Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.56 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 3224 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

228

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЕСТЕСТВЕННЫХ ПРОЦЕССОВ

[ГЛ. G

тать, что при столкновении нейтрона с ядрами, кроме реакции, входящих в 2, возможна еще одна — фиктив ное столкновение, при котором ни энергия, ни направле ние движения нейтрона не меняются. Сечение фиктивного столкновения будем считать равным 2®. Если (ср. при мер гл. 2, п. 1,2.2) 2 = 2„+2с+ 2,, то вероятности соот ветствующих реакций в условной задаче равны L„/a, LJa, 1ч/а, а вероятность фиктивного столкновения равна 2ф/а. Пробеги в этой задаче легко вычисляются по фор муле (8)

(1/а) ln "(,

а тип столкновения разыгрывается с учетом всех четы рех возможностей. Ниже доказано, что сумма таких пробегов до первого нефнктивного столкновения подчи няется тому же закону распределения (6), что истинный случайный пробег.

Т е о р е м а	1 ([112]).	Рассмотрим нейтрон, вылетающий из
точки .ѵ =0 по	направлению	оси Ох и подчиняющийся законам ус

ловной задачи. Обозначим через Е координату первого нефиктиано-

го столкновения. Тогда функция распределения \|				выражается фор
мулой		(6).
	Д о к а з а т е л ь с т в о . Обозначим через ѵ		случайное количест
во фиктивных столкновений в интервале (0, £)			и	рассмотрим	случаи
ѵ =	і	{і=0, I, 2, ... ). Выберем произвольные		числа ац,	а2, . . .
. . .	1	], удовлетворяющие неравенствам
		О < А, < Ао < . . . < А,- < А,-+ 1 .

Вероятность того, что фиктивные столкновения окажутся в окрест

ностях точек Аь . . .	, а ,-, а	первое иефпктивное столкновение — в
окрестности точки а^	равна	(ср. (15) гл. 5)

р ( х і , . . . , а£_(_ ,) dxi .. . d xi+i =

—O J X — А

=ае ' і 1

Проинтегрировав эту вероятность по всем возможным а-,, . . . . а

МОДЕЛИРОВАНИЕ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА

22Э

таким, что

х, получим вероятность

*і - И1.

X ,

p { s < * , ѵ = (}=_ [ dxi+i

dxt . . . I p (.V,........xi+ ,) dxi =

*/+i

~ ф (-v'i) dxi • • •

— J e

1+1 [«

ф (A'r-hI)] dA'(+i

...

У ф (.v,)rf.v,.

Все

внутренние

интегралы

легко вычисляются.

Если

ввести

обозна-

чеиие /ф (х) — (*

fs) ds, то

(заменив

на у)

можно

будет

записать результат в виде

Р {1 < X. V = і } = J е~аи [ос - Ѵ ф (у)]

dy .

Отсюда следует,

что

г —*У-гІг.Ли>г

< -V} =

Р (1

< X, V =

і)

Се

[« — ^ .ф (y)J

1=0

1 -

- а х

И,„(я)

1 — ехр [— f V

(s) ds[,

Ф> ' =

что и требовалось доказать.

количество

фиктивных

столкновений

Так как

при увеличении

возрастает, то обычно стараются выбрать минимально возможное значение, т. е. a = su p 2 . Некоторые другие применения метода по стоянного сечения указаны в работах [152, 169].

2.3. Моделирование свободного пробега заряженной частицы.

Рассмотрим пробег	быстрой заряженной	частицы		в	плазме,	состав
и температуры которой (как функции		времени	/	и	координаты г)
заданы. Физические	ограничения на плазму: а)		не		слишком	боль

шое разрежение; б) ларморовский радиус значительно больше дли ны свободного пробега, так что траекторию частицы можно считать прямолинейной: г=Го+ш э.

В результате взаимодействия с электронами и ионами среды

частица теряет	свою	энергию (тормозится). Этот	процесс можно
считать непрерывным,		так что вдоль траектории
		dEldt = —q(E, г, 1).
Формулы для расчета q предполагаются заданными.
Полное сечение 2		заряженной частицы зависит от ее энергии и
положения, так	что в	конечном счете 2 = 2 (£, г,	t).	Скорость ча
стицы v — ds/dt	связана с ее энергией соотношением			Е — (1/2)Мѵ2,
где М — масса	частицы.

230

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЕСТЕСТВЕННЫХ ПРОЦЕССОВ

[ГЛ. 6

Для того чтобы вычислить значения функции

/(/) =

можно численно интегрировать систему обыкновенных дифферен циальных уравнений

		dl	„	dB		ds		(13)
				~df ~		~dt		(13)
				~df ~		~dt
с	начальными	условиями		l(to) = 0 ,		E(t0) = E 0,	s[t0) = 0.	Если при
/ =	tk значение Ik = 1 (t^f < — l n y ,				а	при t = t k+l значение / fc+1 =
— I (^é+ i) > — ln V. то			значения		всех величин		в момент	столкнове
ния — t = tg,		Е — Eg	и S— I — можно проннтерполнровать:


	= lk+ г (^+i “		h■),	= Ek ~ г (Ek ~
Б =	+ г (sk+i -	sk),	где г = ( -		ln у -	I *)/(/,t+1 -	1к).
Возможен также случаи,			когда	при I = ljz		значение	Iк все
еще не превосходит —Іпу, а частица вылетает из области G пли ее
энергия	оказывается	ниже интересующего			нас	уровня Ек < Д П]ІП.

Тогда частица из дальнейшего рассмотрения исключается. При расчете некоторых задач оказалось удобным выбрать в качестве независимой переменной в (13) энергию Е и численно интегрировать уравнения

dt	1	_ds_ _	V	dl_	_ öS
dE	q	’ dE	q ’	dE	q
при E ^ E ^ E mm с		начальными	условиями		t(Ea) = t 0, s(E0) = 0,

/( £ o )= 0 .

Для моделирования пробегов заряженных частиц также можно использовать метод постоянного сечения (п. 2.2.3), если только в интересующем нас диапазоне величин sup £ = « < < » . Тогда можно длину свободного пробега разыгрывать по той же формуле (12); затем придется интегрировать два уравнения

	dE	q		dt		1
	ds	V	'	ds	~	V
от s = 0 до s = \|	(начальные	значения			E ( 0 ) = E 0,		t( 0 ) = / 0)	н, толь
ко вычислив Eg,	11 и ~2j(Eg,		rg,	tg)t		можно	будет определить
(разыграть), фиктивное ли это столкновение или нет.
З а м е ч а н и е .	Изложенный		метод		разработан в [81].			Иногда

взаимодействие заряженной частицы с электронами и ионами среды целесообразно учитывать двояко: взаимодействия, приводящие к не большим изменениям энергии частицы, осредняются и включаются в непрерывное торможение q, а сравнительно редкие столкновения,

влекущие за собой значительное изменение энергии («катастрофиче ские столкновения»), включаются в 2 и разыгрываются [39, 104].


§ 3]	ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ВЕСОВ		231
§	3. Использование статистических весов
В гл: 5 мы встречались с величинами		или Wh кото

рые называли весами. Однако при решении многих физи ческих задач веса можно вводить, руководствуясь чисто физическими соображениями, отправляясь при этом or естественного процесса и не пользуясь макроскопиче скими уравнениями (например, уравнением переноса). Нередко использование весов заметно повышает эффек тивность расчета.

Мы рассмотрим несколько способов введения весов на примере задачи о поглощении нейтронов (п. 1.1).

3.1. Веса, заменяющие розыгрыш поглощения. Пре положим, что из источника г0 в направлении Qo вылетел не один нейтрон, а «пакет», состоящий из большого чис


ла wo идентичных нейтронов. Разыграв длину								пробе
га \|о, определим	точку столкновения для					всего		паке
та /'і = /'о+\|оПо.	В среднем		при	таком		столкновении
[S„(r1)/S(ri)]t«o	нейтронов		поглощаются,			а [2„(гі)/
/2(гі)]ау0 нейтронов		рассеиваются.			Поэтому,		разыграв
(в соответствии	с индикатрисой			рассеяния)			новое		на
правление движения		пакета	Qi		будем	считать,			что
в этом направлении движется пакет,					состоящий из

о>і = [2 s (п) /2 (п)] w0

нейтронов.

Правила построения траектории оказываются во многом такими же, как в п. 1.І: так же разыгрываются пробеги | і, функции распределения которых в соответст вии с (6) равны


Ft (.ѵ) = 1 — exp I — j 2 (П +		As) dsj,	(14)
так же разыгрываются направления Q(. Однако при
столкновении в точке л +1= Л + £ А		«судьба»	нейтрона
не разыгрывается:	вместо этого предполагается, что
аУі[2о(гі+і)/Е(/-і+і) ]	нейтронов из пакета поглотились,
а в рассеянном пакете остаются лишь
a»f+i =	[2 s (П + і)/2 (Он-1)] wt		(15)

нейтронов. История пакета заканчивается тогда, когда

232 МОДЕЛИРОВАНИЕ ЕСТЕСТВЕННЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. 6

он вылетает из области G0. Количество поглощенных за всю историю нейтронов равно

	ч!»’ = S	[2 в (п+і)		I 2 (п + .)] ш і,		(16)
	£=0		/
где	V— номер последней точки			траектории внутри		G0
(другими словами, rv+i^G 0).				что величины	(15) и
Наконец, нетрудно			заметить,
(16)	пропорциональны		ш0. Поэтому, несмотря		на	рас
суждения о «большом			количестве» аУо можем		считать,
что			Шо=1.		(17)

Тогда величина тД1)		— количество поглощении в расчете

на одни испущенный нейтрон — окажется		оценкой иско
мой вероятности: М'^л* = Ра-	(Формальное		доказатель
ство имеется в § 4),
Для приближенного расчета рл нужно реализовать
достаточно большое число N траекторий указанного ви
да (с Що=1)'ІІ положить
S—1
где WO« — значение 7]л\	полученое	на	траектории
номер з.

Докажем теперь, что оценка т)л *всегда не хуже оцен ки Цл, используемой при имитации поведения нейтронов

(П. 1.1):

(18)

Согласно лемме п. 1.1. для'этого достаточно доказать,

что	О О іл ^ І .
	Введем для краткости обозначение
			Si = ^ ( n ) ІЩ(гі).		(19)
Из	формул (15),		(16)	и (17) вытекает, что при гТзП
	Wi =		sLs,	... Sc,
	и,	=	V	Ѵа ... Sc (1 — si+i).	(20)
	Щл	=	2	Ѵа ... Sc (1 — si+i).

5 3]	ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ВЕСОВ	2 3 3
Последнее выражение легко преобразовать к виду
	УІА* = 1 - SlS-2 • • • Sv,	(21)

откуда сразу следует требуемое неравенство.

3.1.1. В большинстве реальных задач дисперсия Dr)*)1' заметно

меньше, чем Dr^, однако общих оценок на этот счет мало. Об ратимся к частному случаю — однородной области G0, когда

Es W / S W 3 S >"'

Обозначим

через

р,- вероятность того,

чю

траектория пакета 'за

кончится в точке /у.).]

с номером і+ І

или,

другими словами, р[==

= Р{ѵ = і}.

Вычислять

эти

вероятности

нам

не потребуется. Заме

тим только, что ро равно вероятности того,

что нейтрон, испущен

ный источником,

вылетит

из области

G0,

не

испытав

ни

одного

столкновения.

Рассмотрим

задачу

поглощении

нейтронов в

Т е о р е м а

однородной области G0

(п.

1.1 ).

Если

Р0 < ( 1 - Р л ) а,

(22)

то имеет место неравенство

Dll',1*

< sDri^.

(23)

Д о к а з а т е л ь с т в о

Из формулы

(21)

видно, что в однород

ной области

случайная

величина

т)^11

может

принимать

только

зна

чения 1 — sl, где

г =

0, 1, 2,

. . . Следовательно,

ее распределение

за

дается таблицей

/ 0

1— s

1— sa . . .

1— s

V Po

•••

Математическое ожидание этой величины равно

Мі1л’ = Е

(1_•s0 Р і = Е Р і —Е Р is ‘ = 1~ Р а — Е P i s~-

і=і

£=1

t=l

і= 1

Так как Мг)^ =

рАі

то получаем выражение

СО

(21)

рА= 1— Ро — Е Р£1'

і=і

рн'-ьЕ <ѵ2' -

Дисперсию іі5і1 запишем в форме

= Е

О- 5')3рі -

рл = Е

р і -

2Е

р\ -

і= і

1=1

234

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЕСТЕСТВЕННЫХ ПРОЦЕССОВ

[ гл . е

Так как sl ^ s ПрП всех t ^ l , то отсюда следует, что

Входящую сюда сумму исключим с помощью формулы								(24). Полу
чим неравенство
	Dii),0 < 1 — р 2 а — (2 — s ) ( l — р а )				+ ( 1 — s ) p „ .
Наконец,	воспользуемся			условием (22) теоремы, после				чего	послед
нее неравенство превратится в (23):
DnJ,'» <	1 - Р-А	-	(2- s ) (1 - р А ) + ( 1 - s )		(1 -	р А у - =	s ( p A		-	.
3.2.	Веса, учитывающие вылет из области								G0.	Снов
рассмотрим		задачу		о поглощении	нейтронов			из	п.	1.1.
Пусть из точки Гі				в направлении О,- вылетает пакет,
				состоящий из большого чис
				ла wt идентичных нейтронов.
				Обозначим		через		U расстоя
				ние от точки Гі до границы
				области G0 (по направлению
				полета, рис. 64). Обозна
				чим через		F,(x)		функцию
	Рис.		64.	распределения			(14)		длины
				свободного		пробега			\|	для

одного нейтрона из пакета. Вероятность того, что нейтрон этот вылетит из области G0, равна

P {|> /,} = l - F ,( /f).

В среднем из области G0 вылетят ш,[1 —/\( /;) ] ней тронов пакета, а юЛ(^) нейтронов испытают столкнове ние внутри Gq. Будем считать, что в следующую точку столкновения гі+1 прилетит пакет, содержащий

		Щ+1=ВУ,/%■(/;)				(25)
нейтронов. Тогда свободный пробег				для	того	пакета
надо	разыгрывать ■внутри G0.		Это	значит,	что	величи
на	подчиняется	усеченному	распределению			(14) на
интервале 0 < х <.іі		(см. п. 5.2	гл. 2). Функция			распре
деления %' равна

F{x)=Fi{x)lFi;(/,).

S 31 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ВЕСОВ 235

Метод обратных функций позволяет записать уравнение

для расчета	=	в виде
		^ ( Г ) = ( 1- т ) В Д )		.	(26)!
или, по аналогии с (9), в виде
5;			_	-
1 (О = j 2		(п + £2fS) ds = ln [у + (1—Y)ß		^	]•
6
Определив	точку столкновения		пакета /■1+1= r i+Q,\|!,
разыгрываем	(обычным способом),		рассеялся	ли	пакет

или поглотился? Если он рассеялся, то количество ней тронов в пакете после рассеяния равно

w{+1 = v,+i.

(27)'

Если он поглотился, то количествопоглощенных нейтро

нов т)(л2) = ѵі+1. Очевидно, история пакета не может закон читься вылетом и продолжается до его поглощения в не которой точке rv+1.

Если положить 0)0=		1, то из		(25)	и (27)	следует,	что
	Wi=Fо(/о)/гі(/1)...Еі-і(/,-і),						(28)
а случайная величина
	№ = Шѵ-м .						(29)
В этом	случае т)л2> равно		количеству		поглощенных		ней
тронов,	приходящихся	на	один	нейтрон		источника, и

служит оценкой для искомой вероятности рл. Формаль

ное доказательство равенства М"^2) = рА имеется в § 4. Расчетная формула такого метода Монте-Карло:

где (^Ia^ s — значение 4	$ ,	полученное по траектории
номер s.
Из формул (28) и (29)	видно, чтоѴл’^ І и (по лем
ме п. 1.1) дисперсия
	<	D r , *

( 2)

Таким образом, точность оценки ч)а всегда не хуже, чем точность оценки т,А, получаемой при имитации поведения


2 3 6	МОДЕЛИРОВАНИЕ ЕСТЕСТВЕННЫХ ПРОЦЕССОВ		[ГЛ в
нейтронов. Правда, расчет величины		может ока

заться более трудоемким, чем расчет т)д, из-за необходи мости вычислять іі.

3.3. Веса, заменяющие розыгрыш поглощения и уч тывающие вылет из области G0. Следующий способ рас чета рА объединяет особенности двух предыдущих мето дов. Пусть из точки rt в направлении Q,- вылетает пакет, состоящий из большого числа ю, идентичных нейтронов. Если (как в п. 3.2) Щ;[1—F,(l,)] нейтронов пакета выле тают из области Go, то в следующую точку столкнове

ния	/'і+і= Гі+ 5і Qi прилетит всего i'i+i =		wiFi(li) нейтро
нов	(длина пробега	определяется из уравнения (26)).
А теперь, как в п.		3.1, будем считать,	что

Ф-Н Са(П -и)/Е(П +і)]

нейтронов при столкновении поглотились, а

к-'н-і = s-'i'+i l2Ls (C'+O/^L (G+i)]

нейтронов рассеялись и продолжают полет по направле нию Qj+i. При таком способе расчета все траектории оказываются бесконечными и не могут закончиться ни вылетом, ни поглощением. На практике расчет продол жают до тех пор, пока гос пакета ш,- не станет пренебре жимо малым, например меньше некоторого заданного

числа б .	(19;, то, выбрав
Если использовать обозначение	(19;, то, выбрав
щ0= 1. получим, что
wi— F0(l0)S]Fl(li)s2. . .	(30)

а количество поглощенных за всю историю пакета иентронов равно

с»

Чл} = J j Ф + і (1 — Si-1-l).

і= 0

Формальное доказательство того, что М^а}=Ра, и: ется в § 4. Формула для оценки рл> очевидно, запише ГЛ

так:

Ра N

S = 1

где — значение 7^3)на траектории номер s.

§ 31	ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ВЕСОВ		23Т
	Из формулы (31) видно, что	^гО. Чтобы доказать,
	(3)
что пл =^1>представим эту величину в виде

= F0 (Іо) - ^ F		0(/„)		... Fi (h) [ 1 -					Fi+I (/,+,)] s, ..		St-m Г
	t= 0
тогда, о ч е в и д н о ,		/<5»	^ F 0(l0) ^ . \						по лемме п. 1.1		дис
тогда, о ч е в и д н о ,		ѵ)Л	^ F 0(l0) ^ . \				и		по лемме п. 1.1		дис
персия	^
Д о к а з а т е л ь с т в о .				Формулу		(31)			запишем	в виде
г (3)	V	г	г	,-Ѵ•	<; _	Ч 1	F		Р е	5
'Ы~		' 0• ■•'		,-Ѵ•			t	О• • ■‘ iSl• • - Si1*1+1 •

В первой сумме выделим первое слагаемое, а в остальных слагае

мых заменим	индекс і на і+1:
S F о- ■- P f!	■■-Si =	F „ . ■-FiSi ■■-Si =
i=0	i=l
		=	F0+ 2 Fo---Pi+lSi- •tSi+1-
			i=0
Подставив это выражение в предыдущее равенство,				получим
	с с	СО
,,(3) = ^ +	V F „ . . . ^ Hx;. . . s , + I - V		f 0...P..v	. . s .+ , =
	1=0	і=0
	=	F0 - V	F0. . . F i { \ - F i+l)Sl. ■ ■S,T'+b
		1=0

что и требовалось доказать.

3.3.1. На рис. 65 приведены схемы расчета одного звена траек тории во всех четырех методах оценки р А. Номер (0) соответствует

методу п. 1.1, номера (1), (2) и ( 3 ) — методам пп. 3.1, 3.2 и 3.3.

Нетрудно заметить, что основное различие в количестве вычислений

связано	с тем, что в методах		(0)	п (1)	нужно проверять		условие
«гі+1 е О 0». а в методах		(2) п	(3)	приходится		вычислять	и
Кроме	того, в методах	(0)	и	(2)	па	расчет одного		звена
траектории затрачиваются 4 случайных числа						у, а в методах		(1) и
(3) — только 3. Остальные различия сводятся						к нескольким	элемен

тарным арифметическим операциям.

Некоторые пояснения к схемам на рис. 65. По условию задачи

точка г0 задана; в методах (1), (2)	и (3)	заданы	также и.'0= 1 , а в
методах (1) и (3), кроме того, полагаем		/і0= 0 .	Величина Іц — это
суммарное количество поглощенных	в точках		нейтронов.

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 3224 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ