книги из ГПНТБ / Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем

Здесь

t

М 9 = т = г^ j t e b ° V ) d t . tо

Легко видеть, что

®о(^о) = а (^о) = ® >

H(t0) = K(t0) = H0.

Таким образом, пучок решений уравнения (2.2), беру­ щих начало внутри и на поверхности эллипсоида (3.1), представляется соотношением

§ 4. Теоремы об устойчивости линейной системы

Класс Яд — матриц в п. 1.4 настоящей главы был опре­ делен условием со (t) == 1. В данном параграфе, исполь­ зуя соотношение (3.8), выясним условия устойчивости линейной системы на заданном промежутке времени, рассмат­

ривая Яд как класс, определенный заданной положитель­ ной функцией со (t) (не обязательно постоянной).

Если

«о (0 0 ( 0 (t£[t0,T)),

то всегда можно построить рш-трубку, пределы которой не покидает ни одно из тех решений уравнения (2.2), которые

а это означает, что решение х° (t) в пределах промежутка [/», Л не покидает пределов рш-трубки (4.1).

то невозмущенный процесс {решение уравнения (2.2)) устой­ чив на промежутке [/0, Т).

Те о р е м а 4.2. Пусть на промежутке [tü, Т)

а(0 ■< ш (t)

и

р (0 < 0 (р (0 = гпахаРа (0)-

Тогда невозмущенный процесс (решение уравнения (2.2)) ус­ тойчив на (t0, Т).

Те о р е м а 4.3. Пусть на промежутке [t0, Т)

а(t) С со (/)

и

процесс (решение уравнения (2.2)) асимптотически устойчив на U0,oo ).

Наконец, приведем еще одну теорему, определяющую условие существования конечного промежутка времени, на котором процесс устойчив.

Те о р е м а 4.5. Если на промежутке [/0, 4)

а(t) С со (t)

на котором невозмущенный процесс (решение уравнения (2.2)) устойчив.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Условие (4.2) эквивалентно неравенству

М(to) ^

а последнее соотношение влечет за собой, в силу непрерыв­ ности функции р, (t), выполнение неравенства

р(0 < О

впределах некоторого конечного промежутка U0> Т), и по­ тому, согласно теореме 4.2, невозмущенный процесс (реше­

ние уравнения (2.2) устойчив.

§ 5. Случай стационарной системы

Рассмотрим процесс, представленный уравнением

где U — постоянная квадратная матрица порядка п. Для простоты ограничимся случаем, когда U — матрица прос­ той структуры. В этом случае фундаментальную матрицу системы (5.1) можно представить в виде

непрерывно дифференцируемая функция, удовлетворяющая

В формуле (2.4), представляющей матрицу преобразова­ ния уравнения (5.1) к уравнению с диагональной матрицей

*) Если ш(/) — сама непрерывно дифференцируемая функция, то в качестве a(t), которая определяет норму столбцов матрицы преобразо­ вания уравнения (5.1) к уравнению с диагональной матрицей, можно принять заданную функцию u>{t).

то невозмущенный процесс (решение уравнения (5.1)) устой­ чив на промежутке Н0, Т).

Условие асимптотической устойчивости на [tQ} оо), как это следует из теоремы 4.4, имеет вид

В зависимости от вида заданной функции со (і!) и проме­ жутка [г“0, Т) условия (5.2) и (5.3) приобретают ту или иную форму. Рассмотрим некоторые частные случаи.

1) со (t) == const. Полагая а = со, условие устойчивости получаем в виде

ные постоянные. Принимая в качестве а (t) произвольную непрерывно дифференцируемую функцию, заключенную между теми же числами coLи со2, получаем следующее условие

устойчивости на промежутке U0, оо): max0 Reѵ0 ■ < 0.

Условие асимптотической устойчивости на І/0, оо):

§ 6. Об устойчивости на конечном промежутке нелинейного процесса по линейному приближению

Ниже устанавливаются некоторые условия устойчивости на конечном промежутке U0, Т) (Т < оо) процесса, пред­ ставленного тривиальным решением {х = 0) векторно-мат­

ричного уравнения

[/0, Т), Іі — столбцовая матрица, элементы которой — не­

6.1. Теоремы об устойчивости по линейному приближ нию. Пусть ш(г!) — заданная функция, порождающая класс

п X п-матриц K t а К (I) == (К1 К2 ... К„) — невырожден­ ная и дифференцируемая на [/0, Т] матрица преобразования

уравнения линейного приближения

к уравнению

где а (0 — положительная функция, непрерывно дифферен­ цируемая на U0, Т), причем а (t0) = со(/0).

Теорема 6.1. Пусть на промежутке [t0, Т) а (0 < со(0

§ 6] ОБ у с т о й ч и в о с т и н а к о н е ч н о м п р о м е ж у т к е 3 8 5

и

t

цесс (тривиальное решение уравнения (6.1)) устойчив на про­ межутке U0, Т).

Доказ ательство. Введем в рассмотрение мат­ рицу

0 ( 0 =

Ясно, что G (t) есть матрица класса /<“. Для доказатель­

ства теоремы достаточно показать, что все решения урав­ нения (6.1), удовлетворяющие условию

В уравнении (6.1) произведем замену переменных

является положительно определенной. Ее производная по і,

вычисленная в силу уравнения возмущенного процесса (6.1), представляется в виде

г і

13 К. А. Абгаряя

Преобразуем интеграл

I

/ = f S2Re^|*/<f<#.

Так как А (t) —диагональная матрица, векторно-мат­ ричное уравнение относительно у можно представить в виде

следующей системы уравнении первого порядка:

= К д а + Mah (ст=1,2, ... , п),

где Ма — строка о матрицы М.

Отсюда, переходя к дифференциальному уравнению от­ носительно модуля |г/0|и интегрируя это уравнение, полу­ чим

'12Re).adx

на котором невозмущенный процесс (тривиальное решение

уравнения (6.1)) устойчив.

Доказ ательство. При условии (6.9) по непре­ рывности в пределах некоторого замкнутого промежутка

Согласно неравенству (6.10) существует такое положи­ тельное число Ь, что р(0-< — b (t £ [t0, Г]).

Таким образом, на промежутке lt0, Т) условия теоремы

6.1 выполняются, и, значит, на этом промежутке невозмущениый процесс устойчив.

6.2.Обобщение теорем об устойчивости по линейному

приближению. Условия устойчивости, установленные в п. 6.1, основаны на теореме 2.2 о диагонализацпи линейной системы. Эта теорема определяет общий вид матрицы преоб­ разования линейной системы к диагональному виду. Одна­ ко, чтобы воспользоваться представлением (2.4), нужно располагать фундаментальной матрицей X линейной си­

стемы. В некоторых случаях, например в случае линейной стационарной системы, определение X , а значит и матрицы

преобразования линейной системы к диагональному виду, не представляет труда. Но всеже случаи, когда могут быть найдены точные выражения для X в конечном виде, исклю­

чительны. В то же время имеется возможность построения матрицы преобразования линейной дифференциальной си­ стемы к системе, «близкой» к диагональной. В связи с этим представляется целесообразным построение достаточных ус­ ловий устойчивости, основанных на преобразованиях тако­ го рода.