книги из ГПНТБ / Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем
.pdf230 А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Е Р А С Щ Е П Л Е Н И Е [ГЛ IX
где <7 о (от = |
1 , |
2 |
, |
р) являются |
решениями независимых |
|||||||||
скалярных уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
<?°Яа |
/а-> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
, |
|
|
---- h |
Д |
a ft0 —lo-^ |
|
Ь акааУа— 0(2.9) |
|||||||
--- ----- f- Ctla |
dt a |
|
||||||||||||
df° |
|
|
|
|
|
p). |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
(CT=1 , |
, |
|
|
|
|
|
|
||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Подставим |
(2.8) |
в |
(2.1) |
и |
|||||||||
|
d^ao |
|
с помощью равенства |
(2.9): |
|
|
|
|||||||
исключим — |
|
|
|
|
||||||||||
|
dtka |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
р |
( |
|
|
|
lq° |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
|
d*° |
|
а*ст-іа - |
dt |
■CCfcao<7o I Д |
|
|||||||
а£—1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
* „ - |
1 |
, j. |
dQa |
|
|
|
|||
|
+ |
£ |
2 0 |
|
|
I |
|
|
|
|||||
|
df° |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
.fc(T— |
1 |
0 - |
2 |
|
|
|
tk0oq<j I |
■ |
||
|
2 |
( ha |
^ k—° ■Д ho |
kfr—2 |
+ |
■ ■ ■ |
+ |
|||||||
|
a=1 |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
||
Приравняем здесь |
коэффициенты |
|
|
dk°~'Qo |
|
|||||||||
при — ъ— j—, . .. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt°~ |
|
|
|
. , |
, |
<7 o |
(er = |
1,2, . . . , |
p). |
Получим |
|
|
|
|||||
|
|
|
ha = |
Uh а Д «icgio, |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
ha = |
U h а Д a2o£lo, |
|
|
|
|
( 2. 10) |
|||||
|
|
|
h aa= |
U ha—Io Д &ka-loha, |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
0 = |
Uhaa Д |
®ftaoSl0 - |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
'‘0 U I |
"'‘O'J |
|
|
|
|
|
|
Равенства (2.10) умножим слева соответственно на Uk°~x,
Uka~2 |
U, |
Еп и сложим. Получим |
|
|||
(Uk° Д <Х\QU |
Д ••■ |
Д a k0—\aU Д aka<jEn) |
= 0. |
|||
Далее вместо системы (2.10) будем рассматривать экви |
||||||
валентную |
ей |
систему |
|
|
|
|
фо {U) £і0 |
|
0, |
|
|
I (2 11) |
|
Е/+І0 == Uha Д ®/0?Іо |
(/ |
11 ■ ■ •I К |
1), |
5 2] П Р Е О Б Р А З О В А Н И Е О Д Н О РО Д Н О Й С И СТ Е М Ы 23]
где |
|
|
|
|
|
фа (Я.) = |
Я, 0 ф* |
° |
1+ |
••• + |
аА—\<?^ Ф" a kao- |
Положим |
|
^lo = |
Кайо- |
|
|
Здесь а0 — |
|
|
|||
некоторый |
&а-мерный |
вектор (столбцовая |
|||
матрица типа k0 х |
1 ). |
|
|
|
|
Тогда первое равенство (2.11) можно преобразовать к |
|||||
виду |
|
/Софа (Ла) аа= 0 . |
(2.12) |
||
|
|
Так как инвариантное подпространство /?<,, соответствую щее группе о собственных значений матрицы U, цикличе ское, минимальный многочлен этого подпространства яв ляется многочленом степени ka, коэффициенты которого определяются по формулам Виета:
фа (Я) = + ct[a)hk(J 1 ф- • ■• ф- аід-іЯ ф- ai°J,
аі“>- * ] " ' + |
+ M S , |
||
Р ’= > Р> Р + ... |
|
||
< - ( - ! ) * < |
> • . . . |
- tig . |
|
Примем |
|
а )(а) |
|
Тогда |
а / а = |
||
Фа (Я,) = |
фа (%), |
||
|
и, значит, согласно лемме 1 . 1
фа (Ла) = фа (Аа) = 0.
В этих условиях равенство (2.12) выполняется. Из осталь ных же равенств (2 .1 1), зная £1(Т, последовательно можно
определить |
£2 а, .... |
Ь аа- |
^2а = |
U K o & o |
Ф~ 0\ oK oQ <j = = /Са (А а ф- ОС;a ^ k a ) |
ІЗа = |
UКо (А0 ф~ ССіaEka) ао Ф~ a2aKoaa = |
= = К о (А а ф - (ХіаАсг ф- 0.9a E k a ) ^ а ,
Е*0а — Ко (Ааа ф- а1оЛаа ф- •••ф- ccka—io Eka) аа•
2 3 2 |
|
|
А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Е Р А С Щ Е П Л Е Н И Е |
|
[ГЛ . |
ГХ |
|||
|
Если в качестве а0 взять вектор, для которого |
q>0 |
(Ä.) |
||||||
является |
минимальным многочленом, то |
векторы |
|
... |
|||||
• ••, |
|
о |
будут линейно независимы. Тогда преобразование |
||||||
(2 .8 |
) |
, приводящее систему (2 .1 ) |
к |
расщепленной |
системе |
||||
(2.9) |
, будет невырожденным. Теорема доказана. |
U име |
|||||||
|
2.3. Случай матрицы простой |
структуры. |
Если |
||||||
ет простую структуру, то равенства |
(1 .2 ) остаются |
в силе |
|||||||
и в том случае, когда р = п. При |
этом |
/\ |
есть матрица, |
составленная из п линейно независимых собственных век торов, а А — диагональная матрица, диагональными эле ментами которой служат отвечающие этим собственным векторам собственные значения матрицы U. Имеет место сл ;дующая
Т е о р е м а 2.3. Если U — матрица простой структу ры, то решение уравнения (2 .1 ) может быть представлено в виде
|
Х = |
п ЪоЯо, |
dQa |_ а 1о(7 а = |
0 |
, |
|
|
|
а=1 |
|
|
|
|
где £іст = |
К в, |
а-іа = —К |
(К — собственное |
значение, |
а |
|
Кв — ему |
отвечающий собственный вектор |
матрицы |
U). |
Эта теорема следует из теоремы 2.2, если (при условии, что U — матрица простой структуры) принять р — п.
§ 3. Преобразование однородной нестационарной системы дифференциальных уравнений к расщепленной системе
Рассмотрим однородную нестационарную систему вида
А { к ,е ) ~ = в {х,г)х |
(г = е/), |
(3.1) |
где А (т, в), В (т, е) — квадратные матрицы порядка п, допускающие разложение по степеням параметра е (сходя щееся или по крайней мере асимптотическое):
А (т, е) = У) e,kAk (т), В (т, е) = У] ekBk(т) (т £ [О, Ц),
(3.2)
причем det А0 (т) Ф 0.
3.1.Преобразование к расщепленной системе уравнен
второго порядка. Предположим, что матрицы А (т, е), В (т, е) четного порядка п и собственные значения матри цы U (т) = А~К1 (т) В0 (т) могут быть разбиты на р = п/2
§ з] П Р Е О Б Р А З О В А Н И Е Н Е С Т А Ц И О Н А Р Н О Й С И СТ Е М Ы 2 3 3
групп, по два собственных значения в каждой группе, так, что
I Х<а> (т) - Ъ{? (т) I > О |
(і, / = |
1,2; s ф о; т £ [О, L]). |
(3.2а) |
Тогда имеет место следующая |
сегменте [О, L] а) матрицы |
||
Т е о р е м а 3.1. Если на |
|||
Ак (т), Вк (т) (Іг = 0, |
1, 2, ...) |
имеют производные по х всех |
|
порядков, б) инвариантные подпространства Rlt /?2, |
..., Rp |
п-мерного пространства R, соответствующие указанным выше р группам собственных значений матрицы U, явля ются циклическими, то формальное решение уравнения (3.1) может быть представлено в виде
р |
dQ<j |
~Ь ?2 сг (т, б) qa , |
|
|
£іа (*, е) |
(3.3) |
|||
dt |
0 = 1
где скалярные функции qa являются решениями уравнений
|
- ^ - + |
а 1ст(т, е ) - ^ - |
+ а 2 а (т, 8 ) ^ = 0 |
(3.4) |
|||||
|
|
( а |
= |
1 |
- 2.......... р)\ |
|
|
|
|
tja (т , б ) |
(/ — 1 , 2 |
) —векторные функции, представляемые |
|||||||
формальными рядами |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Ію (т, е) = |
5 |
в*$] (т) |
(/ = 1,2); |
(3.5) |
||||
|
|
*=о |
|
|
|
|
|
||
а /а (т, е) |
(j = 1 , 2 |
) — скалярные функции, |
представляемые |
||||||
рядами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
â /а (т, |
в) = |
2 |
е Ч [а] (t) |
( 7 = 1 , 2 ) . |
(3.6) |
|||
|
|
6 = |
0 |
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Подставим выражение |
(3.3) в |
|||||||
|
|
|
|
d2ga |
помощью |
(3.4) и в |
полу |
||
(3.1), исключая при этом — |
с |
||||||||
ченном таким образом тождестве |
приравняем коэффициенты |
||||||||
при qa и |
(а |
= 1, ..., р). Будем |
иметь |
|
|
||||
А [ е |
---- £іа“ іа + |
Ъ о}~ B hа |
( а = |
1 , ... ,/? ) , |
А [г |
---- |іст«2 а ) = ßë?o |
(0 F= 1 .......... |
р), |
234 |
А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Е |
Р А С Щ Е П Л Е Н И Е |
|
[ГЛ IX |
||
или, |
компактнее, |
|
|
|
|
|
|
А ( |
-------- £ іо а /а |
+ £ / + l o ) |
— |
;/о |
(3.7) |
|
(/=1,2; |
а= 1,2, |
... , р\ |
£зо = |
0). |
|
Подставим ряды (3.2), (3,5) и (3.6) в (3.7) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях е. Получим
|
|
|
ДО». |
|
|
+ |
Ä |
1 + « № |
- |
Й |
|
||||
|
|
|
й * |
|
|
|
+ |
д |
а |
+ д |
а |
- |
|
(3.8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$?.« = |
® |
+ д |
а |
+ « |
|
- $ " 4. |
||||||
где |
|
|
|
( / |
— |
|
1 . 2 ; e r |
= D |
1 |
, 2 ........................................p- |
f o ^ |
a i |
O ) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
- |
V |
[ßi^0a] + |
Ax( |
a ^ |
- 5 l+ ],a)l + |
dx |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
- |
AV' |
|
ßl£/ö] + |
|
|
+ |
А.г(C$ £ V |
- |
Й о ) + |
||||
|
|
иЖ |
|
|
|
|
|
|
;[0 ] |
|
|
|
|||
+ Л , |
+ а И У - і і й . |
|
40 |
|
- д а + dx |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
d i |
|
|||||||||
и, вообще, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ж |
|||
а іа |
— |
— |
л— I |
В&;/Ö |
|
+ |
|
+ Bkl?J + |
|
||||||
+ Л ( а » - Й„)+ |
|
|
|
+ « |
|
- і!йа-*4r1+ |
5 3] |
П Р Е О Б Р А З О В А Н И Е Н Е С Т А Ц И О Н А Р Н О Й С И СТ Е М Ы |
2 3 5 |
Первое из соотношений (3.8) в развернутом виде запи шется так:
|
|
№ = |
|
|
+ |
аГаеіа |
|
|
|
(3.9) |
|||
|
|
|
= |
f / $ ] + |
a£ ] |
|
|
|
|
||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||
Умножим первое равенство (3.9) слева на U и сложим |
|||||||||||||
со вторым. |
Получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
+ |
а\°М\Ѵ + |
|
4 Ѵ ІѴ = |
о, |
|
|
|||||
|
(и* + а\Уи + а[УЕп) |
= |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
Поэтому система (3.9) эквивалентна системе |
|
|
|||||||||||
|
|
(U2+ |
a\°aU + |
а,2аЕп) £і°] = |
О, |
|
|
||||||
|
|
|
= U№ + « Ж |
|
|
|
|
||||||
Тем же путем преобразуем (k |
+ |
1)-е соотношение (3.8). |
|||||||||||
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
«SSiSS1 — dfé-11. |
I |
(3.10) |
|||
|
0 = |
Ul\]ТС2-f |
a [2 a]^ia |
+ < ^ 2 0 ^ |
~ |
4 o _ ‘]. J |
|||||||
|
|
||||||||||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(tn të ] + а[5 ВД> + ö S ® |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
+ 4 |
^ |
$ |
+ |
ag\\°a]- |
Ud\ka- l] - |
4 a“ 1] = o, |
|||||
ИЛИ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{U* + a\°JU + 4°a]En) gf« = |
_ |
(a\$U + |
a $ E n) Й“] + |
4*_1], |
|||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 M |
: |
£ /4 M |
|
+ |
4 M . |
|
|
|
|||
Таким |
образом, система |
|
(3.10) |
эквивалентна |
системе |
||||||||
ОУ2 + o$U + |
4 Ю |
ifa] - |
- |
(a\kj u |
+ |
a[k0]En) £[°] + |
d M ] |
||||||
|
= |
£/tf? + a [ ® |
+ |
® |
|
] - |
4 M - |
|
|
2 3 6 |
А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Е Р А С Щ Е П Л Е Н И Е |
[ГЛ . IX |
Вместо уравнений (3.8) далее будем рассматривать эк вивалентные им соотношения
фа (U) |
: :0 . |
|
|
|
|
|
||
fctO] _ г/tLO] |
, |
|
[0 U[0 ] |
|
||||
Ь2а |
— |
и $іа |
— |
Ctjа S1 CT> |
(3.11) |
|||
ф а (У) £[а |
= |
— ( « іа U |
+ с 4 а £ „ ) £ іа + |
|||||
d lak~ n , |
||||||||
|
|
|
+ |
а |
» |
+ « |
- d i r 11 |
|
где |
|
(*==1 , 2 |
, ...), |
|
||||
фа (Я.) = |
Я,2 + |
аіа]А, -j- ага. |
|
|||||
|
|
Используя (1.2) (при соответствующем разбиении соб ственных значений матрицы U на непересекающиеся груп пы), равенства (3.11) приводим к виду
і /<5фо(Л5)уИ^°а] = 0, s=1
Ю]£ [ 0 ]
оsia >
2 |
KsФа (AJ МЛ\о] = |
- |
(а.\к]и + |
а\к]Е„) |
rffe-П |
\ (3.12) |
||
+ d\а |
, |
|||||||
S=1 |
_ /jtW |
I |
„ШЛО] |
, |
1 0]Л*] |
Ak-i] |
|
|
= 2 0 |
|
|
||||||
— и ъіо |
т |
а іа 5 1 0 |
\ |
&\о5і0 — |
0 |
|
|
|
|
|
|
(* = |
1 , 2 , ...). |
|
|
|
По условию теоремы инвариантное подпространство Ra , соответствующее группе а собственных значений матрицы U, циклическое. Поэтому минимальный многочлен этого подпространства есть многочлен второй степени с коэффи циентами, определенными по формулам Виета:
фа (Я.) = |
Я2 + |
а!а)Я + |
ага>, |
|
а{0) = |
- ( М |
0, + ^ |
в)), |
|
„(а) |
гСст)г(а) |
• |
|
|
(Х>2 -- Л,] |
|
|
||
Примем |
аto> |
|
|
|
а/о[0] |
|
( / = |
1 , 2 ). |
|
Тогда |
|
|
|
|
фа (Я) = |
фа (Я), |
|
т. е. фа (Я) — минимальный многочлен подпространства Ra, следовательно,
фа (А0) — 0.
S 3] |
П Р Е О Б Р А З О В А Н И Е |
Н Е С Т А Ц И О Н А Р Н О Й |
С И СТ Е М Ы |
237 |
|||||||||||
|
Положим |
|
|
^ |
] = |
/сао0і |
|
|
|
(3.13) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где й0 |
— некоторый двумерный вектор-столбец. |
|
|
||||||||||||
|
Легко видеть, |
что при |
таким |
образом |
определенных |
||||||||||
Фа (Я) и |
первое равенство первой |
группы соотношений |
|||||||||||||
(3.12) выполняется тождественно. Действительно, |
|
|
|||||||||||||
р |
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
/С5фо (As) |
|
= 2 |
Д/Ро (As) УИ5/<0йо= |
/Сафа (Аа) аа= 0. |
||||||||||
S=1 |
|
|
|
|
S—1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Второе же равенство определяет ^о- |
|
|
|
|
||||||||||
= |
Допустим, |
что |
уже построены ^ а, |
«/а |
0 = 1. |
2; |
t = |
||||||||
0, |
1, ...,k |
— 1 ). Покажем, |
что |
k + |
|
1 группа |
равенств |
||||||||
(3.12) вполне определяет |
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
/<іфа(А,) |
- |
- |
(a\k0]U + |
« $ £ „ )£ $ + |
|
|
|||||||
|
S=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь da*- ’l |
|
является известной величиной. |
|
|
|
||||||||||
|
Принимая |
во |
внимание |
равенство |
(3.13), получим |
|
|||||||||
|
2 |
A/Pa (As) |
= - |
(сі\к]КаА0 + а |
£1 к„ ) йо + dik~ '\ |
|
|||||||||
|
S=s 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или, |
обозначив |
|
|
|
|
|
|
/ |
[*]\ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
= |
(Аайа йа), |
|
а »1 = |
|
J , |
|
|
||||
|
|
2 |
К,фа {К) |
|
= |
- |
^a^aoJa1 |
+ |
4*“ 1]. |
|
|
||||
|
|
Sr=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При умножении обеих частей последнего равенства сле ва на М это равенство распадается на р независимых матричных соотношений
фа (AJ Q[/a] = - |
Ms/<a^aa[ 1 + М/ J ^ |
(3.14) |
|
( S = |
1, |
, p), |
|
где |
|
M $ a\ |
|
Qsa'1 - |
|
||
Обозначив |
|
|
|
Via
2 3 8 |
А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Е |
Р А С Щ Е П Л Е Н И И |
[ГЛ. IX |
будем |
иметь |
|
|
|
Q[ok]= M to \ |
|
|
так что если удастся из (3.14) определить |
то легко по |
||
строить и искомый вектор |
по формуле |
|
№ = к< & к1.
При s Ф ст MsKo = 0, а фа (As) в силу условия (3.2а) — невырожденная матрица. Поэтому
|
Qla] = q>7l (As) Msd[ak~l] |
(зфо). |
|
При s = а МаКа = |
фа(Аа ) = |
0. Поэтому из (3.14) |
|
следует, |
что |
|
|
|
(£0a[k] = |
Mad[k- ' \ |
(3.15) |
Так |
как Ra ■— циклическое подпространство, то соглас |
но лемме 1 . 2 существует такая столбцовая матрица аа , ко торой отвечает линейно независимая система векторов й0,
А0йа • Пусть аа выбрана из этого условия. |
Тогда векторы |
Л0йа и аа линейно независимы и, значит, |
— невырож |
денная матрица. При этом матричное равенство (3.15) раз решимо относительно а [а]. Решая его, находим
№ = <£7'мАк- ' ].
Что касается субматриц |
то здесь имеется известный |
произвол. В качестве Qw может быть взята произвольная квадратная матрица второго порядка, имеющая достаточное
число производных. В частности, можно принять QTO = = 0 .
Зная gia и а\о\ легко определить и $ } по формулам (3.12). Таким образом, изложенный метод позволяет последо вательно построить члены формальных рядов (3.5) и (3.6), с помощью которых представляется формальное решение уравнения (3.1) в форме (3.3), (3.4). Тем самым теорема до
казана. |
случай. |
|
|
|
3.2. Общий |
|
L) а) матри |
||
Т е о р е м а |
|
3.2. Пусть на сегменте [0, |
||
цы Ак (т), Вк (т) |
(k = 0, 1, 2 ,...) |
имеют производные по т |
||
всех порядков; |
б) собственные значения матрицы U (т) = |
|||
= А ~1 (т) В0 (т) |
разбиты на |
р групп |
Аф*) .......Х^ |
§ 3] |
П Р Е О Б Р А З О В А Н И Е |
Н Е С Т А Ц И О Н А Р Н О Й С И С Т Е М Ы |
239 |
|||
(а = 1 , |
2 |
К |
= |
п) |
так, что |
|
|
|
I |
(т) - |
I f (х) I > 0 |
(3.16) |
|
|
(s ф а; |
1 = |
1 , . . . |
, ko', і — 1 , ■• • , ks), |
|
причем соответствующие этим группам инвариантные под пространства R2, R P являются циклическими под пространствами іі-мерного пространства R.
Тогда формальное решение уравнения (3.1) может быть представлено в виде
|
|
£ю(*, е) |
|
|
|
|
|
||
|
|
+ |
Ьо (т, е) |
+ ■• • |
+ |<г0а (т. е) Яо |
(3.17) |
|||
где |
qа (а = |
1 , |
2 |
.......р) |
— скалярные |
функции, |
удовлетво- |
||
ряющие уравнениям |
|
|
|
|
|||||
1 h |
, |
~ |
, |
л |
л .«-і |
|
|
|
|
+ |
“ '«<"•'» |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
+ akc -іа(х ,е)-5Г + |
|
|
||
|
|
|
|
-f- G0kao(t, б) Ца— 0 (^ — 1> • • • 1 |
р)> |
(3.18) |
а ho (т, е), а ja (т, е) — соответственно векторные и ска лярные функции, представляемые формальными рядами
1/а (т, е) = 2J е*£/с (т). |
а /о (т>е) = |
2J е ^ а |
(т). (3.19) |
й= 0 |
|
* = 0 |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Применяя |
метод, |
использо |
ванный в § 2, подставим |
выражения (3.17) и (3.18) в урав |
|
нение (3 .1 ) и приравняем |
коэффициенты при qa, |
, . . . |
dkn—1Яа |
(er= 1, ...,/? ) . Получим |
|
dlk<r~l |
||
|