книги из ГПНТБ / Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло

68 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН [ГЛ. 2

І= — (Ѵі)1/П 1пу3.

За м е ч а н и е . Общий ліетод суперпозиции может быть описан

одной формулой

Р$(*)-= I Рі (х |у) dFn (у).

г— ОО

Именно в таком виде он был сформулирован Дж. Батлером (compo­ sition method). Если случайная величина г) дискретна, то получаем метод п. 3.3, а если г) непрерывна — метод интегральной суперпози­

ции. Однако в приложениях гораздо большую роль играет дискрет­ ный случай.

3.5. Некоторые приложения метода суперпозиции.

ной величины £ аппроксимируется снизу достаточно про­ стой линией у{х), как это изображено па рис. 26. Оче­

и получить таким образом метод для точного моделиро­ вания |. Алгоритм расчета £ по плотности р*(х) может оказаться весьма сложным; но на времени счета это

этот метод хуже, чем метод обратных функций. В самом деле, урав­ нение (4) для нахождения |

Б

J Р W dx = у

а

можно решать следующим образом: сперва найдем номер к такой,

что

Метод дробления области применим также для моделирования многомерных случайных величин [19].

§4. Преобразования в и д а |= ё ( ,уі........ у„)

Мы ограничимся несколькими весьма разнообразны­ ми примерами преобразовании указанного вида. Во всех формулах уі, , уп— независимые случайные числа.

4.1.Извлечение корней из случайных чисел. Дока

жем, что значение случайной величины определенной

Заметим сперва, что функция распределения случай­ ной величины |=g-('y1, . . . , уп) равна F(x) тогда и только тогда, когда g{yь . . . , уп) удовлетворяет урав­ нению

Д о к а з а т е л ь с т в о (по индукции). При п — 1 фор­ мула (29) превращается в уже доказанную формулу (28). Допустим, что плотность величины (29) выража­ ется формулой (27), и рассмотрим величину

| <п+1,= —ІП(^! ... 7„+і) = ! (п)+ £ п>.

По известному правилу композиции плотностей незави­ симых слагаемых

от вида ядра н от энергии нейтрона перед столкновением). Используя

4.3.Моделирование семейства биномиальных распр

делений. Рассмотрим случайную величину которая подчиняется биномиальному распределению с парамет­ ром р, т. е. при & = 0, 1, 2, . . . , п

Это дискретная величина, и моделировать ее можно ме­ тодом п. 1,1.

Предположим теперь, что для расчета некоторой за­ дачи необходимо многократно моделировать распреде­ ление (31) с различными значениями р, получающимися

алгоритм, который представляет собой алгоритм моде­ лирования п независимых испытаний (ср. п. 1.2.1): для каждого из чисел -уь • • • . Ч" проверяется неравенство у(< р. Если это неравенство оказалось выполненным k

раз, то [174].

Формулу, выражающую £ через "fі, . . . , ч*. можно записать в виде

8 = 2 е ІР - Уд-

і=I

4.4. Приближенное моделирование нормального (г уссовского) распределения. Рассмотрим нормирован­ ную^,) суяшу п независимых равдомерно.-ра&пределен- "иых величин:

Согласно центральной предельной теореме при д->оо

<—ОЭ

Следовательно, по формуле (32) при достаточно боль­ ших п можно вычислять приближенные значения нор­ мальной случайной величины £ с параметрами (0; 1).

Асимптотика в формуле (33) устанавливается весь­ ма быстро (на рис. 28 изображены плотности £ и £(3>),

ипоэтому на практике можно ограничиться значением

п= 12:

Иногда ограничиваются в (32) лишь пятью слагае­ мыми, но зато добавляют поправку, которая ускоряет сходимость распределения к нормальному:

Последние две формулы нередко оказываются удобнее, чем (19), так как расчет по ним возможен без обраще­ ния к подпрограммам In и sin.

О поправках, ускоряющих сходимость, см. [4]. В [-17] имеется пример, при расчете которого пришлось использовать п = 30.

§5. Методы отбора

5.1.Общая характеристика методов отбора. Предп

ложим, что в т-мерном пространстве переменных

Уи . . . , ут заданы случайная точка Q/= ( r )1........... т|,„)

с функцией распределения FQ,(yi........... ут) п некоторая область В'. Рассмотрим одномерную случайную величи­ ну I, определенную формулой

ляется £=tp(Q '); если Q'&B', то точка Q' отбрасывает­ ся и выбирается новая. Таким образом, при расчете по формуле (36) из случайных точек Q' с функцией распре­ деления Fq, о т б и р а ю т точки, принадлежащие В', и по ним вычисляют |. Мы будем говорить, что формула (36) определяет метод отбора для моделирования § (в лите­ ратуре встречается также термин «метод отказов», бо­ лее соответствующий английскому выражению rejection technique).

Эффективностью метода отбора называют вероят­ ность отбора или, более подробно, вероятность того, что

отброшена. Очевидно, эффективность метода (36) рав­ на вероятности

значений |. Следовательно, на расчет каждого значения 1 затрачивается в среднем 1/э точек Q'. Ясно, что при малых а метод (36) становится практически неэффек­ тивным.

Если на реализацию каждой точки Q' затрачивается п случайных чисел уи . . . , у„, где, очевидно, п ^ т , то в среднем на одно значение | затрачивается п/э случай­ ных чисел. В вычислительной практике (при моделиро­ вании одномерных величин |) чаще всего встречается случай т = 2 и іі = т.

5.2.Моделирование усеченных распределений. Рас

смотрим случайную величину г), определенную в интер- I)

ное распределение р,[х), если опа определена в интерва­ ле (а', b')cz(a, b) и плотность ее пропорциональна р(х). Очевидно,

5.3. Метод Неймана [163]. Этот метод очень част используется на практике. Иногда все методы отбора называют методом Неймана.

§ 51 МЕТОДЫ ОТБОРА

Таким образом, получаем, что

7

Р {£ < 2} = J р (х) dx,

а

а это как раз и треоовалось доказать. ѵ ' Эффективность метода (39), согласно (37), равна ве­

числялась в ходе доказательства теоремы. Значит,

э— [с(Ь—а )]-1;

эффективность метода Неймана будет наибольшей, если выбрать наименьшее возможное с, т. е. положить с— = sup р (X). Впрочем, это очевидно также из геометри-

а < х < Ь

ческих соображений.

П р и м е р . Случайная величина і; определена при —R < x < R

с плотностью р(х) = 2 ( л R2)~1' V R'1 — х1-

Согласно теореме 6 нужно выбрать два значения дм и Ѵг и вы­