книги из ГПНТБ / Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем
.pdf2 0 0 |
А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Е Р А С Щ Е П Л Е Н И Е С И СТ Е М Ы [ГЛ . V III |
|
и J/O —V] |
ft |
|
у м ѵ _, K°dx |
+ |
V |
= |
ѵ=2 |
|
v=l |
|
t- i |
|
/ d/Ле—V—i] |
|
= V |
Лѵ |
+ |
/ ^ - ѵ- ,]л ^ Ц |
V=1 |
|
dx |
|
|
|
|
ft—1 = y >
V=1
|
d m y — |
n') |
i |
dx |
— /Ѵ0 + |
‘,Q r |
ГЬ |
M n |
tW . |
+ |
/'CQa* |
1 |
— |
|
‘' 4ta |
|
dt |
|
|
+ KQlc~v~l]N0N7l |
A aQLa'a]- QajAa - |
|
|
|||||
|
— M a ( D ^ 0] ІЛ/^Еь |
• |
N a + |
No ' j N a \ — |
|
||||
|
" k |
|
J b - [ I - V ' |
k |
|
|
Nc |
||
|
£ Лѵ_, |
°T— |
+ V лѵ/<^-ѵ- 1]лУ] |
• |
|||||
|
_v=‘2 |
|
|
|
v=l |
|
|
|
|
На |
основании |
этих |
соотношений |
|
|
|
|||
|
|
0 Г 1] = |
О |
Г ] к = Я ,а -/Ѵа. |
|
|
|||
Тем самым равенство (3.5) доказано. Тогда из (3.2) сле |
|||||||||
дует, |
что <2Іа] = |
Qsa] k,= £ fca, |
И, значит, |
с точностью |
до |
||||
произвольной |
матрицы |
Qoa' |
|
|
|
|
|||
|
|
|
Qlo4 = |
Q ?Jk - £ V |
|
|
|
||
что означает инвариантность матрицы Qa4 |
относительно |
Na. |
|||||||
В силу вышеизложенного по индукции получаем |
|
||||||||
|
D a 1= |
D or]L \Na= E ka |
■ No |
(/■=1,2, . . . |
), |
|
|||
|
Qa1 = |
Qo ] \ыа=Ека |
|
(/■=1,2, . .. |
) |
|
|||
и, далее, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К У = к У \ н о = е k - N o
A^] = /V7‘A^] k = ^
(г = 0, 1,2, . .. ),
(г = 0, 2, 3, 4, . . . ),
-1 |
dNo |
л У ] = ^ ‘л У ] Il"o=*V■No — No |
dx |
$ 4] |
РЕКУРРЕНТНЫ Е с о о т н о ш е н и я в ч а с т н ы х с л у ч а я х |
2 0 1 |
§ 4. Рекуррентные соотношения в частных случаях
Произвол в выборе Qaa можно использовать для упро щения расчетных формул.
Так как
MaKlak]= Q loo\
то из
0 |
$ = 0 |
(* = 1,2, . . . ) |
(4.1) |
следуют равенства
M ,/dÄ] = 0
При этом
MaDLak~'] = MoAä' £ |
Лѵ_, |
|
|
ѵ г і |
V |
Имея в виду, |
что |
|
Ш |
f L , |
|
(* = 1 ,2 , . . . ).
dKlak~v] dx
+ £ |
л ж Г " '“ /]л!гл . |
/= 0 |
J |
тГ I 1
V № = К а + К 5 Qp ],
А>=0
получим еще
г ( т |
(m = 0, 1,2, ... |
Ма У К У ] = £*п |
И/г— 0
|
|
МаКа = Ек - |
(4.2) |
|
Более простой вид принимают расчетные формулы в слу |
||||
чае ЛА(т ) = |
Вк (г) == 0 (А = 1, 2, ...). При этом |
|||
|
*—1 |
|
л/Л*—Ч |
|
D[a*“ 1]= |
>1 /й ^ А У 1+ |
- 4 ; |
|
|
|
1=1 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[fe -1 ] |
MCTDoft~ 1] = |
Me |
G |
Л40( ^ ( З У г-11 + |
/С dQn |
|
0 |
dx |
|
dt |
или, в силу (4.1) |
и (4.2), |
|
|
|
|
|
|
(* = 1,2. |
. .. ). |
2 0 2 А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Е Р А С Щ Е П Л Е Н И Е С И СТ Е М Ы [ГЛ . V III
Под Qa°J здесь |
подразумевается блочная матрица типа п X |
||||
X ko, состоящая из следующих блоков |
типа ks X ka\ |
||||
|
п т _ \ Бк<у |
s = a, |
|
|
|
|
W.SÜ — \ |
п |
, |
|
|
|
\ |
о, |
s ^ o , |
|
|
Формула (2.17) соответственно принимает вид |
|
||||
ЛW = |
- M o ^ - Q \ , k- l] |
(k = l,2 , |
...). |
|
|
Значительно упрощается и вид матриц |
М50 [0*_1] |
(s Ф |
|||
Ф сг), фигурирующих в формулах |
(2.16): |
|
|
||
MsDlok~u = - |
£ Qlè~nM0 |
Qa_1] + |
|
|
|
|
/=і |
|
|
|
|
+ Ms^ - Q l*-" + — |
|
( k=\ , 2, |
. . . ). |
||
§ 5. Условие сохранения нормы решений уравнений при замене переменных
Скалярное произведение векторов ау и а2 (столбцовых матриц) определим равенством
(^і> ^2 ) ^ 2 ■Oi,
где а* — вектор, эрмитово сопряженный вектору а. Пусть г/, и у2 — какие-нибудь ^-мерные векторы, а
|
= К о У і |
( 7 = 1 , 2 ) . |
|
|
Предположим, что |
|
|
|
|
|
(*і. хі) = |
{Уі, У*)- |
(5.1) |
|
Подставим значения хс в (5.1). Получим |
|
|||
Отсюда |
(КвУ\, КоУ?) =: ІУі, Уъ)' |
(5.2) |
||
|
|
|
|
|
|
{КоКо Уѵ У2) = (ylt y 2). |
(5.3) |
||
Так как |
у2— произвольный |
^-мерный |
вектор, то из |
|
(5.3) следует, что |
|
|
|
|
|
КаКо — Ек^. |
(5.4) |
||
И обратно, |
если имеет место |
равенство |
(5.4), то тогда |
|
« 5] |
У С Л О В И Е С О Х Р А Н Е Н И Я Н О РМ Ы Р Е Ш Е Н И Й |
2 0 3 |
для любых двух /г0-мерных векторов ух и у2 имеет место ра венство (5.3), а значит, (5.2) и, наконец, (5.1).
Таким образом, равенство (5.4) является необходимым
идостаточным условием выполнения равенства (5.1). Из (5.4) имеем
(Ко + |
+ • ■•) (К, + гК ^ + |
е ■• ■ ) = |
Отсюда видно, что (5.4) будет выполняться |
= ѵ |
|
тождественно |
||
относительно е, если |
KoKo = Eka, |
|
|
|
|
|
fCKlu + К\}]'Ко = 0, |
(5.5) |
іС к 1<?]+ |
/сУ’ч У 1+ № 'К о = 0, |
|
Равенство |
ІСКП= Eka |
(5.6) |
|
||
может быть обеспечено всегда (это будет показано ниже, в конце настоящего параграфа).
Второе равенство (5.5) с учетом (5.6) можно представить
так: |
|
£ KoKsQla] + Qad + |
ѣ QW'K'SKO+ <ЙУ* = 0. |
s= I |
s = 1 |
S^sCJ |
S=5ho |
Отсюда имеем |
|
Qad 4- Qad* = - £ (КоКДІУ + Ql£'KU<a).
s = 1
s^tcr
Учитывая, что в правой части последнего равенства сто ит эрмитова матрица, можно принять, например,
|
|
Qad = |
- 4 - І |
( Ä |
Q |
Qs ^ 'Kd 'sK+ o ). |
||
|
|
|
1 |
s = l |
|
|
|
|
|
|
|
|
чфа |
|
(k |
|
|
Аналогично |
этому, |
так |
как |
+ |
1)-е равенство (5.5) |
|||
можно представить в виде |
|
|
|
|
||||
Q$ + |
Q£ ]* = |
|
|
|
|
|
|
|
= |
- |
£(KoKsQlP + |
Qlo]'lC K o ) |
- |
|
1 Qlaa]'/C K Q a[ -a\ |
||
s = 1 |
a = l |
2 0 4 А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Е Р А С Щ Е П Л Е Н И Е С И С Т Е М Ы ІГЛ . V III
можно принять
Q=-L JS(К'оКДІа1+QlP'K'sKo) +
Szjt*(7 Ë
+ Qoa r K 'K Q al - a]\ . cx=l • )
Очевидно, что таким образом определенные матрицы Qacr (k — 1, 2,...) являются эрмитово сопряженными.
З а м е ч а н и е . Существуют, конечно, матрицы Qaa, обеспечивающие выполнение равенств (5.5) и имеющие бо лее общий вид, например матрицы
0 [* ] _ ___ L чего — ip
2( O C « Q $ + Q 1OS} ' K : K O ) +
s^fco |
|
|
. s = |
I |
|
|
ft-1 |
|
+ |
^ Kla]'K[k- ^ + |
(6 = 1 ,2 , ...), |
где So4 — произвольная квадратная матрица порядка k%, обладающая свойством
S[k] + S lak]' = 0.
Остается показать, что выбор матрицы Ко всегда может быть подчинен условию (5.6).
Общий вид субматриц матрицы К, преобразующей квад ратную матрицу U к квазидиагональному виду, соответствую щему принятому способу разбиения собственных значений матрицы U на непересекающиеся группы, представляется равенством
Ко== КоКа (о= 1> ■• • , р), (5.7)
где Ко — матрица типа п X ka ранга ka — субматрица некоторой матрицы, преобразующей матрицу U к квази диагональному виду при принятом способе разбиения ее собственных значений на группы, Na — произвольная не вырожденная квадратная матрица порядка ka.
Пусть
я 0= (*Г ...
K o = (k °r ... й У ).
Б] |
У С Л О В И Е С О Х Р А Н Е Н И Я Н О Р М Ы Р Е Ш Е Н И Й |
2 0 5 |
|||||||
Имея в виду, что Ко состоит |
из |
линейно независимых |
|||||||
столбцов, построим |
сначала вспомогательную матрицу |
||||||||
|
|
Яоа = ( С ... |
|
|
|
|
|||
столбцы |
которой |
удовлетворяют |
условиям |
|
|||||
Положим |
feof*6of = |
0 |
(і ф |
j). |
(5.8) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. (5.9) |
С а = |
+ |
ѵВДГ + • • • |
+ |
v'g-lkjtäa-l. |
|
||||
Коэффициенты vif определим из условий (5.8): |
|
||||||||
Равенства«r*;<o) |
Коа — Ко + |
АогтѴо, |
(5.10) |
||||||
«л_ |
ife<fp |
|
|
(/ = |
1, |
|
ko — 11 / — 2, |
. . . , ka). |
|
ii |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.9) можно представить в следующем виде: |
||||||||
|
|
|
0 |
,«ч |
(Ö) |
|
|
.ДО) |
|
|
|
|
Ѵ|2 |
V]3 |
|
|
vlft0 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
Л,'01 |
■•• |
,,(Ö) |
|
|
|
Ѵ<т= |
|
V23 |
v2*o |
|
||||
|
|
|
|
0 ... |
(0) |
|
|||
|
|
|
0 |
0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
|
Из |
(5.10) получаем |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
/(со = ^Ссг (£ Д?о |
|
Ѵо) |
|
|
|||
Пусть
-1
2 0 6 |
А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Е Р А С Щ Е П Л Е Н И Е С И СТ Е М Ы |
[ГЛ . V III |
Тогда, как легко проверить, матрица |
|
|
|
Коа = K°o(Eka — Va)~' Та |
(5.11) |
удовлетворяет условию (5.6). Сравнивая (5.7) с равенством (5.11), получим искомую матрицу
N(j= (Eka— Ѵо) То.
§ 6. Случай полного расщепления системы
Если все собственные значения матрицы U в рассматри ваемом промежутке [0, L] остаются простыми, то система (2.1) может быть расщеплена на п линейных дифференциаль ных уравнений первого порядка
— = Ä0i/Ö-f- MoRf |
(о = 1 , . . . , п). |
(5.1) |
Учитывая, что при этом первый член разложения А0 в точности равен соответствующему собственному значению матрицы U (Ад = Ха), a Qsa (s = 1, ..., п) уже не матрицы, а числовые функции, будем иметь
QlS] = , ' к |
|
(s Ф о; k = 1,2, . . .), |
= |
|
(0 = 1 , . . . , п ) , |
КІк] = |
PaDla~ l] + KoQoa, |
|
где |
S |
K s M ' |
Po = |
^CT |
|
|
te£(T |
|
Дальнейшее интегрирование расщепленных уравнений (6.1) не представляет труда.
§ 7. Система уравнений с постоянными коэффициентами
Рассмотрим векторное уравнение
A ^ L = Bx + f(t),
где А и В — постоянные матрицы, причем А — невырожден ная матрица. Согласно вышеизложенному решение этого
§ 7] |
У Р А В Н Е Н И Я С П О С Т О Я Н Н Ы М И К О ЭФ Ф И Ц И ЕН ТАМ И |
2 07 |
|||
уравнения |
представляется |
равенствами |
|
||
|
|
х= У .К аУ а, |
(7.1) |
||
|
|
СТ=1 |
|
|
|
|
— |
= А-оУо+ МоА |
f |
(er = 1, . . . , р). |
(7.2) |
Так как в данном случае U = А~1В — постоянная мат рица, то Ко, Ла, Ма (а = 1, ...,/?) — также постоянные матрицы. Учитывая это, из (2.16) последовательно при k — = 1, 2, ... получаем
|
|
Qso] = |
0 |
|
(зфа-, k = 1,2, ...), |
|
||||
так как |
dx |
= |
0. |
Полагая |
и QW = |
0 (о = 1, ..., р\ к — |
||||
|
будем |
иметь |
|
|
|
|
|
|||
— 1, 2, ...), |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Л ^ ] = |
0, |
Kik] = о, |
MLok] = о |
|
||||
|
|
(ст = |
1, |
.. . , р; 6 = 1 , 2 , |
. ..). |
|
||||
Таким |
образом, |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Л.а— Лст, |
Ко— Ко, |
Кіо — Mo. |
|
|||||
Поэтому равенства |
(7.1) и (7.2) принимают вид |
|
||||||||
|
X — У] КоУо, |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
о=Г |
|
|
|
|
|
|
|
dVo |
|
КоУо -Г МоА |
f |
(сг — 1, •. ■, р). |
(7.3) |
|||||
|
dt |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решая |
(7.3), находим |
|
|
|
|
|
||||
|
у а = |
е " Са + |
j еЛа (t~n MoA~xf (t')dt', |
|
||||||
где са — матрица-столбец произвольных постоянных. |
|
|||||||||
В соответствии с этим |
|
|
|
|
||||||
,ѵ'= % |
Коел°‘с0 + |
С'ZKoeAoa~ n M aA -'f{t')dt'. |
|
|||||||
|
0 = 1 |
|
|
|
J 0 = 1 |
|
|
|
|
|
Преобразуем последнее выражение. Полагая
Со — Мох (0)
2 0 8 |
А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Е Р А С Щ Е П Л Е Н И Е С И С Т Е М Ы [ГЛ . V III |
и учитывая, что
Уі К0вА°‘М ^ е КАт = еш,
0 = I
получим
X = ешх( 0 ) + J еи{i~nA-'f(t')dt',
о
что представляет собой известное выражение для общего ре шения системы неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Таким образом, в случае системы линейных дифферен циальных уравнений с постоянными коэффициентами при менение метода, изложенного выше, приводит к известным результатам классической теории линейных дифференци альных уравнений.
§ 8. Расщепление сопряженной системы
В условиях теоремы 2.1 формальное решение системы дифференциальных уравнений, представленной в виде
Н Y |
|
(8.1) |
— = U (x)x+ h(t, т, е), |
|
|
определяется равенствами |
|
|
2 К 0(т, е)г/а, |
|
(8.2) |
<Т=І |
|
|
dya |
(ст=1, |
. . . , р). |
—З Г = Л а (с, е)у0 + Ма(х, &)h(t, X, е) |
||
|
|
( 8 '3 ) |
Члены формальных разложений Ко и Л0 удовлетворяют равенствам (2.11), где для рассматриваемого уравнения (8.1)
(т) = 2 |
Й * - ’1 М Лі» (т) + |
. (8.4) |
і=1 |
|
“Т |
Можно показать, |
что формальное |
решение уравнения |
|
— — U* (т) г, |
(8.5) |
♣ 8 ] |
Р А С Щ Е П Л Е Н И Е С О П Р Я Ж Е Н Н О Й С И СТ Е М Ы |
209 |
сопряженного однородному уравнению (8.1), может быть представлено равенствами
* = |
2 |
Âfc(x,е) ѵ°> |
(8-6) |
|
dün |
<7=1 |
|
|
|
—Л<т (т, е) |
(8.7) |
|||
— = |
||||
где УЙдиЛо — матрицы, фигурирующие в формулах (8.3). Прежде всего, применяя метод, использованный в § 2, построим рекуррентные соотношения для членов формаль
ных рядов
М * а (T, е) = S |
&kM lP (т), |
А; (т, е) = Т е*Л^]* (г). (8.8) |
й = |
0 |
А = 0 |
Для этого подставим (8.6) в (8.5), принимая во внимание равенства (8.7) и (8.8), и отделим в полученном таким обра зом тождестве коэффициенты при ѵа, пропорциональные ек (к = 0, 1, 2, ...). Получим
и*М™' = М 11*А^0]* + М Г Л У > - - ^ 1 ,
П *Мо =УИ о ]*Ло0]* + АІ^*Л[о2]* + Л # ]*ЛУ]*
Переходя к сопряженным выражениям, имеем
л і 0]н |
= |
A ^ |
M L01, |
|
|
M |
^ |
= |
A[o ° W 4 A L fc]Mfü]- D |
^ n ' |
|
(к = |
1 2 .......... ), |
|
|||
где |
|
|
|
|
|
D ^ - ‘‘ = - |
2 Л[са]А ^ -“J + |
- . |
|||
|
|
|
|
а= 1 |
ат |
Имея в виду, |
что |
|
|
||
|
|
и = |
2 КоЛоМо = КАМ, |
|
|
положим |
|
|
|
|
|
|
|
|
M ^ s A lo , Л ^ ^ Л о . |
|
|
,
(8.9)
( 8. 10)