книги из ГПНТБ / Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем
.pdf150 |
|
М А Т Р И Ц Ы И |
Л И Н Е Й Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я |
[ГЛ . VI |
Подставляя эти выражения в (7.1), имеем |
|
|||
г |
I |
i |
t |
|
(7.2)
(7.3)
Квадратная матрица П!0 называется матрицантом диф ференциальной системы (6.1).
Способом, указанным в § 5, легко доказывается, что мат ричный ряд (7.3) сходится равномерно на интервале U0, f j .
Продифференцируем ряд (7.3) по і:
dQ.( |
U (t) |
U (t) |
I U (t) dt -(- |
|
|
|
|
|
*0 |
|
|
|
|
|
|||
dt |
|
|
г° |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
+ |
1/(Q J £ /(0 J (0 |
+ ••• |
=U(t)Q‘.. |
|||
|
|
|
Ic |
ii |
|
|
|
|
Отсюда |
видно, |
что |
dQj |
также |
равномерно |
сходя |
||
ряд |
||||||||
щийся. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, |
|
dQj»0 = U (t) Qj |
|
|
|
|
||
|
|
|
o’ |
|
|
|
||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
причем |
|
|
ß/': = |
E. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Следовательно, Q[0 представляет собой фундаментальную |
||||||||
матрицу |
однородной системы и любое решение |
этой |
систе |
|||||
мы представляется формулой |
(7.2). Сравнивая |
(7.2) |
и (6.9) |
|||||
и помня о единственности решения однородной системы при заданном начальном условии, получаем
Q \ = K { t , g .
5 8] |
С О П Р Я Ж Е Н Н О Е У Р А В Н Е Н И Е |
151 |
Отметим основное свойство матрицанта.
Матрицанты Q/0 и Q^, как два решения одного и того же матричного уравнения (6.1), связаны между собой соот ношением
Й/. = QJ.C,
где С — постоянная матрица. При / = tx имеем
= ЕС = с.
Используя это, находим
й‘. =
§8. Сопряженное уравнение
Пусть дано векторно-матричное уравнение
-%- = U(f)x. |
(8.1) |
Ему сопряженным называется векторно-матричное урав нение
= |
|
(8.2) |
где U* — матрица, эрмитово сопряженная матрице |
U. |
|
Пусть X — фундаментальная матрица |
системы |
(8.1), |
а Y — фундаментальная матрица системы |
(8.2), так |
что X |
и Y являются соответственно решениями |
уравнений |
|
~ = UX, |
|
(8.3) |
= - U * Y |
|
(8.4) |
при некоторых начальных условиях. В равенстве (8.4) пе рейдем к сопряженным матрицам:
= — Y*U. |
(8.5) |
Умножим равенство (8.3) слева на Y*, равенство (8.5) справа на X и результаты сложим. Будем иметь
Ä-(Y*X)=0.
152 |
М А Т Р И Ц Ы И Л И Н Е Й Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я |
[ГЛ VI |
Отсюда следует, что произведение У*X есть постоянная матрица:
Y* (О X (0 = С.
В частности, если X, У — нормированные фундаментальные матрицы систем (8.1) и (8.2) (матрицы Коши), то
У* (t) X (t) = Е.
§ 9. Неоднородное уравнение
Рассмотрим вопрос о решении уравнения
-%L = U(t)x + h(t) |
(9.1) |
при начальном условии
x(t0)= c . |
(9.2) |
9.1. Метод вариации произвольных постоянных Лагран жа. Введем в (9.1) подстановку
x = X(t)z, |
(9.3) |
где X — фундаментальная матрица |
однородной системы |
-$Г = и ®х- |
(9.4) |
Получим |
|
4 г ’ + х - г - и ъ + к.
Отсюда
~= Х~1(іt)h(t).
Интегрируя последнее соотношение, получаем
1
z = у + ^ А"“1(s) h (s) ds.
Учитывая это, из (9.3) находим
I
X = X (t) у -f j X(i) Х~х(s) h (s) ds.
Io
По условию (9.2)
X (tQ) у = с.
§ 9] Н Е О Д Н О Р О Д Н О Е У Р А В Н Е Н И Е 153
Следовательно, постоянная столбцовая матрица у должна
быть |
определена по формуле |
|
|
|
У = |
(*о) с- |
|
В соответствии с этим |
t |
|
|
|
|
|
|
|
x = X(t) Х~' (t0) c + [ X ( t ) Х~' (s) h (s) ds. |
(9.5) |
|
|
|
h |
|
Если |
X (t) — матрица Коши (X (t0) = E), то тогда |
|
|
|
|
I |
|
|
x = X{f)c + j |
X (t) X~' (s) h (s) ds. |
(9.6) |
Формулы (9.5) и (9.6) представляют собой решение уравне ния (9.1), выраженное через фундаментальную матрицу
однородной системы (9.4). |
(9.1) умножим слева на |
|||
9.2. |
Другой способ. Уравнение |
|||
некоторую, пока неизвестную, матрицу Y* (t), сопряжен |
||||
ную матрице Y (і), |
и проинтегрируем от t0до t. Получим |
|||
I |
|
г |
t |
|
j’ К* (s) -jf-ds = |
I' 7* (s) U (s) X (s) ds + j |
Y* (s)h (s) ds. |
||
Интегрируя по частям, получаем |
|
|
||
Y* (s) X (s) |
|
|
|
|
|
|
t |
|
t |
|
|
= ^ Y* (s) U (s) X (s) ds + |
^ Y* (s) h (s) ds. |
|
Отсюда |
|
|
|
|
Y*(t)x(i) — Y*(t0)x (t0) = |
i |
|
||
l |
|
|
|
|
= ^ |
~ — E K* (s) U (s) л: (s) ds + |
^ Y* (s) h (s) ds. (9.7) |
||
В качестве Y возьмем решение сопряженной матричной си стемы
= - W { s ) Y
154 |
М А Т Р И Ц Ы И Л И Н Е Й Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я |
[ГЛ . VI |
||
при условии |
||||
Y (0 = |
Е. |
(9.8) |
||
|
||||
Тогда (9.7) принимает вид |
|
|
||
|
а- (t) = Y* (/„) X(у + |
[ Y* (s) h (s) ds. |
(9.9) |
|
|
|
}„ |
|
|
Как было показано в § 8, если X — фундаментальная матрица однородной системы (9.4), то Y* (s) X (s) = С. Из условия (9.8) в данном случае получаем
C = X(t),
так что
K*(s)X(s) = X(f).
Отсюда
К* (s) = X (t) X - 1(s), Y* (У = X (О X -1(У .
Учитывая это, вместо (9.9) будем иметь
x(t) = X (О Х -' (у а(У + j X (t) X - 1(s) А (s) ds.
§ 10. Решение одного матричного уравнения
Т е о р е м а 10.1. Решение матричного уравнения
|
4 г = |
A(t)X + XB(t) |
X (У |
= С |
(10.1) |
|
представляется в виде |
|
|
|
|
||
|
|
X = Y(t)CZ(t), |
|
|
(10.2) |
|
где Y (t) |
и Z (/) — соответственно |
решения |
матричных |
|||
уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
- § - = A(t)Y, |
Y (у |
= £, |
|
(10.3) |
|
|
~ -- = ZB (t), |
Z ( y = £ . |
|
(10.4) |
||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Дифференцируя (10.2) по /, с |
|||||
учетом (10.3) и (10.4) получим |
|
|
|
|||
^ |
= — |
CZ + к с - ^ - = л к с г + |
YCZB. |
|||
$ 10] |
РЕШЕНИЕ ОДНОГО МАТРИЧНОГО УРАВНЕНИЯ |
155 |
Очевидно, к такому же виду приводится и правая часть уравнения (10.1), если вместо X подставить (10.2). Теорема доказана.
С л е д с т в и е 1. Решение матричного уравнения
= A{t)X — ХА (t) |
X (О = С |
(10.5) |
представляется в виде |
|
|
X = Y(t)CY~'(t). |
(10.6) |
|
Действительно, в данном случае уравнения (10.3) и (10.4) |
||
приобретают вид |
|
|
W - = A ( t)Y , |
Y (tQ) = Е, |
(10.7) |
- § - = - Z A ((), |
Z (t0) = E. |
(10.8) |
Как видим, (10.8) есть уравнение, сопряженное уравнению (10.7), и поэтому
Z(t) = Y~'(t).
Отсюда в силу (10.2) следует выражение (10.6).
С л е д с т в и е 2. |
Если |
А и В |
в уравнении (10.1) - |
постоянные матрицы, |
то решение |
этого уравнения пред |
|
ставляется в виде |
|
Севѵ-‘°К |
|
X = еА{і~Іо) |
|||
Действительно, в этом случае решениями уравнений (10.3) и (10.4) являются соответственно матрицы ехр [А (t — *„)] и ехр [В (t — t0)\. .
Г л а в а VII
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
СПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Вданной главе рассматриваются линейные системы, представленные векторно-матричным уравнением
— Ux + h (t)> |
(0.1) |
где U — постоянная матрица.
§ 1. Экспоненциал матрицы
Как известно, экспоненциал скалярной величины а представляется рядом ea = 1 + а + d2 + ■• • + ap— Н
По аналогии с этим вводится понятие экспоненциала квадратной матрицы А. Под экспоненциалом матрицы А понимается матричная функция
( 1. 1)
Ряд (1.1) сходится для любой квадратной матрицы, так как сходится скалярный ряд
со
составленный для нормы этой матрицы.
Из сходимости ряда (1.1) для любой квадратной матрицы следует сходимость и ряда
оо
(1.2)
S 1] |
Э К С П О Н Е Н Ц И А Л М А Т Р И Ц Ы |
157 |
где t — скалярный множитель. Этот ряд представляет собой экспоненциал произведения At, т. е. еА‘.
Сходимость ряда (1.2) в любой конечной области комп лексной плоскости параметра t равномерная в силу равно
мерной сходимости в этой области |
ряда у |
|Л||р т |
р Отме- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
р=0 |
pl |
|
тим некоторые свойства экспоненциала. |
|
|
|||||||
1) |
e^u+s) — eAleAs = eAseAt |
(t, |
s £ К)- |
|
|
||||
Действительно, |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Aktk |
^ |
A4 |
|
|
p |
kcp—k |
|
|
A tp A s |
|
|
\ 4 |
rs> |
|
|
|||
eHle |
k\ |
s - |
|
AP X |
k\ (p — &)l |
|
|||
|
|
/=0 |
|
p^O |
|
k=0 |
|
|
|
|
k=o |
|
|
= у= |
у |
Ap (tpl+ sf _ |
g.4(.'-)-s)_ |
||
P—0
Так как eA(*+s) = eA (s+f>, то из приведенной цепочки равенств следует также коммутативность матриц ем и eAs.
Полагая s = —t, будем иметь eAte~At = еА0 = Е. Значит,
2)eAt — всегда невырожденная матрица и ее обратная матрица равна е~АІ.
3)Если А В = ВА, тоеА+в — еАев = евеА. Покажем это.
Имеем
|
|
А р В |
_ |
АР |
ч” |
В* |
|
Рл ч“ |
|
АрВР |
||
|
|
|
У - — = У У |
|
|
|||||||
|
|
е*е |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
рI |
ZJ |
а\ |
|
ZJ |
ZJ |
Pl?! |
||
|
|
|
|
Li |
qI |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
р=0 |
р=0 |
|
|
P — |
0 |
q = |
0 |
|
Положим p + |
q = s (s = |
0, |
1,2, |
...). Тогда, учитывая, |
||||||||
что p |
s, |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CO |
S |
„ n ^ < j _ n |
_ |
o o |
, |
S |
|
|
|
. |
e |
л Q_ v-i |
'j |
APBS p |
|
1 |
v-i |
|
|
s- ■А рВ S-P . |
|||
~ |
|
p! (s — p)I ~ |
s=0 |
si |
p=0 |
pl (s — p)l |
||||||
|
|
s=0 p=0 |
|
|
|
|
|
|
||||
С другой |
стороны, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
,.4+B |
S |
i ( |
^ |
+ |
ß )s. |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
||||||
s=0
и так как А и В перестановочны, то Р—ор\ (s- р )I ■
158
И,
С И С Т Е М Ы Л И Н Е Й Н Ы Х У Р А В Н Е Н И Й |
[ГЛ. VII |
значит,
гл+’ = £ |
т £ л ^ ‘ф' в ‘- '’= е', л |
s=0 |
Р = 0 |
4) Производная экспоненциала.
Ряд, полученный формальным дифференцированием ря да (1.2), также сходится равномерно, поэтому законно по членное дифференцирование ряда (1.2). Учитывая это, полу чаем
deA ' |
= А + |
A 4 |
A 4 |
= AeAt = eAtA. |
di |
+ |
~ZT + |
§2. Решение дифференциальной системы
вформе экспоненциала
В силу свойства 4) экспоненциала матрицы матрица еи и—/о) представляет собою решение матричного уравнения
^ Г = ѴХ, X (t0) = Е
и, значит, является фундаментальной матрицей системы
В соответствии с этим общее решение неоднородной си стемы (0.1) при условии X (ta) = с можно представить в виде
I
|
X(t) = eU{‘-'°)c -f- I" eUi‘- l4e-U(s~t°)h(s) ds, |
||
или |
tо |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
X(t) = euv~tAc -j- ^ eUll~s)h (s) ds. |
|
|
§ 3. |
Метод Эйлера |
|
|
Решение векторно-матричного уравнения |
|||
|
-%г = их, |
X( g = с |
(3.1) |
будем искать в виде |
|
|
|
|
X = |
Кеи, |
(3.2) |
где |
К — постоянный вектор |
(столбцовая |
матрица). |
5 3] |
М Е Т О Д Э Й Л Е Р А |
159 |
|
Подстановка (3.2) в (3.1) приводит к алгебраическому |
|
равенству |
|
|
|
и К = хк. |
|
|
Отсюда видно, что (3.2) представляет собой частное ре |
|
шение уравнения (3.1), если Xесть собственное значение мат |
||
рицы Ö, а К — собственный вектор этой матрицы, отвечаю щий собственному значению X.
Рассмотрим различные случаи, которые могут иметь место.
1. Матрица U имеет л различных собственных значений A,lt Х2, ..., Хп (п — порядок матрицы U). Каждому простому собственному значению Xf отвечает единственный (с точ ностью до произвольного множителя) собственный вектор Kj, причем собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы. Общее реше ние уравнения (3.1) может быть представлено в виде
* = s |
(3-3) |
/= I |
|
где уі — произвольные постоянные.
Чтобы убедиться в этом, достаточно показать, что соот ветствующим выбором постоянных у/ можно удовлетворить любому начальному условию, ибо, очевидно, (3.3) обращает уравнение (3.1) в тождество. Прежде всего представим (3.3)
вином виде. С этой целью введем матрицы
К= (К Д 2 . .. Кп),
Тогда вместо (3.3) будем иметь
X = Кел<у.
Отсюда при t = t0 получим
x(t0) = KeAI°y |
(3.4) |
Так как К и еЛ1° — невырожденные матрицы, то уравнение