книги из ГПНТБ / Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло

178

РЕШЕНИЕ ЛІІНЕППЫХ

УРАВНЕНІЮ

[ГЛ. 5

равенства

__

со

со

№ѴМ'] = V

м {еѵш і ѵ= і] р{ѵ=о = 2 М’.'n'f).

1=0

1=0

со

То, что 2

Ж

— ('І’> г)> мы уже доказали.

і =0

(г|\ z), сираподливыіі и

тогда,

Метод

Монте-Карло для расчета

2.5. Сравнение точности оценок (38) и (-11). Для того чтобы срав­

нить дисперсии

Ds[([]

i i D £ v [i|'|,

рассмотрим

математические ожи­

дания квадратов этих величин. Во-первых,

СО

M i l Ж ■= 2

м Г ц ГЧ'І IV = <) р ( v = i } =

і=О

XT

r-> 1..

f

г

'l’ (Qo^ ,7-,

f(Q,)

l 2

- 2

p { v “ 0

G

■■■.!

p

(Qu) »'

‘ «(Qi)

_

X

i=0

G L

'

X P V ((?.,. .. , Q,

|v =

1 )ilQ0 .. ■dQ„

Используя (17)

и

(15)

для

перехода от W( и 7>v

к

Г,-

и

p(.

и и ведл

(для краткости)

обозначение

oi = ['K '3o)/p(Q «)nvV (^i).

(42)

запишеім результат

в виде

м~£ж = 2

f üj

/>,-(<?«.........Oi)dQn...dQ,

;ІЗ)

i - l l ö

ö

Во-вторых, из (36) и (42) видно, что

Е‘- Ж =

S

ü,

/

<

21

lü‘llö;l-

\/=0

І.Г-0

Для

того чтобы

оцепить эю

выражение,

запишем

его

в

виде

е* ж

<

2

/ i + / (l°«-l/ - f )

f

l

I / _ / )-

і , / = 0

где

t — любое число из

интервала

0 < Д < 1 ,

и воспользуемся

очевид­

ным неравенством 2w u ^ «2+ u 2

(-;? \

с о

с о •

I

00

/,:+/

/ ( ! ?

Г

і* ж < —

2

(-77+-4,

= 2

2 і1-

(,/=Р

\

1

1" /

і=о

/=Р

ISO

Ре ш е н и е л п н н п н ы х

у р а в н е н и и

[ГЛ 5

Так как*)

(К*и,

z) =

(«,

Kz),

то из этих

соотношений

вытекает,

что (и,

f) =

(ф,

г).

Уравнения (45) и (46) мы будем называть сопряжен­

ными.

и р(Р, Р'), по которым стро­

Если плотности р(Р)

I(Р) и К*(Р,

Р')

(соответственно), то, согласно

п. 2.4,

можно рассмотреть случайную величину

п

/ і =

^ ; | ^ н < у .

(«)

где веса 1^ =

1,

\\7* =

И"*.,, [ft* (Q/_b Q.)/p (Qj_u

Qy)].

ME* [/] =

(/, ы) = (Ч>, г).

Следовательно, при больших N

/Ь.

(48)

где Е*[И* — это значение

[/]

на s-и траектории.

с сим­

Интересно, что даже в случае уравнения

(45)

метричным ядром, когда К*{Р,

Р') — К(Р.

Р') и

\Ѵ] =

оценки для функционала

(ф,

г):

Е № =

4;(Qu)

у Wjf(Qj),

Е* [/]

T(Q»)

2

w j'P {Qj).

Р (Qо)

Р vQu)

(=0

Очевидно,

различие

в

объеме

работы,

затрачиваемой

на расчет

этих

оценок:

для расчета

£[ф]

надо один

раз

вычислить

ф(Я)

и много

раз f(P),

а для расчета

*) (К*и, г) = ]■/(*« (Я) z(P)dP =

JJ /С* (Р,

P ')u (P ')z{P )d P d P ' =

=

JJ /< (Я ', Р) г (Я) и (P') dP dP'— J Kz(P') и (P') dP' = (и, Kz).

Обычно ядро K(P’, Я) называют транспонированным, а комплексно

сопряженное с ним

ядро

К(Р', Р) — сопряженным

(по отношению к

К(Р,

Р')). Однако

для

действительных ядер

/<(Я',

P)—J ( ( P \ Р).

§ 2]

НЕОДНОРОДНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

181

£*[[]— наоборот, один раз вычислить J(Р) и много

раз

СО

£ [ф] = Со [ф (Q0)/p (Qo)]

2

(Qj -

Po)

i=0

для

расчета практически

бесполезна. В

то же

время

величину

С"[с0б(Р — Ро)] можно с

успехом

использовать,

если

положить

р(Р) = б (Р—Р0), т. е. (ср. п.

1.3.1)

строить траектории

Т № с фиксиро­

ванной начальной точкой Qo— Ро-

Получим величину

ое

£* =

‘„ 2

w rH Q j),

/—О

для которой

М{£*1<2о= /> о} =

(Ф,

г).

2.7. Усложненные оценки линейных функционалов

от г. Исполь­

зуя

те же траектории Too пли Т ѵ, можно

построить

различные бо­

них, которая фактически

означает оценку

(ф, Кг)

вместо

ф, г ),

В самом деле, из (25)

следует,

что (ф, г) =

(ф, Кг) + (ф, /) .

Предположим,

что интеграл

(ф,

[) мы умеем

вычислить

аналитиче­

ски (или численно). Тогда расчет

(ф, Кг) позволит нам найти (ф, г).

В таких задачах, в которых ядро К(Р,

Р')

мало по

абсолютной ве­

личине и г » / ,

выделение

(ф,

f) из (ф,

г) может сыграть роль выде­

ления

главной

части

и

существенно

увеличить

точность

оценки

(Ф, г).

(ф, Кг). Во-первых,

так как

Легко указать два способа расчета

(ф, Кг) — (/С*ф, 2 ), то

можно

использовать

случайные

величины

ЦК * ф] пли £ѵ[7(*ф].

Во-вторых, так как функция

ѵ — Кг удовлет­

воряет уравнению

v = Kv+Kf

с тем

же ядром, что

у

исходного уравнения

(25),

то

для

расчета

(ф, о)

можно

использовать

величины

С[ф]

и

С^рф]

с

функцией Кf

ложнятся, так как либо вместо ф (Qo)

придется вычислять А '*ф ^и),

либо вместо f (Qj) придется вычислять

/(/ (Qj)

182

РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

[ГЛ. 5

Методы

Монте-Карло, основанные на использовании

случайных

траектории,

были первоначально предназначены для решения линей­

зовым

[181]. Начальные и

переходные

вероятности,

аналогичные

(33) и (34), были указаны Дж. Кэртпссом

[114]. Обобщения на слу­

чай линейных интегральных

уравнений имеются у многих авторов,

начиная с работы

Р. Каткоски [116]. О более сложных

опенках для

(ф, г)

см. [33, 94,

170].

смотрим лишь общую схему

рассеяния, предполагая,

что частицы

при столкновении с атомами

(точнее, с ядрами атомов)

среды могут

частицы. Обозначим элемент объема dr

dv этого пространства че­

рез dP.

!(P)dP-— количество

первых

столкновений, a z(P )dP —

Пусть

количество

всех столкновений в элементе

объема dP около точки Р

(за единицу времени). Функцию

/ (Р) можно явно вычислить, если

ется плотность столкновений:

* ( Я ) = J /Сет(Д', P)z(P')dP'+f(P),

(49)

и (Р) = J К СТ(Я, Я') п (Я ')4 Я '+ ![> (?)•

(50)

вторых и т. д. столкновении.

Обычно

требуется вычислить

какие-нибудь функционалы вида

(ф, г). Это

можно сделать любым

из методов, указанных в § 2.

роятность s(P')

того, что частица

после

столкновения

в

точке

Р'

снова испытает столкновение

s(P') =

j X -

(P', Р) dP.

Следовательно,

s{P') — это

вероятность

рассеяния

частицы

при

столкновении в точке Р', а

а(Р') = I—s(P’) — вероятность

поглоще­

ния.

поглощением (типа 7’ѵ),которые строятся по плотности

вероятностен

перехода

р(Р, Р ')= К е т (Р , P')ls{P) •

(51)

' С ! Л = [ / (Qo)/P (Qo)] [Ф {Qv)/a (Qv)],

и М£*[/] =

(ф,

г). Напомним, что ѵ — это случайный номер послед­

ней точки траектории.

3.3.

Использование искусственных траекторий. Из теоремы 6 вы

текает, что

в

некоторых случаях оценка для (ф, г) будет иметь

мулой

(51). Согласно

(17) и п. 3.2 в этом случае

W I

= s (Qo) s (Qj) . . . s f Q j _

*)

Ограничение a ( P ) = a , фигурирующее в теореме 6, строго го­

184

РЕШЕНИЕ ЛПНЕПИЫХ УРАВНЕНИИ

[ГЛ. 5

а величина (36)

применительно к уравнению (50)

и функционалу

([, и) равна

чивающие

при

с р ( Я ) = ц ( Я ) ^ 0 минимальные дисперсии оценок D/,

в случае уравнения (50)

принимают вид

р(Р) =

ПР)и(Р)

■ РІР, Я') =

Д'ст (Я, Р')ч{Р')

(/. и)

Ксти(Р)

Так как f ( P ) ^ Q

(по физическому смыслу), то здесьО^ = 0 .

Стоит

подчеркнуть, что в эти формулы входит не решение г (Я)

уравнения

рассеяния, а решение и(Р) сопряженного уравнения.

Конечно, можно обеспечить малые дисперсии, также используя

правила

(33)

и

(34) применительно к

уравнению (49)

с

ядром

поглощающим веществом: если Д Ст(Я', Р ) = 0 при Я '(£0,

то б (Я') = 0

и а(Я ') = 1 при P'QG.

Однако, так как нас интересуют значения

г (Я)

только внутри

G, то вместо уравнения

(49) можно решать уравнение

г (Я) = {

Д ст (Я ',

Я) г (Я') dP' +

/ (Я),

(52)

о

где Я еО . Естественно ожидать,

что, применяя

методы

§

2 к послед­

нии уравнения (49)

во всем пространстве (ср. гл. 3, п. 3.1.2).

Любые

траектории в этом случае не будут истинными траекториями.

В

практических

расчетах часто используют оценки £ѵ

[/] и

C*[f],

а плотность р(Я, Я') выбирают пропорциональной /<СТ(Я, Я').

одногрупповом приближении имеются в гл.

6,

§ 4).

144,

Л и т е р а т у р а к § 3: [8, 25, 33, 36,

50,

51, 53, 59, 93, 105, 127,

145,

153,

168].

§ 4]

ОДНОРОДНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

185

z=XKz.

(53)

Если при некотором X уравнение (53)

имеет решение

ковы

бы ии

были положительные внутри G функции

ф(Р)

и ф(Р),

отношения (ф, /С'ср): (ф,

/0+1ф) стремят­

ся к Хі

lim [(ф, /</ср)/(Ф, К'+'ф)] =

Х1Г

І - + СО

lim /<гФ (Р) (К‘Ф,

(Р).

і-усо

зуются

редко: по

значениям /Сер(Я)

можно

получить

приближенный

рельеф функции

(Р),

а

нормировку

осуществить отдельно.

Все вышеупомянутые предположения выполнены, на­

пример, в случае,

когда ядро

/\(Р,

Р')

симметрично

К(Р', Р )= К (Р ,

Р')

и положительно

определено: (/(ср,

ср) > 0

при ср# 0

(конечно, предполагается

также, что

cp(P)c=L2(G), /\(Р, P')f=L2(GxG)

и

i|?(P) <=L2{G) ).

Для того чтобы пояснить сущность метода Келлога, рассмотрим

случай (весьма важный),

когда псе собственные значения

уравнения

(АЗ) суть

К'ф= I

= Ѣ

Ьп?-7г’П-

щ—\

т—I

(’!’■ * ' ф ) ~

І

« ' ( * ■

( * Ѵ

* ' ф) =

S

О ъ 21.

т= 1

т —\

и выделим главные члены в интересующих нас величинах:

(ф,

/<'ф)

Ь\ К '

(Ф. д) +

ь^ 2

' (Ф> г-Л+

• • •

Ѵ!-0|

(ф,

/<і + |ф)

Ыі ‘

1(Ф> *і) +

ьд2

' 1(ф, г.,)-

/('ф (Я )

bll 7

i2x {P] + b„}-iz.l (P )+ . . .

=

г,(Я )-|-0

ІА(/С'ф, /У'ф)

] /

• Отсюда

видно,

что

сходимость

будет

хорошей,

если

Л ,< Л 2, и пло­

хой, если Я2 близко к А.|. Положительность ф(Я),

вообіце

говоря,

не

нужна: нужно лишь, чтобы (ф, гі)фО.

’Заметим, что' если выбрать

ср(Я) так,

что

&і=(ср,

г,) = 0 ,

но

Ь2 =

(ф,

г2) ^=0,

то

(ф,

К1ф )/(ф ,

/С'+1ф) -»

/С7ф (Р) (/С'ф, /('ф )~ 1/2-* г2 (Я).

§ .Ц

ОДНОРОДНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

187

“ =

ІФ(Ро)І ^ф(Р„)

К(Р0. Pi)^~4(P i)

к (pt-i ■рі) Ф(Рі)

'

( | Ч > 1 , / < Ч )

‘

/ С Ф ( Р о )

■ ”

1 )

Однако здесь,

как

и в п. 2.3,

законы

построения тра­

и

Т е о р е м а

7.

Предположим, что ядро уравнёния (53)

первая собственная функция Z\(P)

неотрицательны

К ( Р , Р ')> 0,

z,(/>)> 0,

а

траектории

Т(

строятся по

законам

(33) и (34):

Р(Р) = ІФ(Р)ІФ(Р)

(Ж. ф)

D0,h|)] =

D(.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Если

^ —1

ф = сгь то /Сер = /ѵі

С2.у—