книги из ГПНТБ / Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем

где A = diag (^, Ä,2, ..., Kn), a N — некоторая квадратная матрица порядка п.

Замена переменных

je = Ку

приводит уравнение (6.1) к виду

^= A(t)y - M(t)N (t)y М M(t)h(t, Ку).

Полная производная от положительно определенной функции

V(t,x) = (K-'(t)x, K~'(()x) = lyF

по / в силу уравнения возмущенного процесса в данном случае представляется в виде

exp j 2ср (?, у (О) dt' — 1< — 26(t — g.

С другой стороны, принимая во внимание (6.13), можно указать такое р0 > 0, что для всех у, удовлетворяющих неравенству |у |< р0, будем иметь |я|з (t, у) |С 26, и тогда (см. (6.12)) V (/, х) С V (і0, х0). Значит, любое решение X = X (t) уравнения (6.1), которое удовлетворяет условию

( К №о)Х Ѵо), К (0) х (^о)) ^ Р2>

где р — произвольное положительное число из промежутка О< р <; ро, в пределах промежутка [t0, Т) будет удовле­ творять неравенству

(K -'(t)x(t), K ~ [(i)x (t))< р2.

Но тогда будет иметь место и неравенство

G-1(/)х (ОХР2,

где G(0 = К (О —Ш-, так как по условию теоремы а (і) с

< со(0- Условия устойчивости процесса выполняются, по­ скольку G(0 есть матрица класса К&- Теорема доказана.

Следствие. Если на промежутке U„, Т)

а (0 < ш(t)

и

то невозмущенный процесс (тривиальное решение уравнения

(6.1)) устойчив на промежутке [/0, Т).

Аналогично теореме 6.2 легко устанавливается и Теорема 6.4. Если на промежутке [(0, (г)

а (О О (О

и

Ро (^о) Ч- v max (^o) < Z. О,

то существует конечный промежуток [/0, Т) cz [/0, /х), на

котором невозмущенный процесс (тривиальное решение урав­

нения (6.1)) устойчив.

6.3. Применение алгоритма асимптотического преобра зования уравнения. Наряду с уравнением (6.1) введем в

рассмотрение уравнение

которое при е = 1совпадаете уравнением (6.1). Невырожденным преобразованием

Допустим, что U (т) на рассматриваемом промежутке

изменения аргумента является / раз дифференцируемой матрицей. Тогда, используя алгоритм, приведенный в

гл. VIII, можно построить такую матрицу А ' " ' 1 , ч т о матрица

Л(т) будет иметь диагональный или по крайней мере квази­ диагональный вид, а матрица Л1(т) будет удовлетворять

условию.

lim /Ѵ(т>(т, в) = 0 (т = О, 1,2.......... / — 1). (6.18)

Мы здесь ограничимся случаем, когда U имеет только простые собственные значения. При этом матрицы К {т) и

Л(ш’ представляются в форме конечных сумм:

требование (6.18) соблюдается.

Равенство (6.20) удовлетворяется, если в качестве диаго­

нальных элементов матрицы Лг°] взять собственные значе­ ния Я2, ..., Хп матрицы U, а в качестве столбцов матрицы

/<[0:і принять отвечающие этим собственным значениям соб­

гональной матрицы А1-*-1из условия (6.21) представляются соотношениями (см. гл. VIII, § 2)

К[ак1= Pcdik~l] + К0Ф 1 W = - л Ы к-Ч

Для наших целей нужно, чтобы столбцы матрицы пре­ образования (6.16) имели одинаковую норму, определен­ ную положительной функцией а (/). Это требование мож­

но выполнить соответствующим подбором матрицы Z. Примем

= A — Z — будет иметь диагональный вид.

Возвращаясь к исходному уравнению (6.1), произведем замену переменных

(6.22) при е = 1. Тем самым уравнение возмущенного дви­ жения (6.1) приводится к виду

J l - = (л'"0 — Z“1 \ij — Z lMtm)N{m)Zy +

+ Z~lM{m)h(t, K {m)Zy).(6.23)

Согласно теореме 6.3, если

а (t) < со (t),

то для устойчивости невозмущенного процесса (тривиаль­ ного решения уравнения (6.1)) на заданном промежутке [t0, Т) (Т < оо) достаточно выполнения неравенства

і

(t G[^o> T)).

Г л а в а XVI

УСТОЙЧИВОСТЬ ПРОЦЕССОВ ОТНОСИТЕЛЬНО

ЗАДАННОЙ ОБЛАСТИ ПРЕДЕЛЬНЫХОТКЛОНЕНИЙ

В определении устойчивости на заданном промежутке времени, введенном в гл. XIV, область предельных откло­ нений формируется посредством матрицы заданного класса

/С“. При этом матрица G (і), определяющая область пре­

дельных отклонений, не рассматривается наперед заданной, так что и сама область предельных отклонений не является наперед заданной: для устойчивости процесса требуется

лишь существование в классе Ад такой матрицы, для ко­ торой условия (14.3.1) и (14.3.2) соблюдаются.

Наряду с этим представляется целесообразным введе­ ние и понятия устойчивости на заданном промежутке с априорным заданием конкретной области предельных от­ клонений. В этом случае, конечно, хотя речь идет не о раз­ мерах области, а только о ее форме, понятие устойчивости приобретает в большей мере оттенок субъективности, и тем не менее рассмотрение устойчивости по отношению к заданной области представляет и теоретический, и извест­ ный практический интерес (хотя бы, например, потому, что из устойчивости процесса по отношению к области, опре­

деленной через матрицу класса Ад, немедленно следует устойчивость в смысле введенного в гл. XIV понятия устой­ чивости процесса на заданном промежутке времени).

§ 1. Понятие устойчивости относительно заданной области

дельных отклонений приобретает тот или иной вид. На­ пример, полагая

S(t) = g(t)E ,

где g (I) — некоторая ограниченная скалярная функция, ограниченная снизу положительной константой (g (/) > > а > 0), Е — единичная матрица, получим область пре­

дельных отклонений в форме шара с радиусом, равным Р/g(t)-

Если 5 — постоянная квадратная матрица общего вида, то область предельных отклонений представляет собой ц-мерный эллипсоид с неизменными параметрами. В более общем случае переменной матрицы 5 (t) соотношения (1.1)

и (1.2) представляют эллипсоид с параметрами, изменяю­ щимися по t.

Таким образом, условия выбора 5 (t) позволяют конст­

руировать область предельных отклонений разнообразной формы.

Ниже исследуются условия устойчивости и неустойчи­ вости невозмущенного процесса на конечном промежутке Н0, Т) (Т < оо) относительно заданной области предельных

отклонений применительно к процессам, которые описы­ ваются векторно-матричными уравнениями

где U — квадратная матрица порядка п; х, h — столб­ цовые матрицы; U и h — непрерывные функции своих

аргументов. Элементы матрицы /і — нелинейные функции отклонений xs — таковы, что равномерно по / в пределах промежутка [/Q, Т)

§ 2. Устойчивость процесса относительно области, определяемой каноническим преобразованием уравнений

Допустим, что к (і) — ограниченная, невырожденная и дифференцируемая квадратная матрица порядка п и такая,

что замена переменных

приводит линейное уравнение (1.3) (линейную часть урав­ нения (1.4)) к каноническому виду

Итак, выясним условия устойчивости невозмущенного процесса относительно области предельных отклонений (2.3), рассматривая К (t) как заданную матрицу. Сначала

рассмотрим вопрос о существовании такого конечного про­ межутка времени П0, /0 -{-■ А/), на котором условия устой­

чивости невозмущенного процесса соблюдаются, а затем займемся условиями устойчивости процесса на заданном промежутке.

2.1. О существовании конечного промежутка устойчи вости .

2.1.1. Линейный процесс. Учитывая диаго нальную структуру матрицы Л, из (2.2) получаем следую­ щее дифференциальное уравнение относительно нормы век­ тора у:

Всоответствии с (2.4) полная производная от положитель­ но определенной функции V (t, х) = Цу |2 в силу уравнения

возмущенного процесса равна

то существует конечный промежуток U0, (0 -f АО, на ко­

тором линейный процесс (тривиальное решение уравнения

(1.3 ) ) обладает устойчивостью по отношению к области

(2.3) .

Доказ ательство. Из (2.5) следует, что

ная производная по t от положительно определенной функ­ ции V (/, X) в силу уравнений возмущенного процесса удов­

летворяет условию

что доказывает теорему.

котором линейный процесс (тривиальное решение уравне­

ния (1.3)) обладал бы устойчивостью по отношению к области

(2.3), т. е. At = 0.

Доказ ательство. Допустим для определеннос­