Глава XI
ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ УПРАВЛЯЕМОГО ПРОЦЕССА
§ 1. Интегро-дифференциальная система уравнений управляемого процесса
Будем рассматривать управляемый процесс, течение ко торого представляется некоторыми параметрами (коорди натами) .Vj, х2, ..., х,„ удовлетворяющими системе уравне ний
П |
71 |
I |
|
і ' °ч $ Ч Г = |
£ |
ъч (О х>+ £ hnui |
( 1■1) |
/=і |
/= I |
/=1 |
|
( і = І , 2 , .. . , п\ |
det (сіц) ф 0 ). |
|
Управляющие воздействия |
и,-, рассматриваемые как вы |
ходные сигналы регулятора, предполагаются линейными
функциями входных сигналов регулятора |
о,-, которые фор |
мируются как линейные комбинации координатхх, х2, |
х„: |
»/ = У taxk |
(/ = 1 |
, ..........2 |
т). |
(1 .2 ) |
/;=I |
|
|
|
|
Допустим, что связь |
между |
входными сигналами |
ѵѵ ѵ2, ..., ѵт и выходными сигналами их, и2.......ut регулято ра представлена посредством импульсных переходных функ
ций gij (t — t', t') |
(i |
= 1, 2 , ..., l\ j = 1, 2 , ..., m), так что |
щ = |
2 |
(1.3) |
|
/ = |
1 |
Итак, рассматриваемый здесь процесс полностью опи сывается системой уравнений (1.1), (1.2), (1.3). Запишем эту
§ 11 |
И Н Т Е Г Р О - Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н А Я |
СИ СТЕМ А |
291 |
систему в матричном виде. Положим |
|
|
|
■ |
|
|
л . |
*1« |
»in |
|
|
а22 |
|
|
\" |
|
■»in |
|
|
. |
4 |
н |
ft/l2 ' |
^nn |
|
|
Кг ■• |
anJ |
|
U , |
|
|
Кг •• |
Kl\ |
|
/*п |
12 |
m |
|
|
Аи ■■ |
I |
° - | 'Kl |
^22 ‘ |
&2ГП |
|
п1 |
V г • |
Kl) |
|
Vs/, |
Кг |
‘ / |
|
|
|
\ mi |
(/«2 |
tm/i' |
|
|
|
В этих обозначениях уравнения управляемого процесса принимают вид
йх |
|
А (О-J-- — В {t)x-\- Н (0 и, |
|
Ж |
|
I |
( 1 . 4 ) |
и = ] G{t — t',t')v{t')dt', |
—оо
о- 7(/) а:.
Впределах данной главы, не оговаривая особо, будем предполагать, что А, В, Н, Т, Gдифференцируемы по своим аргументам любое нужное число раз.
1.1.0 существовании и структуре преобразования к диф ференциальной системе.
Те о р е м а 1.1. Пусть функциональные матрицы А (t),
В(t), Н (О, G (( — /'), Т (/) удовлетворяют условиям существования и единственности реиіения на промежутке
U ■< t •< Т матричного интегро-дифференциального урав
нения
t
А $) ~Щ~ ~ В (t) X Н (t) j G ( t - f,t') T ( t') X ( t’)dt',
X(t0) = En.
Tогда преобразование |
(1.5) |
|
x = K{t)y |
( 1. 6) |
2 9 2 П Р И Б Л И Ж Е Н Н О Е И Н Т Е Г Р И Р О В А Н И Е У Р А В Н Е Н И И [ГЛ. XI
с невырожденной и дифференцируемой на [^0, Г] матрицей К приводит систему (1.4) к векторно-матричному уравнению
с непрерывной на U0, Т 1 матрицей U тогда и только тогда, когда
где X ( 0 — единственное решение уравнения (1.5), С — постоянная невырожденная матрица порядка п, а Z (t) — непрерывно дифференцируемая и невырожденная на [/0, Т ] матрица порядка п.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Замена переменных (1.6 ) при водит систему (1.4) к матричному уравнению
|
|
I |
|
|
ХС ^ Ш |
= A~lH |
J G(t — t',t')T(t')X{t')C [Z{t')y(t') — |
|
|
|
|
Z(t)y(t)\dt', |
которое |
допускает |
решение |
|
|
Отсюда |
|
Z (і) у (і) = |
const. |
|
dy_ |
|
|
|
|
z~' |
(1.9) |
|
|
di |
|
|
|
|
В силу свойств матрицы Z матрица
преобразованного уравнения (1.9) непрерывна на [/0, Т]. Пусть, далее, К (і) — матрица преобразования, которое систему (1.4) приводит к уравнению (1.7). Покажем, что тог
да К ( 0 представима в форме (1 .8 ).
Матрица этого преобразования удовлетворяет уравнению
(*«- + К и - А - 'В /< )у =
t
= А~'Н { G(t — 1', t') Т (О К (t’) у (t') di'.
Имеем
5 1] |
И Н Т Е Г Р О - Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н А Я С И СТЕ М А |
293 |
где Y — фундаментальная матрица системы (1.7), а с — столбцовая матрица произвольных постоянных. Учитывая это, получаем
-=£- = |
A~lBK - KU + А~'НІУ~\ |
( 1. 10) |
где |
|
|
/ ( 0 - j |
G (t — t', t') T (t') К (t') Y (?) dt'. |
|
Принимая во внимание (1.5) и (1.10), а также соотноше ния
d ( X ~ ] K Y ) |
d X ~ l |
KY + |
X ~l |
dt |
Y 4 |
- X~]K |
dY |
|
dt |
dt |
“' ' |
1 |
|
' |
1 ' ‘ |
' ' |
dt |
|
= — X ~ l (A~xBX + |
A~lHI) X ~ xKY + |
X ~lA~lBKY - |
|
Hr/riu |
, v-1 Л - 1 и n/-h |
|
|
— = 0. |
|
— X KLJY |
+ |
X ~lA~lH IY~lY + X~lK |
Поэтому |
|
X ~xKY — C = const. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда, полагая Y |
= |
Z~l, получаем |
|
|
|
|
Теорема доказана. |
|
|
К = |
XCZ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 .2 . О методике построения приближенного решения |
уравнений. |
Интегро-дифференциальная |
система |
(1 .4 ) со |
держится в следующем семействе систем уравнений более общего вида:
dx |
В |
|
(т) “■ |
|
А № ~дГ = |
|
|
ц = |
j |
G(t — t',i')v { t\T ')d t\ . |
(іл 1 ) |
V = |
Т (т) X |
|
|
(т = et, е > |
0 |
, р > |
0 ). |
|
Ясно, что при е = |
1 |
(1.11) совпадает с (1.4). В силу это |
го всякое решение |
х (і, е) |
системы (1 .1 1) при |
значении |
2 9 4 |
П Р И Б Л И Ж Е Н Н О Е |
И Н Т Е Г Р И Р О В А Н И Е У Р А В Н Е Н И Й [ГЛ. XI |
параметра е, равном единице, |
будет являться решением си |
стемы (1.4). Учитывая |
это, для |
построения приближенного |
решения нестационарной интегро-дифференциальной систе мы (1.4) поступим так. Сначала для системы (1.11) постро им формальное решение в виде бесконечного ряда по степе ням е. Частичные суммы этих рядов будем трактовать как
приближенные решения системы (1 .1 1), а при е = 1 |
— как |
приближенные решения исходной системы (1.4). |
|
Такой путь построения приближенных решений системы |
(1.4) |
является эффективным и плодотворным тогда, |
когда |
А (t), |
В (t), Н (/), Т (t), а также G (t — t', t') как |
функ |
ция от второго аргумента являются медленно меняющими ся функциями.
В дальнейшем будем различать два случая:
А) воздействие регулятора на регулируемый процесс мало, так что решения уравнений замкнутой системы близ ки к решениям уравнений при и = 0, и Б) воздействие ре гулятора на регулируемый процесс нельзя считать малым.
Приближенное решение системы (1.4) будем строить на основе формального решения системы (1 .1 1) при значении р = 1 в случае А, и ц = 0 в случае Б.
§ 2. Приведение уравнений управляемого процесса к расщепленной дифференциальной системе (метод последовательных приближений)
При довольно общих предположениях решение интегродифференциальной системы (1 .1 1) можно свести к интегри рованию некоторого числа независимых друг от друга под систем линейных дифференциальных уравнений первого по рядка. Мы здесь ограничимся рассмотрением случая р = 1.
Итак, имеем
А (т) — =, В (т) X -f ЕН (т) и,
и = і G(t — t’,%')v{t'%')dt', ' |
(2Л) |
0 = 7 ’(т) X.
Пусть собственные значения матрицы U (т) = А- 1 (т) В{х) на сегменте [О, L] разделяются на р непересекающихся
§ 2] |
М Е Т О Д П О С Л Е Д О В А Т Е Л Ь Н Ы Х П Р И Б Л И Ж Е Н И Я |
295 |
групп. Предполагая, что коэффициенты уравнений в систе ме (2 .1 ) имеют на [О, L I производные пот всех порядков, решение этой системы будем искать в виде
л - |
2 Ко (т, е) уа (0 , |
|
|
(2 .2 ) |
|
|
а= 1 |
|
|
|
|
|
d y n |
= |
~ |
~ |
(о - |
1,2, |
.. . , р), |
(2.3) |
|
Да (Т, |
е) уст |
где |
оо |
|
|
|
|
со |
|
__ |
|
|
|
|
|
Ка (Т, е) = |
2 |
e*/C„[ 4 |
(т), |
А а(т, 8 |
) = |
2 е*А^] (т). |
(2.4) |
|
φχ= 0 |
|
|
|
|
φτ= 0 |
|
Всвою очередь решения уравнений (2.3) будем строить
вформе ряда
~Уо= |
2 |
(2-5) |
|
*=о |
|
Подставим значения А0 |
и уа из |
(2.4) и (2.5) в (2.3) и |
приравняем в полученном соотношении коэффициенты при одинаковых степенях е. В результате придем к следующей
системе |
уравнений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
0] |
А |
» |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ft—] |
|
|
|
|
|
|
|
|
ПН |
_ л 1 0 1 / |
- 1 |
|
л ^ у п |
|
|
|
|
d,Ja ' |
' ' л' 1. У |
|
|
(k= |
1 , 2 , ...). |
--------- ^о £-'а |
і- |
|
|
|
Ус |
|
di |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть |
Ка1 |
— фундаментальная |
матрица |
решений урав |
нения |
|
|
|
|
dy™ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
А |
» |
, |
|
|
гак что |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
ЛО] |
|
у [0 ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
Lc |
|
|
(са — матрица-столбец |
У с |
|
* о |
|
|
|
произвольных |
постоянных). |
Тогда |
частное |
решение |
уравнения |
|
|
|
|
|
4 І Ч |
- д н у * ] |
|
fe-i |
|
|
|
|
|
|
+ |
V л |
Уа |
|
|
|
|
dt |
|
— 2Ѵа |
Уа |
і= 0 |
Jio |
|
можно |
представить |
так: |
|
|
|
|
|
|
l/ak] = ТІ°] (/) |
f |
L O J - |
1 |
( П |
У , |
|
A |
ak[ - |
‘ ] ( V ) |
y \ i \ t ' ) d t ' . |
296 П Р И Б Л И Ж Е Н Н О Е И Н Т Е Г Р И Р О В А Н И Е У Р А В Н Е Н И Й [ГЛ. X I
Обозначив |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y™ (t) = |
К[а0] (t) [ И 01” ' (t') 5 |
' Ла*~‘] (т') У™ (t') dt' , |
(2. 6) |
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
і= |
0 |
|
|
|
|
будем |
иметь |
|
* (I |
|
|
|
|
|
|
|
|
і/а] = |
У[а 1 |
( 0 ( У[а 1 |
’ (П № |
(т') У?1(П dt' = |
|
|
|
|
|
|
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
П 0 1 |
(О J ГУ]~' (О ЛУ] (т') Ft°] (t') dt’Ca = |
( 0 |
Са, |
у? |
1= |
Y™ (t) 5 |
ѴІ0] |
' (t') [ЛУ] (т') № (t’) + |
|
|
|
|
|
|
to |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ЛУ] (т') yW (t')] dt' = |
Y\?] (t) J n |
o]- ' (t') [A ^ (т') Y™ (t') |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
to |
|
|
|
|
и, вообще, |
|
|
|
|
+ а У1 (T')Hö[0 1 (t')] dt’Co = кУ] ( 0 |
c0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
filo ] ^ Y [ k]ca |
|
( Ä = l , 2 , |
...)• |
(2-7) |
|
Равенства (2.6) и (2.7) определяют iß ] через Лса0]....... A ak]l . |
|
Перейдем |
к |
построению |
/(У1, |
ЛУ1 (k = 0, 1, 2, |
...). |
|
|
Подставим (2.2) и (2.3) в уравнения (2.1) и приравняем |
нулю сумму всех слаі аемых, содержащих уа. Получим |
|
[E^ |
- |
+ KaÂa - U K 0) ~уо- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
_ |
^ |
|
|
|
|
- |
гА~'Н |
\ G(t — 1', т') Т (т') Ко (т', е) уа (t') dt' = |
0. |
|
В |
последнее |
равенство |
подставим |
разложения |
(2.4), |
(2 .5 ) и приравняем коэффициенты при одинаковых |
степе |
нях е. Будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L ol 4 |
0] |
= 0 , |
|
|
|
а |
ч |
о] + |
|
г[*-а]..[а] I |
/I'[*-1] |
_ |
(/е= 1 , 2 , ...). |
|
а=І ь 0 |
Уо |
Т' |
‘а |
|
|
|
|
|
§ 2] МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИИ 297
Здесь
W - K F A W - U IW ,
|
|
|
к |
|
|
лИА—1] |
|
|
|
|
|
№ |
= |
2 |
Khk~a]A ^ - U K ^ + |
|
п |
(k= |
1 |
, |
2 |
, ...)- |
|
|
а —О |
|
|
|
сіт |
|
|
№ |
= |
- |
А~ХН *f' |
GT ~2 п K ^ h j ^ d t ' |
(г = 0,1,2, |
...). |
|
|
|
|
|
cc=О |
|
|
са — произвольная |
|
Используя (2.7) и учитывая, что |
матрица, из (2 |
.8 ) получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 0]^ |
0] = |
О, |
|
|
|
|
|
L „l k ]Y W |
+ S |
L ^ |
- “ V [aa ] + / і о -1 1 = |
0 |
(/г = 1 , 2 , |
|
. . . ) , |
|
|
|
а=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.9) |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ $ = _ А -'Н f GT 2 K ^ Y ^ d t ’. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 . 10) |
|
|
|
|
|
J |
a=n |
|
|
|
|
|
|
Пусть К = {Kx-.-Kp) — нужное число раз дифферен цируемая матрица, преобразующая матрицу U к квазидиа гональному виду
|
/Л і |
|
|
|
|
|
|
|
А = |
• |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(см. гл. V). |
V о |
|
|
л„ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Положим |
К[а0] = Ко, |
|
|
|
|
|
|
|
|
Л ™ = Л 0. |
|
( 2 . 11) |
При таком |
выборе /<0О] и Ла0 -1 |
|
|
|
|
|
7 ^ = 0 , |
|
|
|
|
а остальные равенства (2.9) принимают вид |
|
|
W Y ™ + 2 |
Т[а~а]У^а] + 4 |
|
о~1] = |
0 |
(k = |
1 , 2 , |
.. I ). |
а=1 |
|
|
|
|
|
|
(2. 12) |
|
|
|
|
|
|
|
Используя принятые выше обозначения, равенства (2.12) |
перепишем так: |
|
|
|
|
|
|
ѴК[!1] = /(У'^Ао -(- к Л п + № - " |
|
[k= 1,2, |
. .. ), |
(2.13) |
298 П Р И Б Л И Ж Е Н Н О Е И Н Т Е Г Р И Р О В А Н И Е У Р А В Н Е Н И Й [ГЛ. X I
где
n [fc-l] |
_ |
к— I |
|
|
а іА к — I] |
|
|
|
V ^[*-a]Al<xl |
! |
|
, |
|
|
|
U(3 |
— |
Аа |
Аа |
" 1 |
-г------ (- |
|
|
|
|
|
а= 1 |
|
|
сп |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ Q s і £ - а'у ы |
+ /Й " 1]) у7 1. |
Мы пришли к соотношениям, из которых, как было по |
казано в § 2 гл. VIII, |
можно |
определить |
/([f1 |
и Л ^1, если |
Da'- 'і |
_ |
известная |
матрица. |
|
|
|
|
|
Нам известно значение Л„ 0 1 |
(см. (2.11)). Поэтому можно |
определить / [0°» |
по |
формуле |
(2.10). Тогда |
D[a0] |
будет из |
вестной |
величиной, |
что позволит определить |
Й |
1 и Л‘Ч, |
используя (2.13). |
И |
вообще, |
если уже найдены |
7Д0], Аа0-1, |
/а°0 , ..../(о*-11, Ао*_1], то можно определить |
|
используя |
для этого (2 .6 ) и (2 .1 0), а затем /ДЧ Л^ 1посредством соот ветствующего равенства (2.13).
Итак, приведенная расчетная схема позволяет интегри рование уравнения (2 . 1 ) свести к интегрированию расщеп ленной системы дифференциальных уравнений (2.3), а точ нее, к интегрированию уравнений
—^ - = ЛаД 0] (о = 1 , ..........2 |
р), |
ибо, имея матрицы фундаментальных решений этих уравне
ний ѴДЧ Y\°\ ..., УДЧ можно определить уа (а = 1 , 2 пользуясь формулами (2.6) н (2.7).
§ 3. Приближенное интегрирование уравнений управляемого процесса при малом воздействии регулятора на процесс (случай А)
Для построения приближенного решения системы (1.4) используем систему (1.11), полагая р. = 1. Итак, имеем
А (т) = В (т) X + е/7 (т) и,
u = J G(t — t',x')v{l',x')dt'„ ' |
(ЗЛ) |
— |
|
§ 3] |
И Н Т Е Г Р И Р О В А Н И Е У Р А В Н Е Н И Й |
299 |
|
Формальное решение системы (3.1) |
существенно зависит |
от |
поведения собственных значений |
матрицы U — А |
]В |
на рассматриваемом промежутке 0 < т < L. Мы здесь огра ничимся изложением процесса построения формального решения в простейшем случае, когда на [О, L] все собствен ные значения матрицы U простые.
3.1. Построение формального решения. Собственные значения квадратной матрицы U порядка п обозначим че
рез A,lt Х2....... Х,„ а собственный |
вектор |
этой матрицы, от |
вечающий собственному значению Ха,— через |
Ко- |
Т е о р е м а |
3.1. Если |
|
і ф /; |
|
(г) — Я/(г) I > |
0 |
(і, / = 1 , 2 , |
. . . , п; |
г € [О, L]), |
|
|
|
|
|
(3.2) |
то формальное решение системы (3.1) на промежутке 0 •< •< X-< L можно представить в виде
где Ко и Я0 — соответственно столбцовая матрица и ска лярная функция, имеющие формальные разложения
|
СО |
|
|
|
|
Ко И, е) = Ко (т) + 2 |
£kK ok][ |
(т), |
|
|
|
|
?Та (т, е) = Ха (т) + |
со |
|
|
|
2 |
(т). (3.4) |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Подставим |
(3.3) в систему |
уравнений |
(3.1). Получим |
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
= 2 |
И- sH |
\ G |
V - f ’ т') Т (т') |
0 е' • £) УоМ . |
Выбор Ко и Х0 ограничим требованием выполнения ра венств
+ еЯ ] G{i — i ' , x ' ) T { i ' ) K o ^ ' , E ) y adt' (а = 1 ,2 , . . . , /г).
—со
