Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

17.28 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 4428 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 > Следующая >>>

2 7 0	Д И Н А М И Ч Е С К И Е Х А Р А К Т Е Р И С Т И К И СИ СТЕ М		[ГЛ. X
частичные суммы которого, а именно
.	i>zkX w (t)	(л = 0 , 1 , 2 , . . . ) ,
	к—0

могут быть приняты в качестве приближенного выражения фундаментальной матрицы. Тогда приближенное построе ние матрицы G0 (t, £) удобно провести одним из следующих

двух	способов.
1.	Принимая
	Хг (t, е) =	2 skX W (t, т),
имеем		ft=о
имеем
	G&r,(*,S.e) =	Xr (/,e)X r1(g,e).	(7.4)

Отсюда, полагая е = 1 и учитывая, что при этом урав нение (7.2) переходит в уравнение (2.1), получим прибли женное выражение матрицы Коши уравнения (2.1):

&o)(t,Z )= X r(t)X7l ®.	(7.4а)
2. Имея разложение (7.3), можно и G0 (t,	е) разло

жить в ряд по степеням параметра е. Для этого нужно сна

чала представить в виде ряда по степеням					е обратную мат
рицу Х~1(t, г). Полагая
	X - 1(t, е) = 5 %kZw			(*, т),
		fe=0
из условия тождественного выполнения равенства
	X{t,	е)Х - 1 (/, е.) — Е
получаем рекуррентные		соотношения
2[0]=
Zm = — Z[0] З1.X lnZl*~n				(k =	1,2, ...).
	i=1
Группируя коэффициенты при одинаковых степенях е,
получаем
G0 (t, 1,в) = Х (t, e) X -1(I			e) = І		e ^ " 1 ,	(7.5)
где				/г=0
где
G[°] =	Xt°] (^ -г)Z [0](£, T.),			TE=	eg,
GU] = £	(л T) Zlk-M		}	(/e =	1,2, 3, . . .).
i-i		4

§ 7] П О С Т Р О Е Н И Е И М П У Л Ь С Н О Й П Е Р Е Х О Д Н О Й Ф У Н К Ц И И 271

Ограничиваясь в разложении (7.5) некоторым числом г первых членов, получим соответствующее приближенное выражение матрицы Коши уравнения (7.2):

Go0 (t, е) = É BkG}f\	(7.6)
lt=о

Отсюда, полагая e = 1, получаем приближенное выра жение матрицы Коши уравнения (2.1):

Оо} (і, I) = Ѣ С (U Ю-	(7.6а)
*==о

По матрице G(0r) (t, g), полученной первым или вторым способом (по формулам (7.4а) или (7.6а)), легко определить и приближенное выражение матрицы импульсных пере ходных функций:

G(r) {t,l) = G[r) (t, l)Â~x(g)tf(g).

З а м е ч а н и е . G^’ (t, g, e), построенные по формуле (7.4) и формуле (7.6) с точностью до членов, содержащих гк (k >• г -+- 1), совпадают, т. е.


	Goi> (t, g, е) -		GÖii (t, g, e) =		B'+'AG^1(f, g, e),
где AGjT’	(G g, e) — функция, регулярная относительно							e
в окрестности точки			е =	0. Исходя		из этого, г-е прибли
жения, полученные одним и другим						способом, следует рас
сматривать как эквивалентные, так что выбор того или
иного способа построения G^\t, g)						в каждом конкретном
случае нужно производить, руководствуясь соображениями
удобства	в	практическом применении.
7.2.2.		П р и м е н е н и е			а л г о р и т м а		а с и м п
т о т и ч е с к о г о			р а с щ е п л е н и я . Алгоритм расщеп
ления системы линейных дифференциальных уравнений на
подсистемы		уравнений		меньшего		порядка, описанный		в
гл. VIII,	позволяет свести задачу по построению разложе
ния фундаментальной матрицы уравнения (7.2) в виде ряда
по степеням параметра в к более простой задаче построения
такого разложения			для	подсистем		расщепленной	системы.

Пусть собственные значения матрицы U (т) = А~](т) В (т) на рассматриваемом промежутке изменения аргумента раз биваются на некоторое число р непересекающихся групп

272	Д И Н А М И Ч Е С К И Е		Х А Р А К Т Е Р И С Т И К И			СИ СТЕ М	[ГЛ. X

К[а),	...,	ХІИ (а =	1, 2,	р; 2	А0	= п). Тогда	в со-
ответствии		с материалами		сг=1		асимптотическое
				главы	VIII

выражение фундаментальной матрицы уравнения (7.2) мож

но	записать		так:
х	(*. е) = (^і (х- е) • •			•	КР{і, в)) diag (Y^t, в), . .						Yp(t, 8)),
где Ya (t, e) — асимптотическое							выражение фундаменталь
ной	матрицы		подсистемы
			dya			~
			~ а р =			л а(Ч е)Уа
расщепленной системы.
Матрицы			Ко (т, е)	и А „		(т, е)	имеют			размеры п X Іга
и Аст X Ао соответственно и представляются рядами
			Ко ( Т е)1 — К а (т) 4"					8 /(,т
							É=1		О >
							É=1				(7-7)
							оо				(7-7)
			Лет (т, е) — Лог (т) -}-				2	ек		(т).
							fc=1
Члены первого ряда (7.7) определяются по формулам
		W = K Q P				( А =			1 , 2 , 3 ,		. . . ) ,
где К = (К1 ... Кр) — матрица преобразования											матрицы U
к квазидиагональному				виду		Л =	diag (Лѵ ...,				Ар); Qо1—
блочная		матрица типа		п	X Аа, состоящая					из	блоков
(s— 1,2,		... р) с размерами As X Аа. При s Ф о блоки мат-
рицы QC		однозначно определяются уравнением
			AsQlso =		<3^а]Лст +		Л іД Ы 1,
где Ms — s-й блок матрицы						(	М,
						(	М,
			м = к~' =
	о Г ,] =		dK$~11	+	2	К1сПЛ1а' П				( K P s	Ko).
	о Г ,] =		dx	+	2	К1сПЛ1а' П				( K P s	Ko).

§ 7] П О С Т Р О Е Н И Е И М П У Л Ь С Н О Й П Е Р Е Х О Д Н О Й Ф У Н К Ц И И 2 7 3

Блок Qga матрицы				может		быть выбран в достаточной
мере произвольно. Для				удобства можно принять
при всех k и а.				Qcra	=	0				(7.8)
при всех k и а.
Члены второго ряда (7.7) при условии (7.8) выражаются
формулой			M0D V‘~"			(k= 1,2,3, ...).
Л[0';] =		-	M0D V‘~"			(k= 1,2,3, ...).
Построение		Gor) (t, £)		можно		провести следующими пу
тями.
1. Полагая		Xr(t, е) =		К{г) (т,		е) Y {r) (t, г),
где		Xr(t, е) =		К{г) (т,		е) Y {r) (t, г),
где
К г) (т,	е) =	( Я ( т , е)		К? (т, в) .			/(<;' (т. е)),
Ylr>(t,	8) =	diag (ГК1(t, г),			YP (t,		e),	. . .,	Y<r) (t,	e)),
			K a ] (T, e) =		У	e l!K	a ] (T),
				*=o
а Y ^ (t, e) — фундаментальная матрица уравнения
-	Л<г (т, б ) і)Ѵ			іл'г) (т, е) -				V	(т) ), (7.9)
будем иметь
<%' (t, £, е) =			(т, в) Ylr) (t, б )				& б ) К (п~1(т. . е)
								(ТЕ = Ф		(7.10)
и, следовательно,			при е — 1					(ТЕ = Ф
и, следовательно,			при е — 1
	GP (t, 1) = K r) (t) Y {n (t) Y ln~]K(r)~' ß).									(7.11)
2. Пусть
			Z„(t,z) =		I-	B Z ^ ( t,		X)		(7.12)
				k=0						удовле-
— квадратная матрица порядка						£а,	тождественно			удовле-
творяющая равенству
а			Y0(t,e) Za(t,e) = Ека>
а					со
					со					(7,131
			Ма (Ч е) =		^	вкм[,;](т)				(7,131
					к=0

2 7 4

Д И Н А М И Ч Е С К И Е Х А Р А К Т Е Р И С Т И К И С И С Т Е М

[ГЛ. X

— субматрица матрицы

М1(т, е)

М (т, е) =

\МР(т, е), удовлетворяющей тождественно равенству

К(%, е) М (т, е) = Ет

где К = (/<!-..Кр).

Члены рядов (7.12) и (7.13) в этом случае определяются соотношениями

7 [ о] _ _	у	[ о ] - 1		7 m	_		7 [0]	Y \ Л ‘ 37 [ * —Л
м™ =	1	а	j	^ c r	---------- xu 1 er				>
м™ =	м 0і
М\^ =	-	Ма І		д-СОУИГ*-'] = -				V	І
			1=1					fei	у=1
									іфа
Тогда									( 6 = 1 , 2 , 3 , . . .
Тогда
G0(f, l, *) = X{t, B)X~l (l,B) =
		=	^	Ко (t, e) Y a (t, e) ZCT(l, e) M0 (T£, e). (7.14)
			<7=1
Отделяя в (7.14) коэффициенты при одинаковых степе
нях е и удерживая первые г ф- 1 членов, имеем
		Gp(t,t,B)=				i , B kGl0kH t ,t			е).	(7-15)
					/г=0
При е =	1	из (7.15) получаем
			G(or>{t,l) =			Ѣ	G\>k]			(7.16)
						k=0
Здесь Go'1(t,		£)	представляет				собой	коэффициент		при ek
в правой части соотношения						(7.14) при е = 1. Так,
Glo0] (t, Ъ) =				£• К0 (/) Н 01 (/) Z™ (I) /Иа (g)

§ Г] П О С Т Р О Е Н И Е И М П У Л Ь С Н О Й П Е Р Е Х О Д Н О Й Ф У Н К Ц И И 275

с!>,] (і, ѳ = 2 [ К а (t) no] (0 40] а ) M al] (g) +

<J =1
+ Ko (t) v^0] (t) 4 ' ] (g) M a (g) + Ko (0 Y p (0 4 0] (5)		(g) +
+ 4 1]w ^	0] (O 4 0] ® м а®
И T. Д.
Наконец, еще один способ построения	G0, который мож

но трактовать как промежуточный по сравнению с первыми двумя способами.

3. Примем G0 (t, g, е) в форме
G0 (t, I, е) =	X (t, е) X~l (g, e) =
		=	Уі Ko (т, с) Y a {t, e) Yö' (£, e) Ma (ть e).
			a=l
Подставляя сюда			вместо	Ко и М асоответствующие раз
ложения (7.7)		и (7.13) и группируя члены,				содержащие е
в одинаковых		степенях		(без	участия	произведения
Y о (t, е)Уа'	(Ъ е)), получаем
G0 (t, £, е) =	S	S S	eW	(т)	(/, е) У7* (g, е) М[к~п (т ).
	(J = l f t = 0 / = 0					s
Ряд (7.17) можно записать так:						(7.17)
Ряд (7.17) можно записать так:
G0 (, g, е) = Gor) (, g, е) +				2	[GfP (/, g, e) -	Gofe_1) (t, g, e)]-
			/!=Г+1

Здесь Go\ рассматриваемая как r-e приближение матрицы

G0, определена			формулой
GP(t, g,e)=		S	І	£	^	1(т)П ', М К < Г 1(£, е) Л # - ,](т6)І
		СТ=1 /г =		0 /= 0		I
(	4 0]=				M Mo),0]=
где Y (o	(t,					(7.18)
		e),	как		и	выше,— фундаментальная матрица
уравнения		(7.9).
Полагая е =			1, из (7.18) получаем
СГ (*.£)=		£	І	І	^	] (0 П Г)( 0 П ,_ ,( 0 М Й" 1](0.(7.19)

0=1 А = 0 / = 0

276

Д И Н А М И Ч Е С К И Е Х А Р А К Т Е Р И С Т И К И С И С Т Е М

[ГЛ X

Итак, для G(or>(/, £) получены три выражения: (7.11), (7.16) и (7.19). Все эти выражения, в принципе, должны быть признаны эквивалентными, поскольку предшествую щие им соотношения (7.10), (7.15) и (7.18) определяют такие

значения матрицы Glor) (t, е), которые с точностью до чле нов, содержащих гк (к >- г + 1), совпадают друг с другом. Но если говорить об удобстве практического применения приведенных формул, то, по-видимому, предпочтение сле дует отдавать формулам (7.11) и (7.19).

П р и м е ч а й и е. При интегрировании по t величины, содержащей степень efc, происходит умножение среднего значения этой величины на t, поэтому результат фактически


будет	содержать		в качестве			множителя			степень	гк~ '.
По этой причине,			если	в выражения			Ка] (т,		е) и М аг)(	(т, е)
входят степени		е°, е1,		...,	ег, то		(1,	е) содержит факти
чески	только	степени		е°,	в’,	.... ел_1.		Это	обстоятельство

позволяет в целях упрощения отбросить из выражений

матриц /Со' (т, е) и М(а (т,					е),	фигурирующих в формулах
для	Gо\	члены,	содержащие			е'. В этом	случае	вместо
(7.11)	и (7.19) будем			иметь соответственно
		(t, I) -	Кіг) it) Y {r+11(0 7<'+I)_1 (I)				(I)
и
G{0r) (t, l)		= V- 2	2	K ak]l (t) Ka+I) (0 Y ar+l)			‘ (Ю	(£).
		a=l fe=0 i=0
7.2.3.		С л у ч а й			п р о с т ы х		с о б с т в е н н ы х

з н а ч е н и й . Если все собственные значения А,х, Х2, ..., Кп матрицы U на рассматриваемом промежутке изменения аргу мента остаются простыми, то их можно разделить на п «групп», сохраняя в каждой «группе» по одному собствен ному значению. При этом расщепленная система будет со стоять из скалярных уравнений:

d y n	~	(а = 1,2, .. . , п),
~^Г	= Ха(х,е)у0	(а = 1,2, .. . , п),
где -
	К (т, е) = Ха +	2
		/ь=і

§ 7] П О С Т Р О Е Н И Е И М П У Л Ь С Н О Й П Е Р Е Х О Д Н О Й Ф У Н К Ц И И 277

В силу этого
*	~	~	/ ~	е) dt.
с 0 {t, I, е) = 2	/сст (т, е) УИ0 (т~., е) ехр		\ Ка К	е) dt.
ст=1			t
Члены разложений матриц Ко, Ма и скалярных функ
ций Ка определяются в данном случае формулами
И		k n . . .		1 I . , г ь _ п

V1	«	nt*- ч
2 J	\s- x a	u°	’
s^cr		>* Q2
		>* Q2	II

«s,4	у у	Ч -
	s+a	Ч -
	s+a

- MaD^'\

В соответствии с этим соотношения (7.11), (7.16) и (7.19) принимают вид

	Gp (t, g) =		п	K (ar) (t) M [a			I	(t) dt,		(7.20)
	Gp (t, g) =		2	K (ar) (t) M [a			(g) exp j w	(t) dt,		(7.20)
			a=l
где						л-1
где	— строка ст матрицы K{r)						, а
				^ =	Ь«т +		k=\
где		OPV, g) =			φχ= 0		È
					2	GS4] (<, g),
	{t, 6)	=	2				( 0	(t)(I)dt,e x p		J
			<J=l				I
öS”(*. 5) = 2’ /(a (0 M				a ©	I	(0 dt + Ko (t)			(g) +
	(7=1			Б					t
									t
					+	TCa ^ (t) M-о(£) exp			^	(/) dt

ит. п.

Итретья формула:

Glor) (t, g) = 2 2 2/СУ1(*) м У ' “ 1](g) ехр '1

(/) dt. (7.21!

сг= 1 fc=o t = 0

2 7 8	Д И Н А М И Ч Е С К И Е Х А Р А К Т Е Р И С Т И К И			СИ СТЕМ	[ГЛ. X
	7.2.4.	П р и м е р .	О д н о м е р н а я		с и с т е м а
в т о р о г о		п о р я д к а .	Рассмотрим	линейную систему

с одним входом и одним выходом, представленную скаляр ным уравнением

-^ г + О і(0 -§ - + Й2 {t)q = u-

Записав это уравнение в векторно-матричной форме, имеем

^ = U ( t ) x + H(t)u,

где

» - ( л	- 0-				-	о	- ( ; .
Будем предполагать, что на рассматриваемом промежут
ке изменения аргумента				а\ — 4аг Ф О,			так что		A,j Ф Я,а.
Имея в виду,	что
к ? 1= ( * ; ’ ),			«	у	=		(а =	1,2),
1*20
находим, используя формулу (7.21),
g\r>iß, ö '			= Gf' (f, t) H =
Gw (/, l)			= Gf' (f, t) H =
gir) (t, ö
=	2	2	2		/e[a] (0		/] (i) exp I ißa iß)dt.
=	2	2	2			mos	/] (i) exp I ißa iß)dt.
	о=10 1	=o=0 /=o/=0 '			/e^a] (/)
Отсюда искомая импульсная переходная функция
	2	г	k				*
g\r) it, 9=2 22 М					it) т й _<] (Ö exp] ^			(t) dt.
0=1 A=0(=0
Построим gjr) (^, 0			при г = 0,			1,2.
Имеем		1	1
К = ( / < Д 2) =		1	1			^[l] _	/Ct-A/f		dKj
К = ( / < Д 2) =			Я,			~	Я/ — Ä./		dt
ь42]	_	7C(/VIt-			dt
А/	_ h - h				dt

§ 7]

ПОСТРОЕНИЕ ИМПУЛЬСНОЙ ПЕРЕХОДНОЙ ФУНКЦИИ

279

0 \

d K °

л “ \о K J ’

м ° dt '

= — М„

( < ' ]

о А,сг

I г

{

>м,

м =

м,

^ — ^

1 Г

2 ’

л А ] =

...! —- Мі ^ М

;

X; — а,/ М / ' dt

dK\Ul

Mt +

м Р ]

1 ‘ M

Г = Т ^ Х І Мі

/ “ *' 1

(*=£/;

i, / = 1 , 2 ) .

Произведя необходимые

вычисления,

получаем

С&!

dX.,

/ЛП _

^2 ] -

Л|

(А-2 —Ѵ)а

А /

(Хі_Х г)2

d k

dkt

>П] —

Л2

—

■

dk 1

~ ! Г

д41] =

111

_______

{ - к

1),

( k » - k i ) 3

( - K

i);

(X, — Хо)3

/СІ2] =

12] _

к х ' =

		dki Iо dki	dki ) I d^XiP k l	( i	I I
(k, -	k J*	-dT\3 ~di--------щ-І + - ш - ( х2 — кi)
(k, -	k J*		dP
I		dX%fq dX2	dki) + jPk^i K __K)
а , — U)4 І “5d<Г Г _5Г			dt
		dXt dX,	d ki	dkо

Ä,.

M2] =

)£2] _

“d?

(k„-ki)s

(Я,-Я2)з ’

M ^ = (*2-bl)#

, d4.., .

d k2

dkl

dk„

' 2

— А

- ^ r +

- 5 Г

V W

6 Ч Г

X ( - 1 ,

M |2] =

(^i —

- 3

“

dXl

(kl - X,)6

X ( - b s

1)1-

<<< < Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 4428 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
03.11.20234.21 Mб38ba0501.djvu
#
10.05.2024227.33 Кб9Panel.doc
#
29.10.202310.49 Mб19Pushkov N.V. Quiet Sun.pdf
#
29.10.20232.39 Mб9А. А. Якубов библиография.pdf
#
03.11.20232.9 Mб61А.В.Никонов, Л.З.Папернов. - Измерители уровня звуковых сигналов-Радио и связь (1981).djvu
#
25.10.202317.28 Mб97Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf
#
19.10.20232.3 Mб61Абдуллаев, Я. Р. Электромагнитные устройства с индукционной подвеской учебное пособие.pdf
#
25.10.202315.35 Mб72Абелев М.Ю. Слабые водонасыщенные глинистые грунты как основания сооружений 8-й междунар. конгресс по механике грунтов и фундаментостроению.pdf
#
20.10.20237.92 Mб60Абжирко, Н. Н. Влияние вибрации на характеристики радиолокационных антенн.pdf
#
23.10.20236.9 Mб51Абовский Н.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек учеб. пособие.pdf
#
29.10.20232.32 Mб67Абраменко Б.С. Сборник задач по теоретическим основам эксплуатации радиотехнических средств.pdf