Е С К И Е Х А Р А К Т Е Р И С Т И К И С И СТ Е М

[ГЛ. X

Исключая из полученного равенства производные с помощью дифференциальных уравнений (5.1) и (5.3), имеем

B(t)x + H(i) и	+	£) =
= B ( t ) x + H (t)u{t) 1		( t - l ) + A (t) x { t) b { t - l) .
Отсюда при	t > £ -f- 0

/(*. $ = A ( t) x ( t) b ( t - Q

или, в силу свойства дельта-функции,

f(t, ® = A(Z)x(Z)6(t-t),

причем X (£) = а- (£ — 0), так как выходная функция х, как решение линейного дифференциального уравнения (5.1), непрерывна в точке

§ 6. Определение дифференциального уравнения по импульсной переходной функции

Пусть задана п х /-матрица G (/, £) импульсных пере ходных функций линейной системы и требуется найти со ответствующее ей векторно-матричное уравнение вида (0.1). Два векторно-матричных уравнения, каждое из ко торых получается из другого путем умножения слева или справа на невырожденную непрерывную квадратную мат рицу соответствующего порядка, представляют две экви валентные системы в том смысле, что при произвольном входном сигнале и (/), подаваемом на обе системы одно временно, выходные сигналы этих систем будут также идентичны. Поэтому заранее матричный коэффициент при производной от матрицы выходных сигналов примем равным единичной матрице: А (() = Е. Тогда (см. (2.3))

G(t, g) = X ( t ) X ~ ' ® H ® .

Отсюда, полагая / =

находим

Я (0 = <?(&. Ѳ-

Значит,

G(t,l) = X(t) X -1(t)G(t l),

И поэтому связь между матрицей и входных сигналов

5 в]

О П Р Е Д Е Л Е Н И Е У Р А В Н Е Н И Я ПО Ф У Н К Ц И И

2 6 7

и матрицей х выходных сигналов системы представляется в следующем виде:

х = { X(t)X~' (t') G(/', t')udt'.

Продифференцируем обе части последнего соотношения по t:

Ч Г

= ~ 1 Г I Х_1

0 (*'• п

udi' +

W Х_І w G (*■

ц-

Отсюда

= J X p - X - ' { f ) x + G ( t , t ) u

(6.1)

Матричное уравнение

G(t,® = G0(t,t)G (l

I),

где

G0 (t, £) =

(t) Х~'

(g),

разрешимо

относительно

G0 (/, £), так как ранг матрицы G' (£, £) равен рангу расши

ренной матрицы

(G' (/, I)

G' (g,

£))

(см. замечание в

конце

§ 2).

Поэтому,

предполагая

матрицу

G0 (G £)

известной,

матрицу уравнения (6.1) можно определить так.

Имеем

дОр (t> £) _

d X

(t)

у —1/£\

Отсюда

<tX (f) у —1

,,4

dGp (t, %)

(G —

Таким образом, искомое дифференциальное уравнение

имеет

вид

~ЗГ

дОр{і, £)

f.=i X +

G (/,

и.

З а м е ч а н и е ,

dGp (t, ?)

есть

решение

матричного

s=l

уравнения

OG (t. 5)

QG0(<, E)

t=t G { 1 ,

£=f

l ) .

2 6 8

Д И Н А М И Ч Е С К И Е Х А Р А К Т Е Р И С Т И К И СИ СТЕ М

[ГЛ. X

§7. Построение импульсной переходной функции

7.1.Стационарная система. В случае стационарной си стемы А, В и Н — постоянные матрицы. Фундаментальная

матрица X (t) однородного векторно-матричного уравнения имеет вид

X (і) = eul

(U = A~lВ).

В соответствии с этим матрица импульсных переходных функций стационарной системы

G (t — g) = еи и~^А~1Н.

(7.1)

Если ./ — жорданова форма матрицы U, а /( — соответ ствующая преобразующая матрица, то в силу (7.1)

G (t -	I) =	Ke и~1)МА~'Н		(М = К*').
Пусть	diag (J! (A,j),		J2 (Я2),	. . . , Jр (kp)),
J
где	Ji (^т) =		ßki’ T- ^ki-

Тогда, представляя К и М в виде блочных матриц:
К =	(Кг К2			М *

				\	Мр )
где К[, М с — матрицы типа п х /г,- и kt х					п соответственно
(k[ — порядок	жордановой		клетки	У£ (А.,-)), будем иметь
G (t - 0		= У. K tY t (t -		ö M iA -'H .
		/=t
Здесь (см. гл. VII,		§ 5)

Yl (t — l) = eJi^i) {t- l) =

	" > <		1	•	1)1
				(ft/ —	1)1
				V - 1)	b __•)
(' - 5 >	0	1	t - ъ	V - 1)	‘ ■
	0	1	t - ъ	•	2)1
				(kt -	2)1
	•	*
	О	О	0	1
			0	1

§ 7]	П О С Т Р О Е Н И Е И М П У Л Ь С Н О Й	П Е Р Е Х О Д Н О Й Ф У Н К Ц И И 269
	7.2. Нестационарная система.		Для построения
	7.2.1. О б щ и е с о о б р а ж е н и я .
матрицы импульсных переходных функций				(2.3) требует
ся	знание фундаментальной	матрицы X	(і)	однородного

уравнения (2.1). В случае произвольного дифференциаль ного уравнения (2.1) определение X (t) сопряжено со зна чительными трудностями, и не всегда эта матрица может быть выражена в замкнутой форме. Поэтому, имея в виду произвольную линейную нестационарную систему, можно говорить лишь о приближенном построении импульсных переходных функций. Приближенное выражение импульс ной переходной функции можно получить, если известна приближенно фундаментальная матрица уравнения (2.1). Так, если Хг (t) яа X (t), то согласно (2.3)

G (t, §)« Gw (t, Ѳ = Gp (i, l) А~' (g) H (g),

где

Возможны различные пути построения приближенного выражения фундаментальной матрицы уравнения (2.1), а значит, и матрицы импульсных переходных функций

C(r) (t, I), и существующая литература содержит описания некоторых способов такого построения [34, 46]. Мы ниже приведем один метод построения приближенного выраже ния матрицы импульсных переходных функций, основан ный на использовании разложения в ряд фундаментальной матрицы однородного дифференциального уравнения по сте пеням искусственно вводимого параметра е. Общая идея этого метода заключается в следующем.

Привлечем к рассмотрению вспомогательное уравнение

	-§ -		=	£/ (т) -V	(U = А - 1В, т = гі),			(7.2)
которое при		е =	1	совпадает с уравнением (2.1).
Допустим,		что		нам известно		разложение (сходящееся
или	формальное)			фундаментальной			матрицы	уравнения
(7.2)	в ряд по степеням параметра					е, т. е.
			X (t, е) =		2 e,kX w		(if),	(7.3)
					φε= 0

<<< < Предыдущая 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 4427 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
03.11.20234.21 Mб38ba0501.djvu
#
10.05.2024227.33 Кб9Panel.doc
#
29.10.202310.49 Mб19Pushkov N.V. Quiet Sun.pdf
#
29.10.20232.39 Mб9А. А. Якубов библиография.pdf
#
03.11.20232.9 Mб61А.В.Никонов, Л.З.Папернов. - Измерители уровня звуковых сигналов-Радио и связь (1981).djvu
#
25.10.202317.28 Mб97Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf
#
19.10.20232.3 Mб61Абдуллаев, Я. Р. Электромагнитные устройства с индукционной подвеской учебное пособие.pdf
#
25.10.202315.35 Mб72Абелев М.Ю. Слабые водонасыщенные глинистые грунты как основания сооружений 8-й междунар. конгресс по механике грунтов и фундаментостроению.pdf
#
20.10.20237.92 Mб60Абжирко, Н. Н. Влияние вибрации на характеристики радиолокационных антенн.pdf
#
23.10.20236.9 Mб51Абовский Н.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек учеб. пособие.pdf
#
29.10.20232.32 Mб67Абраменко Б.С. Сборник задач по теоретическим основам эксплуатации радиотехнических средств.pdf