книги из ГПНТБ / Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем
.pdf9 0 |
Р А С Щ Е П Л Е Н И Е П Р О С Т Р А Н С Т В А |
[ГЛ . IV |
тональную матрицу такого типа говорят, что она имеет
вторую естественную нормальную форму.
6.2. Жорданова нормальная форма. Пусть пространство R расщеплено согласно теореме 5.6 на подпространства
і\'], ..., / f \ ..., Itl), |
..., Its), минимальные многочлены ко |
торых представляют |
собой неприводимые в поле Ж много |
члены (см. 5.13)). Пусть ді — поле комплексных чисел. Тог да эти минимальные многочлены будут степенями линейных двучленов:
|
(X— |
, (к — Х2)с», |
. . . , |
(X— Xs)cs, |
||
|
( X - X ^ , |
( Х - Х 2У>, |
. . . , |
( X - X sy s, |
||
|
|
|
|
|
|
(6.5) |
|
( Х - Х гу>, |
( X - X 2y- , |
.... ( X - X sys |
|||
(ck > |
df, > • • • |
0, ck> 0, k = |
1,2, .. ., s). |
|||
Возьмем один из многочленов (6.5), |
например |
|||||
|
|
(X |
х 0у , |
|
|
|
где |
— одно из чисел А^, ..., |
Xs, а р — один из отличных |
||||
от нуля показателей ck, ..., lk (k — 1, ..., s). Этот многочлен является минимальным многочленом определенного цик лического подпространства / 0 (одного из подпространств
/ 1°, ..., l\s)). Пусть е — порождающий вектор этого подпро странства. Тогда векторы
ех= (А — Х0Е)Р~1е, ег = (А — Х0Е)Р~2 е, . . . , ер = е,
( 6.6)
где р — размерность подпространства / 0, линейно незави симы. Примем систему векторов (6.6) в качестве базиса /„.
Воздействуя на векторы (6.6) оператором А — Х0Е, бу
дем иметь |
|
|
|
|
|
(Л — Х0Е) ех = О, |
|
|
|
|
(Л — Х0Е) ег = еѵ . . . , |
(А — Х0Е) ер= |
е„_і. |
|
Отсюда |
|
|
|
|
А&1 ш |
Ä 0 1 = ÄIQ^ I Ж |
• • • I |
= |
XyCß Т" Вр—!• |
(6.7)
I в] |
НО РМ АЛ ЬН Ы Е ФОРМЫ МАТРИЦЫ |
91 |
|
Равенства (6.7) можно представить в виде
А& = %(\ЕР + Нр),
где
8 = (fi\ #2 • • • вр), “ О 1 о • • . 0“ 0 0 1 . . . о
|
0 0 0 |
о |
|
(Нр — матрица |
сдвига порядка |
р). |
(6.6) отвечает |
Таким образом, оператору А в / 0 в базисе |
|||
матрица ХаЕр + |
Нр. Линейно |
независимые |
векторы еѵ |
£р, для которых имеют место равенства (6.7), образуют так называемую жорданову цепочку. Из жордановых цепо
чек, |
взятых в каждом |
из подпространств, можно составить |
|
базис (жорданов базис) |
в R. В этом базисе матрица опера |
||
тора |
А имеет жорданову |
нормальную форму |
|
|
J = diag |
+ |
НСі..........\ E h + Hh). |
Матрицы А я J, отвечающие одному и тому же линейно му оператору А в разных базисах, связаны друг с другом соотношением подобия:'
А = TJT~l.
Если в полном расщеплении пространства на цикличе ские подпространства минимальные многочлены всех этих подпространств линейны, то жорданова форма является диа гональной матрицей, и в этом случае имеем
А = Т dxag (А,х, Х2, . . . , ks)T~l.
Таким образом, линейный оператор А имеет простую структуру тогда и только тогда когда, пространство R рас щепляется на инвариантные подпространства с линейными минимальными многочленами.
З а м е ч а н и е . Из подобия матрицы Л, соответствую щей жордановой матрице J, следует, что
deti4 = Xj* ...
92 |
РАСП РЕД ЕЛ ЕН И Е ПРОСТРАНСТВА |
[ГЛ . IV |
§ 7. Инвариантные многочлены. Единственность |
|
|
нормальных форм линейного оператора |
|
|
Через |
Dp (X) обозначим наибольший общий |
делитель |
всех миноров р-го порядка характеристической матрицы
ХЕ — А (р = 1, 2, |
п). В ряду |
|
Dn(X), |
Dn^(X) ..........П,(Х) |
(7.1) |
каждый многочлен делится на последующий без остатка. Действительно, минор /-го порядка можно разложить по элементам какой-либо строки. Каждое слагаемое этого раз ложения есть с некоторым множителем минор (/ — 1)-го порядка и потому делится без остатка на £>/_, (А,). Следова тельно, любой минор /-го порядка, а значит и Dj (X), делится без остатка на D/_i (X).
Т е о р е м а 7.1. Наибольший общий делитель Dk (А.) миноров k-го порядка матрицы ХЕ — А, где А — матрица оператора в каком-нибудь базисе, не зависит от выбора базиса.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть Л и Л — две матрицы оператора Л в разных базисах. Соответствующие характе ристические матрицы связаны друг с другом соотношением
ХЕ— Л = Т ~ 1(ХЕ — А) Т.
Покажем сначала, что общие наибольшие делители мат
риц ХЕ — Л |
и С (ХЕ — Л), |
где С — произвольная |
невы |
|
рожденная матрица, совпадают. Пусть С — |
(сц), А — |
(ац). |
||
Тогда і-я строка матрицы С (ХЕ — Л) имеет вид |
|
|||
( П |
П |
|
|
|
2 Cih (X6k\ |
Oki) . . . 2 ^ * |
ßfcn) |
|
|
A=1 |
fe=l |
|
|
|
= 1 2 Cik |
— akx ■• ■ ^ kn — |
~ | Q’ |
{’j . |
|
T. e. является линейной комбинацией строк матрицы ХЕ — Л с независящими от X коэффициентами сіѵ сп, ..., сСп. Поэто му минор матрицы С (ХЕ — Л) разлагается на сумму мино
ров матрицы ХЕ — Л |
с некоторыми не зависящими от А, |
|
коэффициентами. Следовательно, всякий делитель |
миноров |
|
k-ro порядка матрицы |
ХЕ — Л будет делителем |
миноров |
k-ro порядка матрицы |
С (ХЕ — Л). Точно так же всякий |
|
5 7] И Н В А Р И А Н Т Н Ы Е М Н О Г О Ч Л Е Н Ы 93
делитель миноров А-го порядка матрицы С (ХЕ — Л) явля
ется делителем миноров А-го порядка матрицы С-1 [С (ХЕ —
— Л)) = ХЕ — А. Это означает, что у матриц ХЕ — А и С (ХЕ — А) общие делители миноров А-го порядка (А = = 1 ,2 .......п) совпадают.
Аналогичным образом устанавливается, что у матриц ХЕ — Л и (ХЕ — Л) С, где С — произвольная невырожден ная матрица, общие делители миноров А-го порядка совпа дают.
Применяя полученный результат к матрицам ХЕ — Л и
Т~х (ХЕ — Л), |
а затем к |
матрицам Т~х (ХЕ — Л) и |
Т~1(ХЕ — Л) Т, |
приходим |
к заключению, что у матриц |
ХЕ — Л и Т~] (ХЕ — А) Т |
общие делители (в том числе |
|
иобщие наибольшие делители) миноров А-го порядка (А =
=1, 2, ..., п) совпадают. Теорема доказана.
Итак, Dk (X) (А = 1, 2, ..., п) являются инвариантами линейного оператора и не зависят от выбора базиса в /?. Разделив каждый член ряда (7.1) на последующий, получим другую группу инвариантов оператора Л:
іг (Х) |
Do(X) |
h ß ) |
Dn- 1(X) |
|
in ß ) = |
|
Dn-iW ’ |
Dn- 2(X) |
’ |
||||
|
|
|
Многочлены ip (X) (/7 = 1, 2, ..., n) называются инва риантными многочленами. Произведение всех инвариантных многочленов равно характеристическому многочлену:
А(Х) = | А £ - Л [ = £>„(*) = f n Pß).
Р<=\
Разложим инвариантный многочлен ір (X) на неприво димые в поле Зг многочлены:
|
ір ß ) |
= [фі Wf1[ф, ß)Y> ... [cps » . |
Здесь |
Фі (А), |
ф2 (А), ..., ф„ (X) — различные неприводимые |
в поле |
ßi многочлены. Степени этих многочленов [фх (А)]Гі, |
|
[ф2 (А) Г5, ..., [ф, (А) Г5, отличные от постоянной, называются
элементарными делителями характеристической матрицы ХЕ — Л или просто матрицы Л.
94 |
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА |
[ГЛ. IV |
Возьмем теперь в качестве матрицы оператора А матри цу, имеющую первую естественную нормальную форму:
|
А = |
diag (Лп , А22..........Att), |
|
||||
где А [{ (і 3 |
li 2, |
t) — матрицы |
вида |
(6.4) |
с минималь |
||
ными многочленами |
|
|
|
|
|
|
|
Фі М = |
^ т ‘ + |
О іцкті |
! -f- • • • |
+ СЦ т .-\ к |
+ |
||
|
|
(»'= |
1. 2, . . . . |
t). |
|
|
|
Определитель матрицы |
|
|
|
|
|||
|
|
( |
к |
0 . . . |
0 |
п%1 |
|
L Ч? |
II |
|
— 1 |
к .. . |
0 |
|
|
<< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ |
0 |
0 .. . |
— 1 |
А, |
ССі |
как легко видеть, совпадает с ее минимальным многочленом:
I КЕті - Аи I = ф, (к) |
(і= 1 , 2 , . . . , t). |
(7.2) |
Определитель квазидиагональной матрицы равен про изведению определителей диагональных блоков. Поэтому, учитывая (7.2), будем иметь
Dn (к) = Д (к) = Фі (X.) ф2 (к) |
. . . ф, (Я,). |
(7.3) |
Вычислим далее D„_i (7). |
|
|
Минор (п — 1)-го порядка |
элемента |
матрицы |
diag (кЕщ, — Ап .......кЕт — A tt), расположенного вне диа гональных клеток, равен нулю. Действительно, для полученияэтогоминора нужно вычеркнуть из определителя \кЕ—А | строку и столбец, на пересечении которых расположен рассматриваемый элемент. Эти линии пересекают два раз ных диагональных блока. Пусть, например, вычеркнута
строка, |
которая |
пересекает блок kEmj — А ц. |
Тогда верти |
|
кальная |
полоса, |
содержащая |
остаток блока |
кЕті — Ац |
и состоящая из |
т/ столбцов, |
будет иметь только т,- — 1 |
||
ненулевую строку. Разлагая рассматриваемый определи тель (п — 1)-го порядка по теореме Лапласа на миноры т,-го порядка указанной вертикальной полосы, убеждаемся, что он равен нулю (каждое слагаемое в этом разложении содер жит определитель, у которого одна строка сплошь заполне на нудями).
$ 7] |
И Н В А Р И А Н Т Н Ы Е М Н О Г О Ч Л Е Н Ы |
9 5 |
Рассмотрим теперь минор элемента, принадлежащего од ному из диагональных блоков, например, блоку XEmj— А/;.
Такой мииор равен
■фі ft) • ■• фу—1ft) Ф/+і ft) |
■■■ ^ |
ft) x ft)’ |
||
где к (X) — определитель |
блока, |
полученного |
из блока |
|
ХЕт. — Аң после исключения строки и столбца, |
на пересе |
|||
чении которых расположен данный элемент. |
|
|||
В частности, минор элемента аітравен |
|
|
||
(— 1)т/ - ‘ фх (X) . .. |
я|)/_і (X) ф/+і (X) |
. . . ф£(X). |
||
Поэтому многочлен |
|
|
|
|
Ф і (*■) • • • Ф / - і |
ft) Ф /4-1 ft) • • • |
Ф ( ft) |
(7 -4) |
|
является общим наибольшим делителем миноров (п — 1)-го порядка, отвечающих элементам матрицы ХЕт. — Ац.
Так как ф£ (X) |
делится |
без остатка |
на ф£_, (Ä,), то все |
|||||
произведения |
вида |
(7.4) (/ = 1, 2, ..., |
і) делятся |
без остат |
||||
ка на произведение ф2 (X) ф3 (X)... ф£ (X). Значит, |
|
|||||||
|
|
D„-\ ft) — ф2 ft) |
• • • Ф/ ft)- |
(7-5) |
||||
Аналогичным образом можно |
получить |
|
||||||
|
|
D„ -2 ft) = |
Фз ft) |
|
"Фі ft)’ |
|
||
|
|
Dn-i+1ft) ~ |
Ф* ft), |
|
|
|
|
|
|
|
Dn-t ft) — |
••• |
= |
Dx(b)= 1. . |
|
||
Используя (7.3), (7.5) и (7.6), находим |
|
|||||||
l’i ^ |
= |
= |
|
h ^ |
= |
D"_2(X) = |
• • • ’ |
|
it ft) |
= |
= Ъ ft)’ |
*ж ft) |
= ••• = in ft) |
= 1. |
|||
Таким образом, многочлены ф£ (Я) (і = 1, 2, ..., t) сов падают с отличными от единицы инвариантными многочле нами оператора А, а отличные от единицы многочлены
[ф* (А,)Iе*, [ф* (Я,)]“* ,..., [ф*(Х)]/А(k = 1, 2...... s) в разложении (5.13) совпадают с элементарными делителями оператор*
А (и соответствующей матрицы А).
96 |
РАСП РЕДЕЛ ЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА |
[ГЛ. IV |
|
Отсюда следует единственность (с точностью до порядка |
|
расположения диагональных блоков) как |
первой и второй |
|
естественных нормальных форм, так и нормальной жор-
дановой формы матрицы оператора А , |
так как минималь |
|
ные многочлены ф(- (А) (і = 1, 2, |
t) |
с точностью до по |
рядка расположения диагональных блоков однозначно опре деляют все эти нормальные формы.
З а м е ч а н и е . Выше мы видели, что две подобные мат рицы имеют одни и те же инвариантные многочлены. Но тог да эти матрицы подобны одной и той же нормальной (на пример, жордановой) матрице и потому подобны друг другу. Таким образом, справедлива следующая
Т е о р е м а 7.2. Для того чтобы две матрицы с эле ментами из поля дл были подобны, необходимо и достаточно, чтобы они обладали одними и теми же инвариантными многочленами.
Г л а в а V
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МАТРИЦЫ К КВАЗИДИАГОНАЛЬНОМУ ВИДУ
И РАЗЛОЖЕНИЕ ЕЕ НА СОСТАВЛЯЮЩИЕ
§ 1. Дефект матричного многочлена
Если |
в многочлене |
|
f (X) — |
ссаХт -j- а^Х"1 1-j- • • • -Г ат-\Х ~Г ат |
(а./ £ Di) |
скалярный аргумент заменить квадратной матрицей А, то получится матричный многочлен
f И) = «оЛт + ссіАт~1+ • • • + a m_iА + атЕп.
Вычислим дефект этого матричного многочлена. Будем считать, что Di — поле комплексных чисел. Пусть
J = diag {J1(Xj), ^2 (^2 ), . . . , J' (Xs)}
— жорданова матрица, подобная матрице А, где
Л' (h) = hE rj + Hrh
гj — степень элементарного делителя, отвечающего жордановой клетке У/ (А./) (порядок блока Jj (X;)).
Тогда вследствие того, что А = TJT~l,
|
f{A) = Tf(J)T~l. |
(1.1) |
Здесь |
f(J) = diag !/(Уі), /(Л ).......... |
f{Js)}. |
Согласно (1.1) дефект матрицы f (/1) равен дефекту мат рицы f (J). Дефект же квазидиагональной матрицы f (J) ра вен сумме дефектов диагональных блоков. Поэтому, обо значив через dj дефект блока f (У;), будем иметь следующее выражение для дефекта матрицы f (А):
d = yd/. |
(1.2) |
/=і |
|
4 К. А. Абгарян
98 П Р Е О Б Р А З О В А Н И Е М А Т Р И Ц Ы [ГЛ. V
Вычислим дефект dj матрицы / (У/). Имеем
j) = Erit |
' |
|
У/ = |
V |
|
|
и=0 |
|
У/ = |
V С/;А.*_Д Hr1., |
(1-3) |
|
||
и=о
т
J? =
ц=0
Здесь |
|
4 = *(*-! ) . . . ( ^ + l ) |
(A=sl>2f . . . <от) |
—биномиальные коэффициенты.
Сложив равенства (1.3), умноженные соответственно на
числа |
ат, а т _ і.......а 0, получим, |
учитывая, |
что |
Н? = О |
||||||
при р > г,- (гj — порядок матрицы Нг.), |
|
|
|
|||||||
/(У/) = |
|
Erj + |
'•/-! |
|
|
|
7 |
+ ■■■ |
|
|
f ß i ) |
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
ц=1 |
|
• • • |
-j- ссш_дСцА./) Н». |
(1.4) |
|||
|
|
|
|
|
||||||
С другой стороны, |
|
|
|
|
|
|
|
|||
d(V_ |
= /(,1) (А,/) = a 0m (m — 1) |
. . . |
(т — р + 1) А,"1" д + |
|||||||
|
||||||||||
X=Kj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-f а х (m — 1) (m — 2) |
. . . |
(m — р) |
|
• |
|
||||
или |
|
|
|
|
• • • |
-f- а ш_др (p |
|
1) ... |
1 A,/, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ (,1) (X/) |
= [ а |
Д Г |
11 + а Д - і Г |
- ' 4- |
1+ |
■• • + |
а,,, |
.дС^°] p!. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.5) |
С учетом |
(1.5) |
равенство |
(1.4) |
принимает вид |
|
|
||||
♣ 2] |
ТЕОРЕМА |
ГАМИЛЬТОНА — КЭЛИ |
|
99 |
|||
ИЛИ |
|
|
|
|
f <'/-■ > ( X j ) |
||
|
|
№ |
Г (Xj) |
|
|||
|
|
1 ! |
|
i n - |
1 ) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
/ (Jj) = |
0 |
f ( 4 |
. •• |
f(r' - 2) (X j ) |
||
|
( Г / — |
2 ) ! |
|
||||
|
|
_ 0 |
0 |
|
f (Xj) |
_ |
|
Обозначим |
через ѵ/ кратность Xj как корня многочлена |
||||||
f (X) (в частности, ѵ/ может быть равна и нулю). Тогда |
|||||||
fß /) |
= f'(X/) = |
= Р / - ,)(М = |
0, |
Г/>(Х,)фО. |
|||
Поэтому дефект матрицы / (У/) (см. 1.6)) равен ѵ;-, если ѵ/ < /-/, и равен г/, если ѵ;- > г,. Итак,
d/ = min (ѵ/, г/),
и, принимая во внимание (1.2), приходим к следующей тео реме.
Т е о р е м а 1.1. Дефект матричного многочлена / (Л), где А — матрица с элементарными делителями
(Х - Х. уц ( X - X J * ..........(Ä .-A J4
определяется формулой
d = |
V min (ѵ/, |
r j ) . |
(1.7) |
Я |
|
|
|
Здесь V/ — кратность Xj как корня / (А,). |
|
||
§ 2. Теорема Гамильтона— Кэли |
|
|
|
Пусть А (X) — характеристический многочлен |
матрицы |
||
А порядка п. Кратность |
корня |
Xj характеристического |
|
многочлена не меньше, чем степень любого элементарного делителя матрицы А вида (X — Х/)гі. Учитывая это, соглас но (1.7) будем иметь
d = i , r j .
і = 1
Но сумма степеней элементарных делителей квадратной матрицы порядка п равна п. Поэтому d = п, а это означает, что А (Л) — нулевая матрица, т. е.
А (Л) = 0. |
( 2. 1) |