книги из ГПНТБ / Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем
.pdf
2 8 2 |
Д И Н А М И Ч Е С К И Е Х А Р А К Т Е Р И С Т И К И С И С Т Е М |
[ГЛ. |
X |
|
Расчеты по формуле (7.20) приводят практически |
к |
|
тем же результатам, некоторое различие имеется только в значениях коэффициентов перед скобкой. Так, например,
согласно |
(7.20) |
|
|
|
|
~(2) н |
м |
25 г/Ре1—5 |
/— |
Іо |
\ |
§ 8. Реакция системы на показательное возмущение. Передаточная функция
Реакция системы (по всем выходам) на сигнал в виде по казательной функции exp (kt), действующий (на промежут ке (—оо, t)) на систему по /-му входу, согласно (3.4) пред ставляется в виде
t
* / ( М ) = J
— оо
При замене переменных t — t' = s имеем
о о
Xj (к, і) = £ gj (s, t — s) ex {t—s)ds.
о
Реакция системы по выходу і на входной сигнал в виде показательной функции, поданный на /-й вход,
xiI(X,t) = wil(k,t)e>-‘, |
(8.1) |
где |
|
со |
|
Щі {К 0 = 1gii (s, t — S)e-^sds. |
(8.2) |
6 |
|
Функция i&ij (к, t), определенная соотношением (8.2), называется передаточной функцией системы (соответствую щей /-му входу и і-му выходу)*). Столбцовая матрица
СО
Wj (k, t) = j gj (s, t — s) e-Xsds
о
*) Передаточная функция w u (k,t) определена только в области схо димости интеграла в соотношении (8.2); во многих практических случа ях (но не всегда) возможно путем аналитического продолжения область определения передаточной функции распространить на всю А-плоскость, исключая некоторые особые точки.
§ 8] |
Р Е А К Ц И Я С И С Т Е М Ы НА В О З М У Щ Е Н И Е |
2 8 3 |
представляет передаточные функции системы, отвечающие /-му входу и всем ее выходам. Полный набор передаточных функций системы, имеющей I входов и п выходов, дается п X /-матрицей
№ (М ) = (<М М ) <М М ) ••• М М )),
которая связана с матрицей импульсныхпередаточных функций системыследующими эквивалентными соотноше ниями:
оо
Wfi,t) = §G(s,t — s)e-tods, |
(8.3а) |
|
О |
|
|
t |
|
|
W {к, 0 = J |
G(/ — г, Г) er-ь «-Wdf. |
(8.36) |
— о о |
|
|
Согласно (8.1) /-й столбец матрицы W (к, t) |
|
|
W/(k,t) = Xj(k,t)e-Xt, |
(8.4) |
|
где Xj (к, t) — решение |
дифференциального уравнения |
|
A (t)^ j - |
= B(t)x, + hl (t)e>-‘, |
(8.5) |
отвечающее нулевому состоянию системы (т. е. имеется в виду то решение уравнения (8.5), которое отвечает тривиаль ному (нулевому) решению соответствующего однородного уравнения).
Столбцовая матрица w,- (к, t) является решением диффе ренциального уравнения
■$Г = іи (0 - tân 1O' + Л“ 1(t) h, (0, |
(8.6) |
отвечающим нулевому состоянию системы, в чем можно убе диться путем подстановки в это уравнение выражения (8.4). Значит, матрица передаточных функций W (к, t) является решением дифференциального уравнения
= [U (t) — hE„\ W + A~l (t) H (/),
соответствующим нулевому состоянию системы.
284 |
Д И Н А М И Ч Е С К И Е Х А Р А К Т Е Р И С Т И К И С И СТ Е М |
[ГЛ. X |
§ 9. Связь между входными и выходными сигналами системы посредством передаточной функции
Между матрицами входных сигналов и (f) и выходных сигналов X (t) имеет место соотношение (см. (3.4))
і |
|
х ( 0 = J G(t — t',t')u(t')di'. |
(9.1) |
—00
Предположим, что к входным сигналам можно применить преобразование Лапласа и L (и) — преобразование Лапла са матрицы входных сигналов. Тогда
|
|
|
С+іоо |
|
|
||
|
и ® = - Щ- і L ^ )e u dk |
( с > с а) |
|||||
|
|
|
С — /оо |
|
|
||
(са — абсцисса абсолютной сходимости |
|
преобразования |
|||||
Лапласа). |
|
|
|
|
|
||
Подставим выражение и (і) в (9.1) и поменяем порядок |
|||||||
интегрирования. Получим |
|
|
|
||||
|
|
of-too |
* |
G(t — t', t') eu'dt' |
|
||
*(9 = 2пі |
с — і о о |
j |
L (и) dk, |
||||
или |
|
|
|
|
|
||
'+ic |
|
|
|
|
|
||
Х{0 = |
\ |
G(t — t', t') е-ь "- r)dt’ L (и) eud\. |
|||||
2ni |
|||||||
|
c—loo |
|
|
|
|
||
Отсюда |
|
|
|
|
|
||
|
(0 = |
- 2 s r |
-f |
|
|
||
Преобразование Лапласа обеих частей последнего ра |
|||||||
венства |
приводит к соотношению |
|
|
||||
|
|
L(x) = W (X, t) L (и). |
|
(9.2) |
|||
Из (9.2) следует, что передаточная функция линейной системы есть отношение преобразования Лапласа выходно го сигнала к преобразованию Лапласа входного сигнала.
§ ІО] П О С Т Р О Е Н И Е П Е Р Е Д А Т О Ч Н О Й Ф У Н К Ц И И 2 8 5
§ 10. Построение передаточной функции
10.1. Передаточная функция стационарной системы.
Учитывая (2.1) и |
(8.36), |
в случае |
стационарной |
системы |
||||||
(А — const, |
Н = |
const) |
имеем |
|
|
|
|
|||
№(Х) = |
j G(t— Г)е~хи~п сй' = |
J eUline~Ku- n dfA~lH- = |
||||||||
|
— o o |
|
|
|
|
|
— oo |
|
|
|
|
|
|
|
|
oo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= J |
eUse-%sdsA~lH = L(eUs) A - ]H, |
||||
или, поскольку |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
||
|
L (eUs) = (XE — U)-' |
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||
(C M . § 4 г л . |
VII), то |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
W (X)^(XE — U)-xA - xH. |
(10.1) |
||||||
Пусть J |
= diag (/, (X,), J2 |
(X2), |
..., Jp (Xp)) — жорданова |
|||||||
форма матрицы U, а К |
= |
(Кѵ К2>КР) — соответствую |
||||||||
щая преобразующая матрица, |
так |
что |
|
|||||||
|
|
и = KJM |
/ м |
= к ~ 1=/ Мі |
|
|||||
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
'■мр |
|
Тогда (10.1) можно записать в виде |
|
|||||||||
|
|
IV (X) = |
21 Ко (XEka - |
J ar ' M 0A - lH, |
|
|||||
причем |
|
|
|
а=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
н. |
|
|
ңка~1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
nk |
||
(XEka |
Ja) |
— |
Х |
— Х д |
( Х - |
Х а ) 2 |
+ ■ |
ка |
||
( x - x j а
10.2. Передаточная функция нестационарной системы. Рассмотрим некоторые из возможных путей построения пе редаточной функции нестационарной системы.
10.2.1. И с п о л ь з о в а н и е |
в ы р а ж е н и я и м |
|
п у л ь с н о й п е р е х о д н о й |
ф у н к ц и и. Учиты |
|
вая (2.3), из (8.3) |
имеем |
|
t |
Gu (/ — 1\ t’) A |
(/') H (V) e Kll~n dt’ |
\Ѵ(Х, 0 = j |
||
§ 101 |
П О С Т Р О Е Н И Е |
П Е Р Е Д А Т О Ч Н О Й |
Ф У Н К Ц И И |
2 8 7 |
Учитывая это, получаем |
|
|
||
|
W (X, t) = R (К, t) + |
Rn (X, /)+ -!■ |
R22 (X, t) + |
. - • (10.2) |
Матрицу R (X, t) молено трактовать как матрицу переда точных функций системы в условиях, когда ее параметры в момент времени t заморожены (т. е. имеют постоянные значения, соответствующие моменту времени t).
Если импульсная переходная функция в качестве вто рого аргумента имеет не t, а медленное время т = st, то тогда
|
|
со |
|
|
W (X, т) = |
j o (s, х — es) e~Xsds |
|
|
|
о |
|
и разложение (10.2) принимает вид |
|
||
W (X, х) = |
R (X, т) + |
sRn (X, X) + |
S2R22 (X, т) + |
10.2.3. |
П е р е д а т о ч н а я |
ф у н к ц и я к а к р е |
|
ш е н и е д и ф ф е р е н ц и а л ь н о г о у р а в н е н и я . Передаточная функция может быть построена и как решение дифференциального уравнения (8.6). Для решения уравне ния (8.6) или по крайней мере упрощения этой задачи мож но воспользоваться методом расщепления дифференциаль ной системы на подсистемы меньшего порядка. С этой целью наряду с (8.6) введем в рассмотрение уравнение
= \Ѵ № - *Еп] W + Л-1 (Т) h, (t) |
(X= |
st), (10.3) |
которое при е = 1 совпадаете (8.6). |
U (т) |
уравнения |
Пусть собственные значения матрицы |
(10.3) разбиваются на непересекающиеся группы Х\а), Х ^ ,...
..., X{kJ (а = |
1, 2, |
..., |
р; Уka = п), так что она может быть |
|||||
представлена |
в |
форме |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
U = |
2 КаКМа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
а=\ |
|
|
В этих условиях собственные значения матрицы U — ХЕ |
||||||||
такл(е |
разбиваются |
на |
соответствующие |
группы |
вида |
|||
Х\а)~ |
X, w |
- |
X, .... |
Х{°1 |
- Х ( а = 1 ,2 .......р; |
Уka = |
п), а |
|