книги из ГПНТБ / Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло
.pdf5;:':. :•' -Ч: |
И.М.Соболь |
|
&
*-
а
і
.<:ѵ :Д*?
И, М. СОБОЛЬ
ЧИСЛЕННЫЕ
МЕТОДЫ МОНТЕ-КАРЛО
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
М о с к в а 1973
517.8 + 518 С 54 УДК 519.2
I И Л У Ч ! ІО - і + а ! : і-і Ч ;.О-.КАЯ
1 БИБЛИО ТЕКА С С С Р
W - / M / I V
Численные методы Монте-Карло, И. М. Со боль. Главная редакция физико-математи ческой литературы нзд-ва «Наука», 1973.
Книга возникла из курса, который ав тор неоднократно читал в Московском ин женерно-физическом институте, где у слу шателей предполагалось знакомство с тео рией вероятностей в весьма ограниченном объеме (соответствующем программе вту зов). На этом уровне удалось рассмотреть важнейшие разделы теории методов АіоитеКарло.
В книге эти разделы изложены значи тельно полнее, имеется много примеров, подобраны упражнения. Многие результаты излагаются впервые.
Книга рассчитана на студентов втузов, инженеров, научных работников. Она бу дет особенно полезной специалистам по вычислительной и прикладной математике.
Книга содержит 73 рис., бнбл. 185 тип .
©Издательство «Наука», 1973.
0224— 1857 С 042 (02) -73 57-73
О Г Л А В Л Е Н И Е
П р е д и с л о в и е ......................................................................................... |
|
|
|
|
|
* 5 |
|
||
В в е д е н и е ........................................................................................................ |
|
|
|
|
|
7 |
|
||
Г л а в а |
I. Получение случайных величин на |
ЭВМ |
. |
. . |
Ю |
||||
§ |
I. |
Три способа получения случайных величин . |
|
. . |
'10 |
||||
§ |
2. |
Псевдослучайные числа............................................................ |
|
|
|
Ю |
30 |
||
§ |
3. |
Статистическая проверка случайных чисел . . . |
. |
||||||
Упражнения |
к главе 1 ................................................................... |
|
|
|
42 |
|
|||
Г л а в а |
2. Преобразования случайных величин.............................. |
|
44 |
|
|||||
§ |
1. |
Метод обратных функций (основной прием модели |
|
||||||
|
|
рования |
случайных в ел и ч и н )............................................. |
|
|
44 |
|
||
§ |
2. |
Моделирование |
многомерных случайных величин . . |
53 |
|||||
§ |
3. |
Преобразования вида 5 = g (Y i. Y e )..................................... |
. . . |
61 |
70 |
||||
§ |
4. |
Преобразования вида £,= g(у ................. |
. |
||||||
§ |
5. |
Методы |
о т б о р а .................................................... |
|
|
|
|
74 |
|
Упражнения к главе 2 ................................................................... |
|
|
|
83 |
|
||||
Г л а в а |
3. Вычисление |
и н т е г р а л о в ................................................... |
|
|
86 |
|
|||
§ |
1. |
Общий метод оценки математических ожиданий |
. . |
86 |
|||||
§ |
2. |
Простейший метод Монте-Карло для вычисления ин |
|
||||||
|
|
теграла |
..................................... |
|
.............................................93 |
|
|||
§ |
3. |
Важнейшие способы построения хороших оценок (спо |
|
||||||
|
|
собы уменьшения д и сп ер си и ).................................................... |
|
|
|
100 |
|||
§ |
4. |
Интегралы, зависящие от |
п ар ам ет р а ..................................... |
|
|
123 |
|||
. Упражнения к главе 3 ................................................................... |
|
|
|
131 |
|||||
Г л а в а |
4. Вычисление |
интегралов |
(сложные оценки) . |
|
. . |
135 |
|||
§ |
1. Методы |
Монте-Карло с повышенной |
скоростью |
схо |
|
||||
|
|
димости |
................................................................................................ |
|
|
|
|
|
135 |
§ |
2. |
Случайные квадратурные |
ф о р м у л ы |
...................................... |
|
|
143 |
||
§ |
3. |
Использование смещенных |
оценок............................................ |
|
|
|
151 |
||
Упражнения |
к главе 4 .......................................................................... |
|
|
|
|
159 |
|||
Г л а в а |
5. Решение линейных у р а в н е н и й ............................................ |
|
|
|
161 |
||||
§ |
1. Интегральные |
преобразования............................................. |
|
|
161 |
||||
§ |
2. |
Неоднородные |
интегральные уравнения . . . |
. |
171 |
||||
§ 3. Пример: рассеяние частиц ............................................................ |
|
|
|
182 |
|||||
§ |
4. |
Однородные интегральные |
уравнения..................................... |
|
|
185 |
|||
§. 5. Решение |
линейных алгебраическихсистем . |
|
|
193 |
|||||
Упражнения |
к главе 5 .................................................... |
|
|
|
|
207 |
1*
|
|
|
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
|
|
||
Г л а в а |
6. Моделирование |
естественных |
процессов . . . |
210 |
|||||
§ |
1. |
Моделирование путем имитации |
................................................... |
|
211 |
||||
§ |
2. |
Моделирование |
свободного |
п р о б е г а ..................................... |
|
221 |
|||
§ |
3 |
1Іспользоваиие |
статистических весов ............................... |
|
231 |
||||
§ |
-1 |
Статистические веса и интегральные уравнения . . |
247 |
||||||
Упражнения к главе 6 |
......................................................................... |
|
|
|
251 |
||||
Г л а в а |
7. Неслучайные |
точки в алгоритмах Монте-Карло |
253 |
||||||
§ |
1. |
Конструктивная |
размерность |
алгоритмов |
Монте- |
254 |
|||
|
|
Карло ................................................................................................. |
|
|
|
|
|
|
|
§ |
2. н-мерные псевдослучайные т о ч ............................................к и |
|
259 |
||||||
§ |
3. |
Поиски «универсальных» псевдослучайных чисел . . |
270 |
||||||
§ |
4. |
Проверка псевдослучайных чисел с детерминистиче |
274 |
||||||
|
|
ской точки з р е н и я ......................................................................... |
|
|
|
||||
Упражнения к главе 7 |
..................................... |
|
|
|
277 |
||||
Г л а в а |
8. Некоторые |
другие з а д а ч и .................................................... |
|
|
279 |
||||
§ |
1. Интерполирование |
функции |
от |
большого |
числа пе |
|
|||
|
|
ременных .......................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
279 |
§ |
2. |
Простейший |
случайный п ои ск ...................................... |
|
|
281 |
|||
§ |
3. |
Решение уравнения |
Л а п л а с а ................................................... |
|
|
28-і |
|||
§ |
4. |
Вычисление |
винеровских интегралов.................................... |
|
287 |
||||
П р и л о ж е и и я |
|
|
|
|
|
|
|
||
I. Вспомогательное |
н е р а в е н с т в о .................................................... |
|
|
292 |
|||||
11. Т абл и ц ы .................................................................................................. |
|
|
|
|
|
|
292 |
||
Л и т е р а т у р а ........................................................................................................ |
|
|
|
|
|
|
298 |
||
Указатель......................................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
308 |
ПРЕДИСЛОВИЕ
Книга эта возникла из курса, который я в течение ряда лет читал в Московском инженерно-физическом институте, по довольно сильно отличается от него: все вопросы изложены здесь значительно полнее. Основной материал, предназначенный для общего курса методов Монте-Карло, содержится в главах 1, 2, 3, 6, 7, исклю чая мелкий шрифт. Предполагается, что читатель зна ком с теорией вероятностей в сравнительно небольшом объеме, примерно соответствующем программе по выс шей математике для втузов *).
За последнее десятилетие сфера приложений методов Монте-Карло необычайно расширилась. Методы МонтеКарло используются для расчета задач физики (перенос излучения и вещества, ядерная физика, статистическая физика и др.), радиотехники, теории массового обслу живания, теории надежности, химии, биологии, экономи ки (оптимизация, управление, сетевое планирование и др.), теории автоматов, аэродинамики, гидрологии — перечислить все невозможно. В книге рассмотрены поч ти все наиболее важные вопросы, связанные с примене нием методов Монте-Карло, и можно надеяться, что она будет полезна специалистам, использующим эти методы, независимо от области приложений.
По мнению автора, современный курс методов Мон те-Карло обязательно должен содержать хотя бы крат
кое |
изложение детерминистического подхода к методам |
|||
Монте-Карло, так как использование |
так |
называемых |
||
детерминированных |
псевдослучайных |
чисел позволяет |
||
во |
многих задачах |
увеличить скорость |
сходимости |
(1/Л/1_Е вместо 1/УМ), не нарушая структуры вычисли тельного алгоритма. Этим вопросам посвящена глава 7.
*) В лекции для ннженеров-фнзиков следует включать также ряд вопросов из главы 5.
6 ПРЕДИСЛОВИЕ
Обычно преобразования случайных величин излага- . ются как справочный материал: различные способы мо делирования экспоненциальных величин, различные спо собы моделирования нормальных величин и т.д. Вместо этого в главе 2 построена общая классификация преоб разований, используемых для моделирования различных случайных величин. На первый взгляд принцип этой классификации может показаться формальным. Но пол ностью его роль выясняется в главе 7 в связи с введен ным в книге понятием конструктивной размерности алго ритмов Монте-Карло.
Нередко при изложении методов Монте-Карло много места уделяют способам решения задач линейной ал гебры. Однако такие способы редко применяют на прак тике, где, как правило, используют более быстро сходя щиеся численные методы линейной алгебры. Поэтому в главе 5 излагаются в первую очередь способы реше ния линейных интегральных уравнений; и лишь в § 5 этой главы как частный случай рассмотрены алгебраи ческие системы.
В главе 6 рассмотрены различные способы введения статистических весов. Эти способы позволяют, отправ ляясь от естественного процесса, строить модели для расчета, более выгодные, чем имитация процесса (см. мелкий шрифт, стр. 9). Устанавливается связь этих приемов с методами вычисления интегралов и решения интегральных уравнений.
Главы 4 и 8 выходят за рамки общего курса. В гла ве 4 указаны наиболее интересные и, вероятно, наиболее перспективные направления исследований методов вы числения интегралов, а в главе 8 рассмотрены некото рые задачи других типов. Таким образом, эти главы как бы иллюстрируют возможности развития методов Монте-Карло «вглубь» и «вширь».
Упражнения предназначены в первую очередь для то го, чтобы сообщить читателю дополнительные сведения.
Я пользуюсь случаем, чтобы выразить свою призна тельность Н. Н. Ченцову, многолетний контакт с кото рым повлиял на мои взгляды на методы Монте-Карло.
И. Соболь
ВВ Е Д Е Н И Е
0.1.Методы Монте-Карло. Общепринятого определе ния методов Монте-Карло пока нет. Назовем методами Монте-Карло численные методы решения математиче ских задач при помощи моделирования случайных ве
личин*). При таком определении приходится к методам Монте-Карло причислить некоторые, другие методы, как, например, стохастические приближения или случайный поиск, которые по традиции рассматриваются отдельно. Однако специалисты, занимающиеся этими вопросами,
нередко сами называют свои |
приемы |
методами |
Монте- |
Карло. |
|
|
что: |
В то же время в определении подчеркивается |
|||
а) речь идет о численных |
методах |
(и конкурировать |
они могут с классическими численными методами, а не с аналитическими методами решения задач);
б) решать методами Монте-Карло можно любые ма тематические задачи (а не только задачи вероятностного происхождения, связанные со случайными величинами).
Название «Монте-Карло» произошло от города Мон те-Карло (княжество Монако), известного своим кази но, ибо одним из простейших приборов для генерирова ния случайных чисел служит рулетка.
Официальной датой рождения методов Монте-Карло считают 1949 год,- когда появилась статья под заглави ем «Метод Монте-Карло» [159]. Возникновение метода связывают обычно с именами Дж. Неймана, С. Улама,
Н. А4етрополиса, а также Г. Кана и Э. Ферми; |
все они |
|
в 40-х годах |
работали в Лос-Аламосе (США). |
Необхо |
димо сразу |
же подчеркнуть, что теоретические |
основы |
*) Можно добавить: «и статистической оценки их характери стик».