книги из ГПНТБ / Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем
.pdf220 |
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАСЩ ЕПЛЕНИЯ СИСТЕМЫ |
[ГЛ. VIII |
Далее находим
_ и*м* =
Как видим, написанное выше тождество действительно имеет место, и, значит, вектор г, представленный равенст вами
|
|
г = М*ѵ, |
= — A*Ü, |
|
||
является |
решением данной системы. |
|
||||
§ 9. Приближенное решение системы |
|
|||||
Обозначим |
|
|
|
|
||
К Г (т, е) = |
V гкК[-](X). |
Л(ат) (т, в) = |
V е*Л™ (т), |
|||
|
k=0 |
|
|
k=0 |
||
MST’ (X, е) = |
V |
(т), |
R[m)(X, е) = |
ekRk(т). |
||
|
*=0 |
|
|
fc=0 |
||
Приближенным решением системы (2.1) будем называть |
||||||
вектор хт, определенный |
равенствами |
|
||||
хт = |
^ К Т ]{х, г)уТ \ |
|
(9.1) |
|||
du(m) |
а=*\ |
|
|
|
|
|
A(am) (т, |
е) у Т ] + |
М Т](т, е) R{m) (х, |
в)/ (t, т, в). (9.2) |
|||
—— |
||||||
Построенное приближенное решение допускает следую щие оценки (см. Приложение).
Если
* ( ° ) = * т (0),
то существует такое ех > 0, что для некоторых постоянных сп и е2 (е2 £ (0, ех)) на сегменте tx < t < t2, ilt t2 £ [0, L/e*]
§ 9] |
П Р И Б Л И Ж Е Н Н О Е Р Е Ш Е Н И Е С И С Т Е М Ы |
2 2 1 |
||
имеет |
место оценка |
|
|
|
|
IIX— хтII < cmem+1 |
(е < е2; |
t£ [tlt t2]). |
|
Если, помимо сделанных выше предположений, все соб |
||||
ственные значения эрмитовой матрицы Р = |
(А + А*) |
|||
неположительны, то |
|
|
|
|
|
\х — хп \\< с,пе:т - 1 |
е € (0, ej; |
t £ О,— |
|
|
|
|
’ |
е |
В случае однородной системы имеет место оценка |
||||
|
|
|
L_ |
|
|
< с„,е |
(е£(0, Ej); t g О, 8 |
|
|
Эти оценки показывают, что приближенное решение (9.1), (9.2) имеет асимптотический характер.
В заключение этого параграфа докажем одну лемму.
Л е м м а 9.1. Пусть произвольные матрицы Q[kJ (k = = 1, ..., т) выбраны так, что ранг матрицы
Eka -I- 2
*=i
равен ka. Тогда ранг матрицы /(âm) также равен ka-
Имеем
= + К ^ e kQla ]
/г=1
или, так как
/QSa] \
\ QpaJ р т
K ^ = Ka+ J ] S e ftAsQ^a].
s = l A = 1
Отсюда
m , p,_
M o W = Eka+
<s=l
и, значит, ранг матрицы равен ka. Поэтому ранг матрицы Ка^ не меньше, чем ka, а так как эта матрица со стоит из ka столбцов, то ранг КаП) в точности равен ka.
222 |
АСИМПТ (ЭТИЧЕСКОЕ |
РАСЩ ЕПЛЕНИЕ СИСТЕМЫ |
[ГЛ. ѴПІ |
Из доказанной леммы следует, что если уу1 есть |
общее |
||
решение уравнения (9.2), |
а произвольные матрицы |
||
\k = |
1.......т) выбраны так, |
что |
|
Eka+ 2
A=»I
— невырожденная матрица, то равенство
представляет kaлинейно независимых приближенных реше ний уравнения (2.1), соответствующих ka собственным зна чениям матрицы U, включенным в группу щ
Г л а в а IX
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАСЩЕПЛЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ (ВТОРОЙ МЕТОД)
Алгоритм расщепления системы линейных дифференци альных уравнений первого порядка, изложенный в пред шествующей главе, приводит к расщепленной системе, со стоящей из подсистем линейных дифференциальных урав нений, матрицы коэффициентов которых могут принимать в каждом конкретном случае тот или иной вид. Ниже ука зывается другой метод расщепления линейной системы, при котором матрицы подсистем расщепленной системы получа ются в канонической форме, а именно в естественной нор мальной форме. Применительно к однородной системе диф ференциальных уравнений этот метод приводит к системе, состоящей из независимых дифференциальных уравнений первого или более высокого порядка.
§ 1. Две леммы
Пусть собственные значения квадратной матрицы U (т)
порядка п разбиты |
на р групп Х[а), |
|
, |
..., |
(ff == |
||||||
= 1........ |
р\ |
р |
— п) так, что |
|
|
|
|
|
|
||
2 |
К |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
<J=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I k\0) (т) — Я/5) (т) I > |
0 |
|
|
|
(1.1) |
||
(o' |
s; |
і =з 1, |
. • . , k<2 ) j = |
1, |
■ * |
■ j |
|
T- £ [Oj -^])* |
|
||
Тогда (см. г л .V) могут быть |
построены матрицы К о |
(т), |
|||||||||
Аа (т), Ма (т) |
типа |
соответственно |
п х |
ka, ka X ka, ka x |
|||||||
X n (er = |
1, .... p), |
дифференцируемые |
по |
т столько |
раз, |
||||||
2 2 4 А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Е Р А С Щ Е П Л Е Н И Е [ГЛ . IX
сколько раз дифференцируема матрица V (т), такие, что
U = 2 Ua= |
KAM, |
Uо= КоАаМо, |
||
0=1 |
|
|
|
( 1.2) |
|
|
|
|
|
м л |
, ^ |
\ |
Е‘°- |
s = °- |
|
|
о, |
s=£o. |
|
где К, А, М — соответствующие блочные матрицы. Собственными значениями каждой матрицы Аа служат
собственные значения матрицы U, включенные в соответ
ствующую группу а. |
|
|
2, ..., р) |
|
|
||
Матрицы Ра = |
КаМо (о — 1, |
являются про |
|||||
екционными (РІ = Ра) и обладают свойствами |
|
||||||
PaPs — О |
(ОФЗ), |
|
^ Р г , = Еп, |
|
|
||
|
|
|
|
сг= 1 |
|
|
|
P jj^ U P o ^ U o , |
PoUs = UsPa = 0 |
(s=^o). |
|
||||
Для удобства дальнейшего изложения введем в рассмот |
|||||||
рение л-мерное векторное пространство R |
и действующие |
||||||
в нем линейные операторы |
U, Ра (о = 1, 2 |
.......р), которые |
|||||
в некотором базисе |
ег, |
е2, |
еп |
отвечают |
соответственно |
||
матрицам U, Ра, (<т = 1, 2.......р). Эти операторы и матри |
|||||||
цы связаны соотношениями |
|
|
|
||||
U% = %U, |
Ро& = %Ро |
(ог*=1.......... р), |
(1.4) |
||||
где g = (ег е2 |
... еп). |
|
|
|
|
любого |
|
Операторы Ра являются проекционными, и для |
|||||||
g ИЗ R, как это следует из (1.3), |
|
|
|
||||
PcPsg = 0 |
(S=£v), |
^ P o g = g. |
|
||||
|
|
|
|
|
СГ= 1 |
|
|
В соответствии с последними соотношениями простран ство R расщепляется на р подпространств:
R — R\ Ң- ■ • 4 ~ Rp, |
Ra — РаR |
(о = |
1,2, . . . |
, л). |
|
Эти |
подпространства |
инвариантны относительно |
опера |
||
тора U. |
Действительно, |
пусть, например, g |
£ R a. |
Тогда, |
|
используя равенства (1.3) и (1.4) и учитывая, что вектору, как и любой другой вектор из R, можно представить в виде g = g g, гдeg — столбцовая матрица, составленная из координат вектора g в базисе ег, ег.......еп, последовательно
получим Ug = UPaQg = $UPag = %P0Ug = PoUQg £ Ra-
§ П |
Д В Е ЛЕММЫ |
2 2 5 |
Следующая лемма устанавливает связь между аннули рующими многочленами подпространств R a и матрицами
А0 в разложении (1 .2 ).
Ле м м а 1.1. Всякий аннулирующий многочлен подпро странства RQявляется аннулирующим многочленом и для матрицы А а, и обратно, всякий аннулирующий многочлен
матрицы Аа является аннулирующим многочленом и для подпространства Ra.
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть ср0 |
(Я) |
— некоторый |
|||
многочлен от Я. Учитывая, |
что UkPa = |
KaAgMa, для лю |
||||
бого вектора g из R будем иметь |
|
|
|
|||
фа (U) P a g = Фа (U) Pa%>g = |
§фо (U) Pag = |
g /Софа (Аа) М 0g. |
||||
|
|
|
|
|
(1.5) |
|
Если |
фа (Я) — аннулирующий |
многочлен |
подпростран |
|||
ства R a , |
ТО |
|
(g£R), |
|
|
|
|
4>o(U)Pog = 0 |
(1.6) |
||||
и, значит, согласно равенству (1 .5) |
g/Сафа (Ла) Mag = 0 . |
Но |
||||
последнее равенство может |
выполняться для любого |
g |
||||
из R тогда и только тогда, когда |
|
|
|
|
||
|
фа (Ла) = |
0. |
|
(1.7) |
||
Поэтому |
фа (Я) является |
аннулирующим |
многочленом |
|||
матрицы Л0. И обратно, если ф0 (Я) — аннулирующий много член матрицы Лст, то имеет место равенство (1.7) и в силу
(1 .5) — равенство (1 .6 ) для любого вектора Ра g£ Ra |
(g £R). |
||
С л е д с т в и е . |
Минимальные |
аннулирующие |
много |
члены подпространства R a и матрицы Аа совпадают. |
|||
Далее, если &а-мерное подпространство Ra — цикличе |
|||
ское относительно |
оператора U, |
а е — ge — порождаю |
|
щий вектор этого подпространства, то система векторов е,
(Je, ..., Uk(J~'e линейно независима. Линейно независи мой является также система столбцовых матриц е, Lie, ...
..., Uk°~'le. Можно показать, что существует такая матри
ца «атипа/еа X 1, что система аа, Аааа, ..., л £ 0 _ 1аа также линейно независима. Более того, справедлива следующая Л е м м а 1.2. Для того чтобыка-мерное подпространст во Ra, инвариантное относительно оператора U, было цик лическим, необходимо и достаточно существование столбцо
вой матрицы аа типа kQ X 1, которой отвечает линейно независимая система столбцовых матриц
8 К. А. Абгарян
226 |
А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Е |
Р А С Щ Е П Л Е Н И Е |
ti-л. IX |
|
Qo, A<jÜ0 , . . . |
, Аста аа. |
(1 -8 ) |
Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим матрицу
it = (Uka~le |
и к°~2е |
... |
(Je е) |
|
(е= |
Рае). |
|
|
|
Используя разложение |
(1.2) |
и |
учитывая, |
что |
Мге = |
||||
= МѣРае = 0 (s Ф а), эту |
матрицу можно представить в |
||||||||
виде |
it = Kj£o, |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
где і£а = {А.ка~1Мае Лка~2Мае . . . |
АаМае |
Мае) —квадрат |
|||||||
ная матрица порядка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Матрицы it и і£а |
имеют |
один |
и тот |
же ранг, |
так как |
||||
матрица Ка состоит |
из линейно |
независимых столбцов. |
|||||||
Используя это обстоятельство, легко |
доказываем |
лемму. |
|||||||
Н е о б х о д и м о с т ь . |
Пусть |
/?„ |
— циклическое |
под |
|||||
пространство, а е = |
%г — его |
порождающий |
вектор. |
Тог |
|||||
да столбцы матрицы it линейно независимы. Значит, ли нейно независимы и столбцы матрицы ita. Если принять
аа — Мае, |
(1.9) |
|
то, очевидно, система (1 .8 ) |
также будет линейно незави |
|
симой. |
|
|
Д о с т а т о ч н о с т ь . |
Допустим, |
что система (1.8), |
где аа — некоторая матрица типа ka х |
1 , линейно незави |
|
сима. Тогда столбцы матрицы і£ также будут линейно не зависимыми, если в качестве е принять какое-нибудь нену левое решение матричного уравнения (1.9). Ясно, что та кое решение всегда существует и соответствующий вектор е = Не принадлежит подпространству Ra. Значит, ^-мер ное инвариантное подпространство Ra является цикличе ским. Лемма доказана.
§ 2 . Преобразование однородной линейной дифференциальной системы с постоянными коэффициентами
ксистеме независимых дифференциальных уравнений
2.1.Преобразование к расщепленной системе уравнени второго порядка. Рассмотрим линейную стационарную си стему
А^- = ВХ, |
(2.1) |
S 1] |
П Р Е О Б Р А З О В А Н И Е О Д Н О Р О Д Н О Й С И СТ Е М Ы |
227 |
|
где А |
и В — постоянные матрицы порядка п, причем п — |
||
четное число и clet А Ф 0. |
|
||
Т е о р е м а |
2.1. Пусть собственные значения матрицы |
||
U — А~1В четного порядка п разбиты на р = |
п! 2 групп, |
||
по два собственных значения в каждой группе, так, что |
|||
\%?) - % Т \ > 0 |
(/,/=1,2; а, 5=1,2, ..., |
p . a ^ s ) , |
|
а инвариантные подпространства Rlt R2, •••> Rp п-мерного пространства R, соответствующие указанным р группам собственных значений матрицы U, являются циклически ми. Тогда решение уравнения (2.1) может быть представле но в виде
х — |
(S1 ~Tt Н ЪоЦаІ , |
(2 .2 ) |
|
а=1 |
|
где qa — скалярные функции, удовлетворяющие уравнениям
t P q . |
d q n |
|
P)■ (2-3) |
|
—tffi |
---- [-’ХооЦо — О (0 = 1 , |
|||
Д о к а з а т е л ь с т в о . Подставим (2 .2 |
) в |
(2.1) и |
||
исключим при этом d |
с помощью равенств |
(2.3). |
Полу- |
|
чим |
dr2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
[Slor(— |
-----«2 o<7 aj + |
|
|
|
О»1 |
|
|
|
|
= U У { b a - jp + baq.)■ CJ= 1
Приравняем в этом равенстве коэффициенты при — и qa'■
— ^laCtio + а= Н£іа, |
|
|
||
— £,1 0 X9 а |
П^2о |
(О = 1 , 2 |
, • • . , р), |
|
ИЛИ |
^2а = |
П£іо + Cti(j£ia, |
|
|
|
(2.4) |
|||
|
О= |
П^2а “j“ ®-2о^І0- |
||
|
(2.4) на U и сложим |
|||
Умножим слева |
первое |
равенство |
||
со вторым. Получим |
|
|
|
|
(V2 |
+ а\JJ + а 2а£) £1ст == 0. |
|||
8*
2 2 8 А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Е Р А С Щ Е П Л Е Н И Е [ГЛ . IX
В силу последнего соотношения система (2.4) эквивалентна системе
(U 2 -j- щ ои + а,ч0Е ) gier = О,
І2 а — Д£іа -j- CtiejgjCT, |
|
|
|
которую коротко можно записать так: |
|
|
|
ф а (£/) £іа — 0 , |
1 |
(2.5) |
|
&?о = Д £ і а + « l a g a , I |
|||
|
|||
где |
|
|
|
ф а (^) == ^ ~Ь Ctla^ “Ь а 2а- |
|
||
Для доказательства теоремы достаточно показать раз |
|||
решимость уравнений (2.5) относительно | |
/ 0 иауо (/ = 1,2). |
||
Пользуясь соотношениями (1.2), (2.5) |
представим в виде |
||
2 /ОРа(Л5) Щ ,а = 0 |
, |
( 2 6) |
|
Ьс = иЪо + СС1а^іа.
По условиям теоремы двумерное инвариантное подпро странство /?о, соответствующее группе а собственных значе ний матрицы U, циклическое. Поэтому минимальный много член этого подпространства есть многочлен второй степени с коэффициентами, определенными по формулам Виета:
ф0 (Я) = |
Г |
+ |
а 1а)Х + с4 |
а), |
|
а '0) = |
_ |
( ^ |
Ч |
Л |
|
с4а>= |
i W . |
|
|
||
Положим |
|
|
|
|
|
aia= a f ) |
|
( / = 1 , 2 |
). |
||
Тогда |
|
|
|
|
|
ф а (^ ) = |
Фа м |
, |
|
||
т. е. фа (Я) — минимальный многочлен подпространства R a-, следовательно, согласно лемме 1 . 1
ф а (Л а ) — 0 .
Примем
ga == Да^Оі
где аа — некоторый двумерный вектор-столбец (матрица типа 2 X 1).
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЫ |
229 |
|
Легко видеть, |
что при таким образом определенных |
|
фо (А.) и £іо первое |
равенство (2 .6 ) выполняется |
тождест |
венно: |
р |
|
р |
|
|
У K stya (-^s) М &о — 2 K stya (Л5) MiKaQо — Katya (-Ко) О-а—0.
Из второго же равенства находим
^2 а == UKaOa 4" ЩаКа&о ==
— Ка^-айо ~Е 0 - 1аКаО-а — Ка {-^-о “Е Ctl0 ^ 2 )
Остается выбрать а0. Положим
Тогда преобразование (2.2) можно представить в виде
л: = Кг. |
(2.7) |
Если в качестве аа взять порождающий вектор подпро странства Ra (для которого ф0 (X) является минимальным многочленом), то матрица К будет невырожденной и, сле довательно, невырожденным будет и преобразование (2.7).
Из вышеизложенного следует, что путем замены пере менных (2.2) система (2.1) приводится к виду (2.3). Теоре ма доказана.
2 .2 . Общий случай Т е о р е м а 2.2. Пусть собственные значения матрицы
U = |
А |
1В разбиты |
на |
р групп |
А.'0’, АІа) , ..., |
' (ст = |
= 1 , 2 |
, |
..., р\ 2ka = |
п) |
так, что |
|
|
причем соответствующие этим группам инвариантные под пространства /?j, / ? ......2 R p являются циклическими под пространствами п-мерного векторного пространства R. Тогда решение уравнения (2.1) может быть представлено в виде