книги из ГПНТБ / Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем
.pdf1 6 0 |
С И С Т Е М Ы Л И Н Е Й Н Ы Х У Р А В Н Е Н И Й |
[ГЛ . VII |
(3.4) |
разрешимо относительно у: |
|
|
у = е~ЛіаК~]х(і0) = е~АІ°К~'с. |
|
Таким образом, действительно, если все собственные зна чения матрицы U простые, то общее решение уравнения (3.1)
представляется |
выражением (3.3). |
|
2. Число |
различных собственных значений матрицы U |
|
меньше, чем |
п, |
но каждому собственному значению крат |
ности гj отвечает ровно rf линейно независимых собственных векторов K f\ В этом случае общее решение одно родной системы можно представить в виде
/=1
- 3. Число различных собственных значений матрицы U равно или меньше, чем п, и каждому собственному значению К/ кратности Г/ отвечает один или несколько (но не более, чем г() собственных векторов (общий случай). Этот случай будет рассмотрен позже при описании другого метода.
§ 4. Преобразование Лапласа
Построим решение векторно-матричного уравнения
|
-§ - = Ux + h(t) |
|
(4.1) |
при начальном условии |
|
(4.2) |
|
|
|
|
|
с помощью преобразования Лапласа. |
|
е~Р‘ и |
|
Обе части уравнения (4.1) умножим справа на |
|||
проинтегрируем по t |
в пределах от 0 до оо. Получим |
|
|
СО |
оо |
оо |
|
или |
= U L ( x ) + L ( К ) |
-f- .г (0), |
(4.3) |
p L ( X ) |
|||
где |
|
|
|
оо |
|
оо |
|
о |
о |
§ 4] П Р Е О Б Р А З О В А Н И Е Л А П Л А СА 161
— изображения Лапласа функций х и /г. Из (4.3) находим
L(x) = ( p E - U ) - ' x(0) + ( p E - U ) - 'L(h). |
(4.4) |
||
Л е м м а 4.1. Для произвольной квадратной матрицы U |
|||
имеет место равенство |
|
|
|
L - 1l(p E -U )-'] = eU!. |
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть К = |
(КхК2 ■■■Кт) — |
|
матрица, преобразующая U к форме Жордана |
|
|
|
J = diag (Ji (Xj), |
J2(^2 ) 1 • •• I |
I |
|
так что
m
и = KJM = % KoJc(K)Ma.
0=1
Тогда
(pE — U)-' = (pKM — KJMГ ' = [K (pE — J) M]~l =
Ho |
|
|
|
|
|
|
= K(pE — J)~lM. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(p£ —/) = diagKpf*, —Л)> . . . . |
(pEkm— J m)]. |
|||||||
Учитывая это, |
получим |
m |
|
|
|
|||
(pE - |
1 |
|
|
1 |
||||
U)-1= |
2 Ko (p£fc0 - |
|
Mo- |
|||||
Отсюда |
|
|
|
|
0=1 |
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
L~' [(pE - |
|
1 /)'1] |
= |
[(p£*0- |
Ja) 1Л4- (4.5) |
|||
|
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
0=1 |
|
|
|
Имеем (см. |
(5.9.9)) |
|
|
|
|
|
||
{pEk0— Ja) |
— \{р |
ha) Eka |
Hka]—1 |
— |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
,fca-l |
E>o |
+, |
H *c |
+ |
|
+ |
**a |
||
( P - K ) s |
+ |
|||||||
p — \ |
|
( P - |
V |
2 " г |
|
ІР -К ) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ß K. A. Айгаря«
162 |
|
С И С Т Е М Ы Л И Н Е Й Н Ы Х |
У Р А В Н Е Н И Й |
[ГЛ. VII |
|||||
На |
основании последнего |
соотношения |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
к, |
|
|
|
|
L-'l(pEka-Jar']=%Hl-lL-1 |
|
(4.6) |
||||||
|
|
|
|
|
Ѵ=1 |
(P- К ? |
|
||
Здесь принято НІа = |
Ека- Но |
|
|
|
|||||
. —1 |
|
I |
с-к°° |
|
|
. |
|
|
|
|
7* |
|
|
е?1 |
|
|
|
||
( Р - К ? |
^ |
S і7 = к Г “р ' |
|
|
|||||
|
|
|
с — І оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(V— 1)1 |
(і = |
Ѵ - 1), |
|
|
|
Н. і |
, |
H i Р |
|
н Г Ѵ * - ' |
|||
|
|
|
«а |
|
Аа |
+ |
«а |
|
|
|
г\п — |
|
|
|
21 |
( К - |
Di“ |
||
|
г > |
ka). Поэтому |
|
|
|||||
(так как Нр0 — 0 при |
|
|
|||||||
L“ 1[(pEka— Jo)~]] = еНка*е%а*= |
e(X°£*«+"*o> 1= eJo |
||||||||
Подставляя |
(4.7) в |
(4.5), |
|
будем |
иметь |
|
(4.7) |
||
|
|
|
|||||||
L“ 1[(рЕ — U)-1] = 2 |
|
К У *(Ха) 'Л4а = |
KeJIM = еш. |
||||||
Лемма |
доказана. |
а=>1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Используя эту лемму, вместо (4.4) записываем |
|
||||||||
|
|
L{x) = L (еш) x{0) + |
L [еш) L (h). |
|
|||||
Применяя обратное преобразование Лапласа, отсюда на ходим
x(t) = eutx(0) + L-1 [L(eUi)L(h)]. |
(4.8) |
Для скалярных функций g и /г имеет место теорема о свертке
ZT1[L (£) L (А)] = J g (t - s) h (s) ds. |
(4.9) |
о |
|
Эта формула, очевидно, остается справедливой, когда одна из функций, например h, — векторная функция. Можно показать, что формула, аналогичная (4.9), имеет место и
5 4] П Р Е О Б Р А З О В А Н И Е Л А П Л А С А 163
в |
нашем |
случае, |
когда |
одна функция (еи>) — квадратная |
||||||||
матрица, |
а |
вторая |
(h) — вектор. |
|
|
|||||||
|
Действительно, так |
как (см. (4.7) и (4.6)) |
|
|||||||||
L (eut) = ( р Е - U)-1= |
т |
Ко (pEka- |
JaГ ! Мо = |
|||||||||
£ |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
а=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
Ң У ~ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
СТ=аІ |
|
Ѵ = І |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
/ |
/V— 1 |
|
|
|
|
|
|
|
= S |
|
E ^ ' М т Г Г Т ) , |
|||
ТО |
|
|
|
|
|
|
|
0 = 1 |
|
V = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г —1, г , т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
lL(eut)L(h)] = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
т |
к , 2 |
|
|
|
|
|
|
,ѵ—1 |
|
||
|
= 2 |
ЯС'ЛЫ Г1 [ і ( 17Д ПГ e’- 'j L (Л) |
||||||||||
|
о=1 |
ѵ=І |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
К. |
|
jy—1л/f |
P |
- 5)V — |
I |
|
|||
|
|
|
|
|
Г |
й * - |
||||||
|
= £ К. 2 Л ~ 'м . |
J |
|
|
Л |
|||||||
|
0 = 1 |
V = 1 |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
m |
1k° |
|
|
|
|
eXa{t~s)Mah (s)ds = |
|||||
|
-E MJ тS |
|
|
(V - |
1)1 |
|||||||
|
|
|
|
* |
|
|||||||
|
|
I |
У |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0=1 |
о Ѵ=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
= f £ |
„Я*о |
-s>V «- |
|
|
|
||||||
|
Кое |
at<" S>^ ' u- s)Mo/i(S)ds = |
|
|||||||||
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
С £ |
|
KaeJ<7{ka) u~s)Mah (s) ds = I ey ('~ s) h (s) ds. |
|||||||
|
|
|
6 CT=i |
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
С учетом последнего результата соотношение (4.8) при |
|||||||||||
мет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X(0 = |
етх (0) + |
{ еи {t~s)h (s) ds. |
(4.10) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
Остается х (0) выбрать так, чтобы удовлетворялось гра |
|||||||||||
ничное условие (4.2). Имеем |
|
|
|
|||||||||
|
|
* (д |
= |
еи (‘°}х (0) + |
J° еи (t°~s)h (s) ds. |
|||||||
I *
164 |
С И С Т Е М Ы Л И Н Е Й Н Ы Х У Р А В Н Е Н И Й |
[ГЛ VII |
Отсюда
Іь
X(0) = е~и‘°х( д — J e~Ush (s) ds.
о
Подставляя значение х (0) в (4.10), получаем
x(t) = еи {t~lo)x ( g — |
е {t~s)h (s) ds + |
[ eu {‘~s)h (s) ds. |
|
о |
|
|
d |
Отсюда |
|
|
|
X (t) = eu {t~U)x (t0) + |
J eu u~s)h (s) ds. |
||
§ 5. Интегрирование путем замены переменных |
|||
Решение однородного |
уравнения |
|
|
|
^ - = Ux |
(5.1) |
|
при начальном условии |
|
|
|
|
x(t0) = |
с |
(5.2) |
можно построить и так.
Пусть К — матрица, преобразующая матрицу U к жор-
дановой матрице J, так что |
|
|
|
|
||
U = KJK~l = |
KJM |
(М = |
К~1). |
(5.3) |
||
В уравнении (5.1) произведем замену переменных |
||||||
Получим |
|
х = Ку. |
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
= |
К~ѴКу, |
|
|
||
|
dt |
|
|
|||
или, учитывая |
(5.3), |
dy |
= Jy. |
|
|
|
|
|
|
|
(5.4) |
||
|
|
dt |
|
|
|
|
Матрица J имеет квазидиагональную структуру: J = |
||||||
== diag (Jx (kj), |
..., Jp (kp)). Столбцовую матрицу у |
разобьем |
||||
на блоки так, |
чтобы число |
строк |
/-го |
блока |
равнялось |
|
■)
§ Б] И Н Т Е Г Р И Р О В А Н И Е П У Т Е М З А М Е Н Ы П Е Р Е М Е Н Н Ы Х 165
порядку клетки Жордана У, (Я,). Тогда будем иметь
А (ЯД
d |
■ Уі ‘ |
|
• |
0 |
" Уі " |
|
di |
|
|
0 |
|
‘ . |
|
|
- Ур |
- |
|
- |
||
|
|
|
|
|||
|
|
|
_ |
|
J p ( k p ) — |
|
Как видно, наше векторно-матричное уравнение распа дается на р независимых уравнений
- § - = • / / № / |
(/ = 1,2.......... |
р). |
(5.5) |
Каждое из векторно-матричных уравнений (5.5) представ ляет собой систему с треугольной матрицей. Уравнения этой системы могут быть легко проинтегрированы последователь но, начиная с последнего. Построим решение уравнения
■%L = J,(h)yt. |
(5-6) |
пользуясь, однако, другим, более удобным способом. Фундаментальная матрица системы (5.6) имеет вид
Y, = eJi (Ѵ '
или, так как УДЯу) = Я/£Л. + Hkj, К, = eV/*V. Имеем
нкл |
_ |
Hkf |
Hiß |
|
|
|
кг і(кг і |
||
|
. .. |
|___ _______ |
|||||||
е |
k> = |
Ekj + |
1' |
1 |
L__L |
||||
21I |
^ |
|
^ |
(А/—1)1 |
|||||
Легко |
видеть отсюда, |
что |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
t |
p |
|
tki |
1 |
|
|
|
|
|
21 |
' ” |
( * / - ! ) ! |
|||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
* . . . |
f |
r |
2 |
|
|
|
|
|
( * / - |
2)1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
0 |
0 . . . |
|
1 |
|
|
166 |
С И С Т Е М Ы Л И Н Е Й Н Ы Х |
У Р А В Н Е Н И Й |
[ГЛ . V II |
|||
Таким |
образом, |
|
|
P |
tkr x |
|
|
|
1 |
t |
|
||
|
|
21 ‘ |
’ № /-i)i |
|
||
|
|
|
|
|
||
|
У/ = eV |
0 |
1 |
t . |
tkr 2 |
|
|
|
№/-2)1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 . |
1 |
|
Зная фундаментальные матрицы уравнений (5.5), можно построить фундаментальную матрицу уравнения (5.4) в виде квазидиагональной матрицы
"У,
О
У =
О
Общие решения уравнений (5.4) и (5.1) имеют соответ ственно вид
У(О = У (О У, x{t) = KY{t)y.
Чтобы выполнялось условие (5.2), должно удовлетво ряться равенство
X (д = KY (д у = с.
Отсюда
Г = Y ~' (А)) К~1с = Y~' (д Мс.
Итак,
x (t)= K Y (t)Y -'(t0) Me.
Можно показать, что KY (t) У-1 (t0) м = еи Действительно, так как МК — Е, то
KY (О Г -1( д м |
= |
|
|
|
= |
К diag |
(У, (О УГ1(д, |
. .. , Ур (0 Ypl (Q) М = |
|
= |
К diag (eJ'te~J'to, |
... , |
eJpte~Jpla)M = |
|
= |
К diag (eJ' {‘~‘°\ ... , eJp('~ 'o)) M = |
|||
|
|
= |
KeJ {t~to)M = eKJM('~ 'o) = eu ('_ 'o) |
|
5 6] |
Р А С Щ Е П Л Е Н И Е С И С Т Е М Ы |
167 |
§ 6. Расщепление системы на независимые подсистемы меньшего порядка
6.1. Преобразование квадратной матрицы к квазидиа гональному виду. Пусть собственные значения матрицы U
разбиты на р групп |
А.{а), ..., |
(а = |
1....... |
р; 2 ко = я) |
|
при условии |
|
|
|
О |
|
\Х\а) - |
X{ls)\ > 0 |
(6.1) |
|||
|
|||||
(оф s; і = |
, |
ka, j = |
1, . . . |
, ks). |
|
Тогда, как было показано в гл. V, существуют такие блоч ные матрицы
|
|
|
"Ах |
|
|
К = (Кг.......... Ю , |
|
Л = |
О |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
О |
|
|
|
|
'Мг |
|
|
|
М = \ ... |
|
|
|||
что |
|
|
|
|
|
и = KAM, |
|
|
( 6 . 2) |
||
МК = КМ = Е |
(М = К~1) |
||||
|
|||||
и |
|
|
|
|
|
и = |
2 |
КоАаМо, |
(6.3) |
||
|
<т=1 |
|
|
||
причем между субматрицами Ко, Ла и М0 (о = 1,2, |
..., р) |
||||
имеют место равенства |
|
|
|
|
|
MoKs = \Ek- |
5 |
(6.4) |
|||
|
I |
о, |
Бфа, |
|
|
UKS= |
KsА , |
|
(6.5) |
||
6.2. Расщепление системы. Предполагая, что собствен ные значения матрицы U разбиты на р групп при условии (6.1), введем замену переменных
р |
(6.6) |
X = 2 К оУ о і |
о= 1
1 6 8 |
|
С И С Т Е М Ы |
Л И Н Е Й Н Ы Х У Р А В Н Е Н И Й |
[ГЛ . VII |
|||||
где Ко — субматрица преобразующей матрицы /( типа п X |
|||||||||
X ko, |
уа — столбцовая |
матрица новых |
переменных типа |
||||||
ko X |
1. |
(6.6) |
в уравнение |
|
|
|
|
||
Подставим |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
- £ - = Ux + h. |
|
|
|
(6.7) |
||
Получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y К ~ЧГ= |
Y Uf<-atJa+ |
h’ |
|
||||
|
|
a=I |
|
|
at=i |
|
|
|
|
или, в силу (6.5), |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Y |
[~df |
ЛсгУа) |
' |
= |
|
|
|
|
|
a=I |
' |
|
|
|
|
||
Умножим |
слева |
на M: |
|
|
|
|
|
||
|
|
м Y М |
т |
- А ^ ) |
' |
= |
т |
|
|
|
|
0=1 |
' |
|
|
|
|
||
Полученное соотношение эквивалентно следующим р ра венствам:
м, Y |
Ка й г— |
л°у°) = M>h |
(s =1-2............. |
р)- |
|
0=1 |
' |
|
|
|
|
Отсюда, |
учитывая |
(6.4), получаем |
|
|
|
|
= Asys + M,h (s = |
1,2........... |
р) . |
(6.8) |
|
Итак, с помощью преобразования (6.6) система (6.7) расщепляется на р независимых подсистем (6.8).
З а м е ч а н и е . Условие (6.1) может быть ослаблено. Так, в качестве матриц Ко можно взять субматрицы мат рицы К, преобразующей U к жордановой матрице J . В этом случае расщепленная система имеет вид
|
- ^ - |
= Jsyi + M5h |
( s = l , 2 ...........р), |
(6.9) |
причем, |
вообще говоря, собственные значения |
субматриц |
||
Ja и 7S при s Ф а не обязательно разные. |
|
|||
6.3. |
Случай матрицы простой структуры. В этом случае |
|||
матрица |
К, |
составленная |
из п линейно независимых |
|
5 61 |
Р А С Щ Е П Л Е Н И Е С И С Т Е М Ы |
169 |
собственных векторов матрицы U, преобразует последнюю к диагональному виду:
Л
•О
Л =
О
В соответствии с этим расщепленная система (6.8) может быть представлена в виде
ЛУо |
= Куо + Mah |
(0 = 1 , 2 , . . . , п). |
dt |
6.4. Полное расщепление в общем случае. В общем слу чае, когда U не является матрицей простой структуры, исходную систему можно расщепить на подсистемы вида (6.9). Произведем дальнейшее расщепление подсистем (6.9).
Итак, рассмотрим систему
-%- = J(b)y + n i) , |
(6-10) |
|
где J (X) — клетка Жордана некоторого порядка I. |
|
|
Систему (6.10) можно представить и так: |
|
|
-4L = (X E l + Ht)y + THt).. |
|
|
Положим |
|
|
y = X(t)z. |
|
|
Получим |
|
|
2 + х -аг = |
х (О * + (О- |
|
Это равенство будет выполняться, если, например, |
||
-§ - = W |
(6.11) |
|
и |
|
|
Х -£ - = |
Ш -М >(/). |
(6.12) |
Система (6.11) есть система с постоянной матрицей. Ин тегрируя ее, получим
X — е 1 — Et -\- Нtt -j- -Tjj- (Я[І)2-j- |
(/ — 1)1 |
[Нtt)1—1 |
|
|
так как Я* = 0 (k > /).