Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1271 вуз, 4663 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Башкирский Государственный Аграрный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги из ГПНТБ / Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем

.pdf
Скачиваний:
22
Добавлен:
25.10.2023
Размер:
17.28 Mб
Скачать
☆

40

В Е К Т О Р Ы , В Е К Т О Р Н Ы Е

П Р О С Т Р А Н С Т В А

[ГЛ . II

Векторы Ае1,А е 2, .... Аеп принадлежат пространству S,

поэтому их можно представить через

базисные

векторы

^*1» 5*2» ***» g nl'

 

 

 

 

 

 

 

Aek = a\kg1Jr Cl2 kg«+

■■■

+ Ornkgm

( £ = 1 , 2 ..........п),

или

Aek = &ак

 

(£ =

1,2, . . . ,

п),

(6.6)

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ак

 

 

 

 

 

 

Подставляя (6.6) в (6.5), получим

 

 

 

&У =

&аг ...

&ап) X = # (ах а2

... ап) х, ■

или

 

 

 

= 8 Ах,

 

 

(6.7)

где

 

&

У

 

 

 

 

 

 

Q.1о

• . .

 

 

 

 

 

 

/О ц

Gin

 

А -

(а2 я2 . •

а„) =

°21

^22

■■

а 2п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V^ml

dm2

■• •

Grnn

 

Строчная матрица $ набрана из линейно независимых векторов g x, g 2, ..., g m. Поэтому из (6.7) вытекает равенство

У = Ах.

(6.8)

Таким образом, линейному оператору А при выбранных базисах в R в S отвечает некоторая матрица А, которая яв­ ляется матрицей линейного преобразования координат исход­ ного вектора jt в координаты преобразованного вектора у =

— А х . И обратно, тХ «-матрица А при выбранных базисах g и $ соответственно в п-мерном пространстве R и т-мер- ном пространстве S представляет некоторый оператор А, который каждому вектору х = %х £ R относит некоторый

вектор у = А х — &у £ 5. Связь оператора А

с соответст­

вующей матрицей А при выбранных базисах g и $

в про­

странствах R и S представляется равенствами

(6.6),

кото­

рые можно более компактно записать в виде

 

 

А$ = &А.

 

(6.9)

§ 7] М А Т Р И Ц А К А К Л И Н Е Й Н Ы Й О П Е Р А Т О Р 41

Пусть оператору А в базисах g и $ в пространствах R и 5 отвечает матрица А. Выясним, как изменяется матрица

оператора А при изменении базисов.

в R и 5

Наряду cg и # рассмотрим новые базисы g x и

соответственно, связанные со старыми соотношениями

gx = g 7 \

&1< = &N.

(6.10)

Здесь Т и N — невырожденные матрицы порядков соот­ ветственно п и пг.

Пусть в базисах g и $ оператору А отвечает матрица А,

а в базисах %х и &х— матрица Ах, так что

 

A g = &A, А ё г ^ & Л .

(6.11)

Используя (6.10), из второго равенства

(6.11) находим

А 8 = &МА1Т~1.

 

Сравнивая полученное соотношение с первым равенством

(6.11), находим

 

A = NA1T~l.

(6.12)

Таким образом, один и тот же линейный оператор А, отображающий R в S, в зависимости от выбора базисов в R и S представляется разными матрицами, общий вид кото­ рых дается формулой (6.12).

§7. Матрица как линейный оператор

вчисленных пространствах

Пусть А — оператор, который каждому вектору х из /г-мерного векторного пространства R относит вектор у из m-мерного векторного пространства S'.

У = А х,

(7.1)

и пусть g и $ — соответственно базисы в R и 5.

..., хп

Если X — столбцовая матрица координат хх, х2,

вектора л: в базисе g, а у — столбцовая матрица координат Уі, Уі, Уmвектора у в базисе # , то (см. § 6)

у = Ах,

(7.2)

где А — матрица оператора А при выбранных

базисах в

R и 5.

Введем теперь в рассмотрение /г-мерное численное про­ странство/?, изоморфное пространству R и /тг-мерное числен­ ное пространство S , изоморфное пространству 5. Каждому

4 2

В Е К Т О Р Ы , В Е К Т О Р Н Ы Е П Р О С Т Р А Н С Т В А

[ГЛ . II

вектору X из R с координатами %, х2, ..., хп в базисе g поставим в соответствие вектор

 

(Х1

X =

Х2

ZR

\х п/

икаждому вектору уі из 5 с координатами уи у2, ..., ут в базисе $ поставим в соответствие вектор

Уі

Уг

e s .

'■Ут/

• В силу введенного взаимно однозначного соответствия между векторными пространствами R uS, с одной стороны, и векторными численными пространствами R и S, с другой, оператору Л, отображающему пространство R в S, соответ­ ствует матрица А линейного преобразования (7.2), которое каждому вектору х из R относит вектор' у из 5.

Таким образом т X л-матрица А выступает как линей­ ный оператор, отображающий л-мерное численное про­ странство R в лг-мерное численное пространство S.

Матрицу-оператор А можно рассматривать как упоря­ доченную систему л m-мерных векторов — столбцовых матриц

из m-мерного численного пространства 5:

А = (ага2 . .. ап).

Множество всевозможных линейных комбинаций линей­ но независимых столбцов матрицы А образует подпростран­ ство Sj пространства S.

Преобразование (7.2) относит каждому вектору х £ R вектор у подпространства Sx пространства 5. Действительно,

П

У = А х= У, дуа, £ Sv І=1

§ 7] М А Т Р И Ц А К А К Л И Н Е Й Н Ы Й О П Е Р А Т О Р 43

С другой стороны, каждый вектор у подпространства Sl7 являясь линейной комбинацией столбцов матрицы А, пред­ ставляется произведением Ах, где х — столбцовая матрица

с размерами

п X 1 — вектор //-мерного

пространства R.

Итак, совокупность векторов Ах, где

х — любой

век­

тор из R,

является

подпространством

m-мерного

про­

странства

5.

какова

размерность подпространства

 

Выясним,

 

Покажем сначала, что максимальное число линейно не­ зависимых столбцов произвольной прямоугольной матри­

цы равно

рангу матрицы.

ап) равен г и не равный

Пусть

ранг матрицы А =

нулю минор порядка г находится на пересечении столбцов аі„ аІ2, ..., alf (1 < t'x < t2 < ... < ir < n) и некоторых г

строк матрицы.

Допустим, что эти столбцы линейно зависимы, т. е. имеются числа аг, а 2, ..., аг £ Ж, не все равные нулю и та­

кие, что

 

 

 

« Л , + a 2a/f +

• • •

+ ar% = 0.

(7.3)

Равенство (7.3) эквивалентно следующей системе алгеб­

раических уравнений:

 

 

 

auSh -р Qu,a а ~Р

■' ■ 4" ачгаг =

 

аыРі + ß2/,а а +

• • •

+ о2ігаг = О,

 

QmiRt-i "р ClmlR'2 "Р

' ' ‘

"Р О-ті/^г —О-

 

Эта система однородных

уравнений относительно

аи

а,, ..., аг имеет только нулевое решение, так как ранг мат­ рицы коэффициентов равен числу неизвестных. Но это зна­ чит, что столбцы а,-,, аІ2, ..., аіг линейно независимы.

Число линейно независимых столбцов матрицы А, с другой стороны, не может быть больше, чем г. В самом деле,

предположим, что имеются

/ (/ >

г)

линейно

независимых

столбцов су,, аіг, ..., ап. Но тогда равенство

 

 

й/, -Р ccvßi, +

■• •

+

alai[ =

О

 

может

выполняться только

тогда,

когда <

4

= сс2 = ... =

= а, =

0. Однако это не так, ибо эквивалентная система

4 4

В Е К Т О Р Ы . В Е К Т О Р Н Ы Е

П Р О С Т Р А Н С Т В А

[ГЛ. II

алгебраических уравнений

 

 

 

 

 

ац1(хі -f- ö1(jсх2 -f-

• • •

-j- au (Xi — 0,

 

 

H-

^2/t®2

'

“f" Ö2/^CX^ =

0,

 

 

flml.aj +

йоті,а2 +

• • •

-f ami(xl =

0,

 

как

система однородных уравнений относительно alt а 2, ...

..., а,, в которой число неизвестных больше, чем ранг мат­ рицы коэффициентов, имеет ненулевое решение.

Итак, максимальное число линейно независимых столб­ цов произвольной прямоугольной матрицы равно ее рангу.

Заметим, кстати, что при транспонировании матрицы строки становятся столбцами, в то время как ранг матрицы не меняется. Поэтому в прямоугольной матрице число ли­ нейно независимых столбцов всегда равно числу линейно независимых строк.

Пусть теперь ранг матрицы-оператора А в преобразова­ нии (7.2) равен г и линейно независимыми являются столб­ цы аи, а,., ..., at этой матрицы. Каждый столбец матрицы

А есть линейная комбинация г ее линейно независимых столбцов а,,, а,-г, ..., а; . Значит, и каждый вектор подпро­

странства SJ есть линейная комбинация этих л столбцов, т. е. Sj есть подпространство, порожденное г линейно независи­ мыми векторами с,,, а,-,, ..., а,г, и потому его размерность

равна г, т. е. равна рангу матрицы А.

удовле­

Рассмотрим совокупность всех векторов х Е R,

творяющих уравнению

 

Ах = 0.

(7.4)

Эти векторы образуют в R некоторое подпространство RA - Размерность этого подпространства равна п — г. В са­ мом деле, так как ранг матрицы Л равен г, то система ал­ гебраических уравнений

а11Х1

аі2Х2+

' '

'

А~ а\пХп ~

0,

аИХ1

 

‘

'

+ а2пХП=

0>

Ощ]Х1 +

От2Х2 ~Г

• • • •

 

Н- йтпх п =

 

эквивалентная соотношению (7.4), имеет ровно п — г ли­ нейно независимых решений.

S 8]

Н Е Р А В Е Н С Т В А С И Л Ь В Е С Т Р А

4 5

Число измерений d пространства RA, состоящего из всех векторов х £ R , удовлетворяющих условию (7.4), на­ зывается дефектом матрицы-оператора А .

На основании вышеизложенного

 

 

d = п

— г .

(7.5)

§ 8. Неравенства

Сильвестра

 

 

Пусть даны

численные

пространства:

m-мерное R,

«-мерное 5, ^-мерное

Т — и линейные операторы — прямо­

угольные матрицы: А

с размерами q X п и В

с размерами

пX т п .

5

Пусть В

отображает

R

в 5,

а

оператор

А

отображает

в

Т ,

так

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У ~

В х

 

( y £ S , x £ R ) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г =

A y

( z £ T , y £ S ) .

 

 

 

 

 

 

Тогда

-оператор

С =

A B — матрица

с

размерами

q

X m

— отображает R

в Т :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z — A B x

—

C x

 

( x £ R ,

z £ T ) .

 

(8.1)

 

 

Обозначим через гА,гв ,гс ранги операторов

(матриц) Л,

В

и

С .

 

 

всех

векторов А у

 

£ S )

образует

подпро­

 

 

Множество

( у

странство

Л5, размерность

которого

равна

рангу

матри­

цы А ,

т. е. г а -

 

 

 

 

 

( х £ R )

образует подпро­

 

 

Множество всех векторов В х

странство B R ,

размерность которого равна рангу матрицы

В ,

т. е. т в .

 

множество

всех векторов

 

 

где у

= В х ,

 

 

Наконец,

А у

,

а X £ R ,

образует

подпространство

А

(B R ),

размерность

которого равна рангу матрицы A B

= С ,

т. е. г с .

— под­

 

 

Так как B R с

5,

то А

( B R ) c z

Л5,

т. е. A B R

пространство

размерности

гс — есть часть

подпространст­

ва /4S, имеющего размерность г А

. Значит,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

гс < г А.

 

 

 

 

 

(8.2)

 

 

Число

линейно

независимых

решений уравнения

 

 

 

 

 

 

А у

=

0

( у

£ 5)

 

 

 

 

(8.3)

равно дефекту d матрицы А

. Имеем (см. (7.5))

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d =

п — г а .

 

 

 

 

(8.4)

4 6

В Е К Т О Р Ы , В Е К Т О Р Н Ы Е П Р О С Т Р А Н С Т В А

[ГЛ, II

Через dx обозначим число линейно независимых реше­ ний уравнения (8.3), принадлежащих подпространству BR. Так как BR сг 5, то

 

d1< d .

(8.5)

Совокупность векторов z, удовлетворяющих равенству

(8.1),

можно представить так:

 

 

г = Ау

(у£ BR).

(8.6)

Число линейно независимых векторов

г, определен­

ных

равенством (8.1) (или

(8.6)),’ равно, как

указывалось

выше, гс.

 

 

В подпространстве BR, размерность которого равна тв, имеются dj линейно независимых решений уравнения (8.3). Значит, в этом подпространстве имеются гв — dt линейно независимых векторов, которые уже не являются решения­ ми уравнения (8.3). Эти векторы образуют некоторое под­ пространство размерности гв — dx. Учитывая это, всю совокупность векторов г, удовлетворяющих равенству (8.1),

можно представить

и так:

z = Ay

(t/£ S v Sl cz BR).

Покажем, что размерность / подпространства S1 равна гс, т. е.

I= rB — d1 = гс.

Впространстве Sj выберем / линейно независимых век­

торов

 

У ъ У ь

■ ■ ■ ,

Уі-

 

Этим векторам соответствуют векторы

 

 

zt = Ayt

( » = 1 . 2 .......... /)

(8.7)

пространства

Т.

 

 

 

Векторы (8.7) линейно независимы. В самом деле, до­

пуская их линейную зависимость, будем иметь

 

 

а ігі + °Чг2 +

• • •

+ aizi — 0.

 

Это ведет к

равенству

 

 

 

 

А К У і + а $ 2+

• ■•

н- a,yt) = 0.

(8.8)

Вектор а хі/і+ a 2y2-f- ■• • + аіУі не равен нулю (равенство нулю означало бы, что векторы уи у2, ..., у, линейно зави­ симы), но тогда равенство (8.8) противоречит тому условию, что векторы подпространства Sx не являются решениями

S в]

Н Е Р А В Е Н С Т В А С И Л Ь В Е С Т Р А

47

уравнения

(8.3). Значит, г х , z2,

z t линейно

независимы.

Отсюда можно сделать вывод, что

 

 

I = гв — dx< гс.

Покажем, что гс не может быть больше, чем I. Допустим,

что гс >

I. Пусть линейно независимыми являются векторы

Имеем

 

 

^т> Z2»

• • • > Zf Q'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

г і ~ АУ і

{ y t £ S lt t ' =

1, 2 , . . .

, r e )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a iZl

+ a 2Z2 +

' ’ ' +

a r c Zr c =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

Л

+ « 2 ^ 2

+

 

• ••

+ “ лсі/Гс)-

По предположению векторы у х

, у

2 ,

у

Г с

линейно за­

висимы

(гс >

0- Поэтому

имеются

такие числа

аъ сс2, ...

... ,

<хг.с, не все равные нулю, что

 

 

 

 

 

 

 

 

аі9і + *іУл +

+ аГ(Мгс ~

О-

 

Но

тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

« А + cc2z2 +

• • • +

а r c z r c

=

О,

 

что означает линейную зависимость векторов

г1(

z2, ..., zrс ,

Остается одна возможность, а именно:

 

 

 

 

 

 

 

 

гс = гв — dx.

 

 

 

 

(8.9)

Отсюда,

в частности,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

гс < гв .

 

 

 

 

 

(8.10)

 

Из (8.4),

(8.5) и (8.9) получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

г с >

г в — d = г А

- { - г в — п .

 

 

( 8 . 1 1 )

 

Объединяя неравенства (8.2), (8.10) и (8.11), получаем

неравенства Сильвестра

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

гА +

гв — л < г с <_гл, гв ,

 

 

(8.12)

определяющие соотношение между рангами матриц А и В

с размерами q X п

и п

X т

соответственно

и рангом

их

произведения AB.

 

 

 

 

 

 

 

 

г в

С л е д с т в и е . П р и

у м н о ж е н и и

м а т р и ц ы

р а н г а

л ю б о м п о р я д к е н а

н е о с о б е н н у ю

м а т р и ц у р а н г

п р о и з в е д е н и я

о с т а е т с я р а в н ы м

г .

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть А — неособенная матрица порядка п

,

а В — мат­

рица размеров п X

т

и ранга г (г

т ,

п ) .

 

 

 

48

В Е К Т О Р Ы .

В Е К Т О Р Н Ы Е П Р О С Т Р А Н С Т В А

[ГЛ II

Применяя неравенства Сильвестра к произведению

получим

 

С = AB,

 

Г +

Л — // <

Гс < Г, Я.

 

Отсюда

 

 

 

 

 

 

 

гс —

г.

 

Точно так же, если А — неособенная матрица порядка т, то для произведения

С = ВА

будем иметь

т + г — гп < гс < г,т.

Отсюда снова

гс = г.

§ 9. Разложение матрицы на прямоугольные множители

Пусть дана прямоугольная матрица с размерами т X п, т. е. матрица вида

С = (СуС^ . .. сп),

где с{ — столбцовые матрицы-векторы m-мерного численно­ го пространства R.

Пусть ранг матрицы С равен г.

Столбцы матрицы С порождают /--мерное подпростран­ ство Яг пространства R. Выберем произвольную систему г линейно независимых векторов ах, а,, ..., а, С R, и соста­ вим матрицу

А = (а1а2 . .. с,),

имеющую размеры т X г.

Для любой таким образом построенной матрицы А су­

ществует такая прямоугольная матрица В

размеров г X п

и ранга

г, что

 

 

 

 

С =

ЛВ.

 

(9.1)

Для существования соотношения (9.1) необходимо, чтобы

столбцы

матрицы

 

 

 

 

В = {Ь 1Ь2 . . . bn)

 

 

удовлетворяли уравнениям

 

 

 

 

АЬ[= с(

( / = 1, 2, ... ,

п).

(9.2)

§9] Р А З Л О Ж Е Н И Е М А Т Р И Ц Ы НА П Р Я М О У Г О Л Ь Н Ы Е М Н О Ж И Т Е Л И 4 9

Ранг матрицы коэффициентов уравнений А равен рангу расширенной матрицы

К а2 ... а, сс),

ибо А составлена из г линейно независимых векторов под­ пространства Rl и Cj £ Rx. Поэтому уравнения (9.2) раз­

решимы относительно

bt.

Остается показать,

что ранг матрицы В также равен г.

Учитывая, что в данном случае гс = га — г, неравенст­

ва Сильвестра (8.12) можно записать в виде

г А -

г в — / ■ < г < л , Г в -

Отсюда

 

гв = г.

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности