книги из ГПНТБ / Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем

Тогда любой вектор х £ R разлагается, и притом един­ ственным образом (см. § 6), на сумму двух векторов из 5 и Т:

Вектор Xs называется проекцией вектора х на подпрост­ ранство S параллельно подпространству Т. Аналогично, Хт называется проекцией вектора х на подпространство Т параллельно подпространству S.

Пусть Р — оператор, осуществляющий проектирование пространства R параллельно подпространству Т. Этот опе­ ратор определяется равенством

Р х = xs,

где X — произвольный вектор из R, a x s его проекция на S. Очевидно, что Р является линейным оператором.

Равенство (7.1) можно записать и так:

Если л: £ S, то разложение (7.1), в силу единственности разложения вектора из R на сумму (7.1), принимает вид

.V = Xs {Хт = 0),

и из (7.2) в этом случае получаем

x s = Pxs,

т. е. оператор Р, примененный к вектору из S, действует как единичный оператор.

Если X £ Т, то разложение (7.2) принимает вид

Хт = Р хг + Хт,

Обозначив через r'" ранг матрицы МХК*Убудем иметь

г ' + г2 — г2-^0. Отсюда г " ' — 0, и потому

МХК 2 = 0.

Точно так же

М2КХ= 0.

Лемма доказана.

Л е м м а 7.3. Пусть Рх и Р2 — проекционные матрицы порядка п и рангов r x , г 2 соответственно и

матрица, непосредственно следует из леммы 7.1, так что оста­ ется показать, что ранг матрицы Р равен r x -f r 2 .

соответственно имеют ранг, равный г'. Действительно, учи­ тывая (7.12), имеем

(о

Но ранг сомножителей не меньше, чем ранг произведения, и, поскольку ранг матриц М и К не может быть и больше г', их ранг в точности равен г'.

Остается к произведению КМ применить неравенства Сильвестра:

— г < г < г ', г '.

где 0 и Е — соответственно нулевой и единичный операторы. Тогда Р г, Р 2, Рр— проекционные операторы, расщепля­ ющие пространство R на подпространства R lt R 2, ..., R p (Ri = P (R ), m. e.

R = R , + R 2+ ... + R p.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Так же как и в предыдущей лемме, по умножении равенства б) на Р,- убеждаемся в том, что операторы Р с (і = 1, 2, ..., р) — проекционные.

Далее, из условия б) получаем

Г л а в а IV

РАСЩЕПЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА НА ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА.

НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ МАТРИЦЫ

§ 1. Минимальные многочлены вектора, векторного пространства, матрицы

Рассмотрим п-мерное векторное пространство R над чис­

где ^ Ж, после замены в нем скалярного аргумента к линейным оператором А тоже представляет собой некоторый линейный оператор, а именно:

относительно скалярного аргумента с коэффициентами из поля Ж. Тогда в силу того, что для любых целых неотрица­ тельных р и q (а в случае невырожденного оператора для любых целых р и q)

A pA q= Ap+q = A qA p,

имеем

f (А) g (А) = g (А) f (А),

т. е. любые два многочлена с коэффициентами из поля Ж относительно одного и того же линейного оператора ком­ мутативны.

»*

Многочлен скалярного аргумента X со старшим коэффициентом, равным единице,

ф (X) = X« + a fo -' + • • • + aq_ xX + aq, alt а 2, . .. , aq£ ді,

называется аннулирующим многочленом вектора х , если (р(А)х = 0.

Аннулирующий многочлен вектора х наименьшей степе­ ни называется минимальным аннулирующим многочленом векторах или просто минимальным многочленом вектора х .

Допустим, что степень минимального многочлена век­ тора X равна р, т. е. ф (А,) = Хр + а^Кр~1-f- ... + арХХ

+ ар. Тогда

линейно независимы, так как нет многочлена степени р — 1,

Действительно, если допустить, что ф (X) =j=0, то соглас­ но (1.1) ф (X) — аннулирующий многочлен для х, что невоз­ можно, так как степень минимального аннулирующего мно­ гочлена вектора больше, чем степень многочлена г|э (Ä,).

Каждому вектору х отвечает только один минимальный многочлен. В самом деле, пусть

ф (X) = Хр -)- а]Хр~1-f- • • • +

и

— два минимальных многочлена вектора х, т. е.

ф (А )**=0, ф (А)а; = 0.