книги из ГПНТБ / Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем
.pdf130 |
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МАТРИЦЫ |
[ГЛ V |
Очевидно,
ЧІ Ф І
Далее, нетрудно проверить, что
MtUK[ = А, (t = 1, 2, . . . . п),
где
А , - ( ° ~ Ѵ‘
ио
Пусть |
Ѵ{¥=0 |
(і — 1,2..........г), |
||
|
||||
|
ѵс= 0 |
(і = г |
+ 1...........п). |
|
Составим матрицы |
|
|
|
|
|
К = (Ч Ч " |
... K \ r)K 2r)K{ |
r + i . • ■К п), |
|
|
М' = (МІ'УМУГ ... |
M\ryMl2YM'r+l .. . М'п), |
||
где К\!\ |
М\,у{1 = 1; 2; / = |
1, 2.......г) определены форму |
||
лами (10.5), (10.6), а Кс, |
М, (»' = /• + |
1......./г) — формулами |
||
(10.7). |
|
|
|
|
Тогда |
|
МД/С = А, |
|
|
где |
|
|
||
|
|
k\r\ |
|
|
А = |
diag(Я.!”, |
•••, |
А,+і, . . . , A„), |
|
иоу
Всоответствии с этим разложение U на составляющие имеет вид
и = 2 (Я.{/)ЯІ/) + |
^ |
Ч /)) + £ К»А, Мь |
/= і |
|
i=r+I |
где |
|
|
p f |
= |
к <,/)м У ). |
Глава VI
МАТРИЦЫ И ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ОБЩИЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ
§ 1. Производная и интеграл матрицы
Рассмотрим прямоугольную матрицу, элементы которой являются некоторыми функциями от t:
А (0 = (ац{і)) |
(t = 1,2, . . . . m; j = 1,2, . . . , n). |
Пусть ац (t) cz С1 (а, b ), T . e. ац (t) — функции, непре рывно дифференцируемые на промежутке (а, Ь). Тогда под производной матрицы А (t) будем понимать матрицу, полу ченную из исходной матрицы путем замены элементов ац (t)
dar, (t)
производными --- > т- е-
|
(і = 1,2, |
. . . . /л; |
/ = |
1,2, . . . , л). |
||||
Производная матрицы обладает следующими легко до |
||||||||
казываемыми свойствами: |
|
|
|
то |
|
|||
1) если С — постоянная матрица, |
|
|||||||
d [СА (01 |
r |
dA (/) |
|
d [Л (0 С] |
|
dA (/) п , |
||
dt |
|
dt |
' |
dt |
|
~ |
dt |
|
d [A |
(0 + |
5(01 |
|
dA(t) |
|
dB[f) . |
||
2) |
Ai |
|
— |
Ai |
' |
|
Ai |
1 |
|
dt |
|
dt |
+ |
|
dt |
’ |
|
d [A (Qt)BВ (t(<)] |
__ |
dA (t) |
о |
tf\ |
л /л dB (t) |
|||
3) |
dt |
|
~ |
dt |
D |
W |
‘ A |
dt |
и, вообще, |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d [Л (Q В (Q] |
|
d { B ( t ) A ( t )1 |
|
|
||||
|
dt |
|
dt |
|
|
|
|
|
5»
132 |
М А Т Р И Ц Ы И Л И Н Е Й Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я |
[ГЛ . VI |
Под интегралом матрицы будем понимать матрицу, элементами которой служат интегралы от соответствующих элементов исходной матрицы, т. е.
fA(t)dt = { j 'a/j(t)di) |
(і = 1 , 2 , / = 1, 2........ |
п). |
Предполагается, конечно, что все интегралы j*ац (t) dt
существуют.
Отметим следующие свойства интеграла матрицы:
1) если А (0 = |
äBjt) |
, ТО |
|
dt |
|
2) |
если |
С — постоянная |
матрица, то |
|
|
|||
|
t |
|
t |
i |
|
t |
|
|
j CA (t) dt = C J А (t) dt, |
|
( А (t) Cdt = |
[ A(t) dtC; |
|||||
|
|
t |
|
t |
|
t |
|
|
3) |
j [A (t) + В (01 dt |
= J |
А (t) dt + j |
ß |
(t) dt\ |
|||
4) |
формула |
интегрирования |
по |
частям: |
|
|
||
i |
|
|
|
|
|
|
t |
|
j A |
it) W |
H dt |
= A (t) B i t ) - A |
( g |
в (g - |
j |
в (t) dt. |
|
§ 2. Векторно-матричная запись линейных дифференциальных уравнений
Запишем в векторно-матричной форме различным обра зом представленные линейные дифференциальные уравне
ния. |
|
л и н е й н ы х |
д и ф ф е р е н ц и |
1. С и с т е м а |
|||
а л ь н ы х у р а в н е н и й п е р в о г о п о р я д к а : |
|||
І > / ( 0 ^ |
= £ М |
9 * / + М 9 |
(і = 1..........я). (2 .1 ) |
/-1 |
/-1 |
|
|
5 2] |
В Е К Т О Р Н О - М А Т Р И Ч Н А Я З А П И СЬ |
133 |
Обозначим |
|
|
f au ... |
а1п |
|
\0...........ПП |
|
|
А і |
о і |
|
Л1 . . . |
|
|
Тогда система (2.1) запишется так:
А - Т Г - В х + f. |
(2.2) |
Если А — невырожденная матрица, то по умножении (2.2)
слева на А~1 получим дифференциальную систему в нор мальном виде (в форме Коши):
|
|
J j L = U ( f ) x + h, |
(2.3) |
|
где |
U = A~lB, |
h = A-'f. |
||
|
||||
2. С и с т е м а |
л и н е й н ы х |
д и ф ф е р е н ц и |
||
а л ь н ы х |
у р а в н е н и й |
в т о р о г о п о р я д к а : |
||
S I ' S ' W T |
- ДО |
(0 ^ +ДО (0 <7/ |
= Ф і (0 (t = l,..., tn). |
|
/=IL |
|
|
|
(2.4) |
Обозначив |
|
|
|
|
,tV) |
/(О |
|
|
|
|
|
|
||
|
ill |
MS |
|
|
|
|
/(О |
|
|
Li = |
|
І09 |
(і = 0, 1,2), |
|
|
|
|||
|
/(О |
/(О |
|
|
|
^ml |
im2 |
|
|
|
|
Фі |
Я = |
Чі |
|
ф = |
|
||
ф*
систему (2.4) можем представить в виде
(0 |
+ Li (0 - § - + ^ (0 7 = ф (0. |
(2.5) |
134 |
М А Т Р И Ц Ы И Л И Н Е Й Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я |
[ГЛ. VI |
Систему (2.5) легко привести к виду (2.2). С этой целью введем в рассмотрение блочные матрицы
Нетрудно проверить, что система (2.5) эквивалентна си стеме (2.2), если предположить, что матрицы А, В, f и х определены в соответствии с последними соотношениями. Действительно, подставляя указанные выражения в (2.2), имеем
Отсюда получаем тождество
и систему
которая совпадает с системой (2.5).
Если L0 — невырожденная матрица, то система (2.5) мо жет быть приведена также и к нормальному виду (2.3). В самом деле, пусть del L0 Ф 0. Из очевидного соотношения
находим
Но
а
det
§ 2] |
В Е К Т О Р Н О - М А Т Р И Ч Н А Я ЗАП И СЬ |
135 |
Поэтому
det А = (— l)m (det L0)2.
Из полученного равенства видно, что если La — невырож денная матрица, то А также невырожденная, и поэтому си стема (2.2) приводима к виду (2.3). При этом
|
|
|
|
—I |
LF' |
iLa |
0 |
\ |
|
U =А~'В = |
|
О |
|
||||||
|
|
О |
V0 |
- LJ |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
= |
|
|
- L Ö'L2j ( |
Л = |
_ |
|
3. Л и н е й н о е д и ф ф е р е н ц и а л ь н о е у р а в |
|||||||||
н е н |
и е. |
Рассмотрим |
дифференциальное |
уравнение |
|
||||
dnz |
|
ai (О |
d"-'z |
|
|
|
|
+ a a(t)z = b(f). |
|
dln |
+ |
dln~l + а * ( 0 - ^ й 5 - + |
|
||||||
Положив |
|
|
|
|
|
|
|
(2 .6) |
|
|
dz |
_ |
r |
|
dn~xz |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Z = |
Х 1г |
~ |
X a ’ |
‘ ‘ ' ’ |
j,» - 1 |
|
|
|
|
|
d t |
|
|
||||
уравнение (2.6) можем записать в виде системы уравнений
dx,
-ц Г = Х2- dx2
~ж~= Хз’
= |
ОлХ[ On—1^2 |
■■• |
&\Xn Ч" b. |
Ясно, что последняя система в векторно-матричной записи предстанет в виде (2.3), только в данном случае матрицы U и h будут иметь специфическую структуру, а именно:
- 0 |
1 |
0 |
0 |
“ |
~ 0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
и = |
|
|
|
|
, Іг = |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
On |
|
— On—2 • • • |
— Оі_ |
_ ь |
|
136 |
М А Т Р И Ц Ы И Л И Н Е Й Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я |
[ГЛ VI |
4. |
О б щ и й с л у ч а й . Система вида |
|
S |
/(0) |
, 4 \ |
А |
/ |
, |
,(1) |
/ А |
I |
• • • |
I |
/(*>„ |
|
h i |
(t) |
— п |
г |
+ |
h i |
( Ч |
■ ..fc-i- + |
- г |
h l q i |
|
/=і |
|
|
d r |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(É = |
1. . . .т ). |
|
|
|
|
Ф і
Ф =
Ф я
Будем иметь
= Ф( (0
(2.7)
|
U - dkqЛ* |
+ Li ^ |
T |
+ |
+ |
^ |
= Ф(0- |
|
а) П е р в ы й с п о с о б . |
|
|
|
|||||
П олож ив |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
0 |
0 . . . |
0 |
ho |
- |
|
|
Л - |
|
0 |
0 . . . |
h0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
Z.0 . . . |
0 |
0 |
|
|
|
|
_ Л о |
L, ... |
Lk—2 Lk-1_ |
||||
Оl |
0 . • |
h 0 |
1 о |
|
dk~'q |
|
||
В = 0 ha . . 0 |
0 |
|
|
dtk~l |
|
|||
|
, |
X = |
|
. / = |
||||
|
0 . . |
0 |
0 |
|
|
. . . |
|
|
_ 0 |
0 . . 0 |
- h k - |
|
- |
q |
_ |
||
можем представить |
(2.8) |
в |
виде |
|
|
|||
A ^dxr ^ B x + f.
(2.8)
_ 0 " 0
0
_ Ф -
(2.9)
Если L0 — невырожденная матрица, то Л — также не вырожденная матрица. В самом деле, умножая матрицу Л
5 2] |
|
---В Е К Т О Р Н О - М А Т Р И Ч Н А Я |
З А П И СЬ |
137 |
|||||
справа на |
матрицу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
0 |
• |
|
|
|
|
|
|
J = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
• |
|
0 |
|
|
получаем |
|
- |
и |
0 |
•• |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
AJ |
0 |
Lo |
0 |
0 |
= |
Ь. |
||
|
|
|
0 |
0 |
.. |
L 0 0 |
" |
|
|
|
|
|
|
Lk—2 |
... |
Li |
К - |
|
|
Отсюда, так как J ' |
= |
J, |
LJ. |
|
|
|
|
||
|
|
этим |
А =... |
|
|
|
|
||
|
|
|
••. |
|
|
|
|
||
В соответствии с_L*_i |
|
|
|
|
|
||||
Но |
|
|
det А = det L det J. |
|
|
||||
|
|
det L = |
(det L0)k, |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
det J = ( — l)(* '1>mm( _ |
1f - v ™ ,. . ( _ |
1)<*-*+')mmdet£m |
|||||||
|
|
= |
( _ |
|
• ■+(*-!)] _ |
m'—k(*—-li |
|||
|
|
|
J) |
||||||
Поэтому |
|
|
|
— m'k(k—1) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
L0)k, |
|
|||
|
|
det A = (— 1)2 |
|
(det |
|
||||
откуда и следует, что матрица А одновременно с матрицей L0 вырождена или невырождена. Предполагая, что L0 —
невырожденная матрица, построим обратную Л-1. Пусть
|
Nu |
/V12 |
.,• • |
Nu |
Л_1= |
Ntl |
/v22 |
.... |
A/2A |
|
|
|
|
|
|
|
Nki |
., |
|
138 |
М А Т Р И Ц Ы И Л И Н Е Й Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я |
[ГЛ . VI |
|
Имеем
1 |
II |
:к |
/ N ykLa |
N\k_iL0-\-N-lkLl ... |
KnL0 -j- NlkLk |
^гк^о |
М2*-l^-o + |
^2iE04* NokLk |
|
1 |
|
\NkkL0 |
Nkk_\L0-f- NkkL1 ... |
NkiL0 + NkkLk |
|
= E. |
|
Отсюда
£ |
II О1 |
|
г- |
^2к — 0,
\
N\k-i — — LQlLjLo1 |
( / - |
|
^2k—1= L0 /Ѵг*—2 = |
■• = |
= 0, |
^kk |
— |
• • • — Nk2 = 0, |
Nkl = LQ |
|
Итак, матрица A~] равна |
|
|
||
/Г ' |
= |
|
|
|
|
---Ц |
Ek_1L Q —■Lo |
L k_2Lo 1 . • . |
— L Q 'L JL о 1 |
|
|
0 |
0 |
L Q ' |
|
|
0 |
1о |
0 |
|
|
L ö' |
0 |
0 |
Зная А легко привести (2.9) к форме Коши:
1О 0
0
0
|
|
J Z - = Ux + A~ 7, |
(2.10) |
|
где |
|
|
|
|
U = А-'В = |
|
|
|
|
|
— L Q ' L y |
- L Q 1L 2 . . . |
--- L Q {L k_ 1 |
- L Q ' L , |
|
Em |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
О |
0 |
£,n |
0 |
§ 2] |
ВЕКТОРНО -МАТРИЧНАЯ |
ЗАПИСЬ |
|
|
139 |
||
|
З а м е ч а н и е . Характеристический |
многочлен си |
|||||
стемы (2.8): |
|
|
|
|
|
|
|
|
Д (А,) = I L0\ k -f L-jXk -f- |
• • • |
+ Lk |. |
|
|
||
|
Характеристический |
многочлен системы |
(2.10): |
|
|||
|
- L ö ' ^ - E J . |
- E mX .. |
1 |
1о |
7 |
1 |
J- 1о |
Д(Х) = |
|
0 |
|
|
0 |
||
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
0 |
• |
Em |
- E J > |
||
Оба эти многочлена одной и той же степени nik и, более того, с точностью до множителя ± | L0| совпадают,
б) В т о р о й с п о с о б . Положим
~E 0
|
0 |
E |
А = |
* |
|
О |
|
|
|
о |
|
|
_0 |
0 |
_ 0 |
|
E |
0 |
|
0 |
В =
. .. |
0 |
0 “ |
|
. . . |
0 |
0 |
|
|
E |
» |
|
.. |
0 |
|
|
.. |
0 |
L0- |
|
|
0 |
. |
0 “ |
|
E |
. |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
. E |
|
|
— Вк-\ |
- U |
-2 |
• * |
|
|
|
|
Я |
|
|
|
|
|
dq_ |
|
|
|
|
|
dl |
|
|
|
|
|
dk-'q |
|
|
|
|
_ dlk Л |
_ |
|
|
В этих обозначениях уравнение (2.8) можно представить |
|||||
так: |
|
|
|
|
|
или в нормальной |
форме: |
|
|
|
|
|
dx |
= |
Ux + A-'f, |
|
|
|
I f |
|
|||