книги из ГПНТБ / Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло

18 ПОЛУЧЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН НА ЭВМ - [ГЛ. ,[

такие, что на получение каждого числа затрачивается всего 3—5 команд ЭВМ, а программа расчета занимает в накопителе лишь несколько ячеек.

Подавляющее большинство расчетов методами Мон­ те-Карло выполнено с помощью псевдослучайных чисел.

1.6. Сравнение трех способов с практической точк зрения. Попутно с изложением методов получения слу­ чайных величии мы рассмотрели некоторые пх достоин­ ства II недостатки. Остановимся еще на вопросе о быст­ роте выработки случайных величин.

При решении на ЭВМ большинства задач на полу­ чение псевдослучайных чисел затрачивается гораздо меньше времени, чем на расчет самих задач. В самом деле, практика показывает, что в настоящее время ко­ личество псевдослучайных чисел, используемых при ре­ шении отдельных задач, как правило*), имеет порядок ІО4—ІО5 II редко .достигает ІО6—ІО7. Если на выработку каждого числа затрачивать 5 оперцапй, то на получение всех чисел уйдет не более 5- ІО7 операций. На современ­ ных ЭВМ, скорость которых равна 5- ІО5 операций в се­ кунду, это составит не более 100 секунд.

Используя датчики, можно организовать «сверхбы­ струю» выработку случайных чисел, так как, присоеди­ нив к ЭВМ Іг датчиков, мы будем за один такт работы ЭВМ получать k случайных чисел. Однако' выигрыш времени при расчете сложной задачи в указанных выше условиях окажется меньше двух минут. Так что, исходя

Разумно требовать, чтобы скорость выработки была то­ го же порядка,.-что скорость счета ЭВМ. Псевдослучай­ ные числа этому требованию удовлетворяют.

В табл. 1 перечислены достоинства и недостатки трех методов по шести признакам. Подчеркнем, что речь идет только об «эксплуатационных» особенностях, а не о «качестве» вырабатываемых чисел, которое должно проверяться во всех трех методах.

*) Исключенію составляют такие задачи, в которых огромные массивы случайных чисел подвергаются очень простой обработке. Но такие задачи выгоднее решать на специализированных машинах, а не на универсальных ЭВМ. К тому же, вероятно, для большинства таких задач можно придумать лучшие способы решения..,

2.1. Алгоритмы вида уп+і —Ф(4«)- Большинство а горитмов, используемых па практике для получения псевдослучайных чисел, представляют собой рекуррент­ ные формулы первого порядка

где начальное число "рі задано. Легко показать, что функция у = ф (,ѵ), изображенная на рис. 3, не может

ц=Д(Щ

1 X

Рис 1.

породить хорошую последовательность псевдослучайных чисел Чь 4г> • • • В самом деле, если по настоящим слу­ чайным числам построить точки с координатами (41, 42), (4з, 44) , . . - , то они равномерно распределены-в единич­ ном квадрате 0 О '< 1 , 0 < //< 1 , в то время как соот­ ветствующие точки, построенные по числам (4),

(4ь Ф (41)), (4з. Ф(4з))> (45, Ф(45)),

располагаются на кривой у = ф(х).

Следовательно, «хорошую» последовательность мо­ жет породить только такая функция г/=Ф(л:), график которой весьма плотно заполняет единичный квадрат. Примером такой функции может служить функция у — = Д (цх) при очень больших g (рис. 4). И действитель­ но, эта функция послужила основой для ряда методов получения псевдослучайных чисел.

в коде любой ЭВМ можно записать лишь конечное чис­ ло /V чисел, заключенных между нулем и единицей, то

называется отрезком апериодичности последовательно­

Очевидно, в рассматриваемом случае отрезок апери­ одичности состоит из различных чисел. И обычно для расчета не рекомендуют использовать больше чем L чисел последовательности (4)*). Ясно также, что L ^ N .

Для экспериментального определения L и Р можно рекомендо­ вать следующий алгоритм. Выбирается целое число Т (в несколько раз меньшее, чем предполагаемое значение L). Вычисляются подряд

Чтобы вычислить L, по числу У(р_ [)Г'вычисляется У(р_ [)7-_|_(і

после чего считаются и сравниваются между собой две последова­

2.2. Некоторые конкретные алгоритмы.

”2.2.1. Первый алгоритм для получения псевдослучай­ ных чисел был предложен Дж. Нейманом. Его называют

*) Впрочем, использование L-\-P чисел, как правило, ни к каким

осложнениям не приводит, особенно при решении сложных задач, ког­ да маловероятно, что повторяющееся число будет вторично исполь­ зовано для моделирования той же величины.

22 ПОЛУЧЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН НА ЭВМ (ГЛ. I

методом середины квадрата (middle-square method).

и затем отобрать средние 2k цифр этого квадрата:

Т'1+1 = 0> £**+1 ^ft+2 ••• b2h.

Нетрудно проверить, что этому методу соответствует функция

Ф (х) = Д [ \0 -2к Ц {\О3'1-V2) ]

пли, что то же,

ф (je) = 10-2ft Z/ [ 102АДНО**2)].

Однако от метода середины квадрата вычислители отказались, так как в последовательностях, построенных таким образом, получается больше, чем нужно, малых чисел (см. ниже упражнение 4 гл. 1). Интересно, что при некоторых уо наблюдается вырождение последова­

сравнений (congruential method). В этом методе ф(л-) =

где g — большое целое число.

Докажем, что если задать ц0 в форме несократимой дроби ч0= т 0ІМ, где пг0 и М целые числа, и М взаим­ но просто с g, то все цп будут несократимыми дробями

Запись (7) означает, что тп+1 равно остатку, получен­ ному при делении gni„ на М (или, другими словами, mn+, — это наименьший положительный вычет gmn по модулю М).

+"Ѵ |-1> где г — целое число. Легко видеть, что rnn_^_l взаимно просто

делиться на /і ие может, так как g взаимно просто с М; поэтому

На практике обычно используют формулу (7). Изу­ чению последовательностей тп посвящено много работ. Методами теории чисел удалось исследовать длину от­ резка апериодичности (см. упражнение 5 гл. 1) и оце­ нить некоторые величины, аналогичные коэффициентам корреляции между у и р —Ф(ч), между у и р = Ф (ф (^)) и т. п. Однако вопрос о пригодности таких псевдослу­ чайных чисел в конечном счете решается обычными ста­ тистическими тестами § 3, т. е. эмпирически. При неко­ торых (g, М, іщ) получаются удовлетворительные после­ довательности, при других — плохие. (См. также гл. 7,

п. 3.3.)

Удовлетворительная последовательность псевдослу­ чайных чисел получается, например, при g '= 5 17, A ]=242,

в [69, 139, 140]. Ряд статен с указанием недостатков метода пере­ числен в [180].

2.2.3. В качестве примера нелинейного алгоритма использующего некоторые особенности системы команд ЭВМ, рассмотрим алгоритм, предложенный автором книги для ЭВМ «Стрела». В этом алгоритме число получается из числа тремя командами:

1) число умножается на большую константу g ;

2)изображение произведения gyn в ячейке ЭВМ сдвигается на 7 разрядов влево;

3)вычисляется абсолютная величина полученного числа, которая и есть чп+і (при вычислении абсолютной величины число нормализуется).

Удовлетворительная последовательность псевдослу­ чайных чисел получается, например, при §■= ІО17 и 70= 1 (L = 87 835, Р —53 535); результаты статистической про­ верки этих чисел приведены в [75].

Чтобы пояснить этот алгоритм, необходимо указать, что в ЭВМ «Стрела» числа представляются в нормализованной двоичной форме

-v= sgn х-т-2р, где р = 1+ Д (log2|.r |) — порядок числа, а т — ман­

тисса (0,5=sSm <l). Ячейка ЭВМ, в которую записывается число .ѵ,

(в двоичной записи

ІП— 0, в\ Д2 . ..Сз5, I РI = 6з7 <?38■• • етз).

Если произведению gyn соответствует ячейка [0, йі е2 . . . е42], то пос­

ле операции сдвига получаем [ві е8 . . . е420 0 0 00 0 0]. Абсолютная величина этого числа в двоичной записи равна у„+ | = 0, е8 е9. . . е42.

Нетрудно проверить, что в случае, когда размещение мантис­ сы in и порядка р в ячейке ЭВМ другое, то же число У„_рі можно

получить из gy,j с помощью двух пли трех сдвигов и поразрядного

сложения результатов этих сдвигов.

2.2.4. Для получения псевдослучайных чисел на различных ЭВМ

используют весьма разнообразные алгоритмы, подобные изложенно­ му в п. 2.2.3, которые иногда называют способами перемешивания.

Сведения о них имеются в [19, 69]. К сожалению, описание алго­ ритмов далеко не всегда сопровождается указанием количества про­ веренных чисел и тестов, которым эти числа удовлетворяют, или хо­ тя бы указанием работ, в которых имеются данные о таких про­ верках.

Например, некоторое распространение получил трехкомандный алгоритм, разработанный Д. И. Голенко для той же ЭВМ «Стрела». Однако позднее сам автор алгоритма обнаружил ([19], стр. 117), что получаемые этим методом числа плохо удовлетворяют одному из важнейших тестов — проверке пар.

2.2.5. Из других алгоритмов вида (4) отметим попытки «улуч­ шения» метода вычетов (6) путем рассмотрения функций вида

Ф(.Ѵ) = Д(р+£|А-)

нлп

'Для оценки длины отрезка апериодичности, характерно­ го для последовательностей вида (4), можно воспользо­ ваться следующей элементарной вероятностной моделью. Пусть имеется конечное множество, содержащее N раз­ личных чисел. Произведем последовательность незави­ симых опытов, в каждом из которых из этого множеств ва извлекается и записывается одно число. Вероятность

ную величину: номер опыта, в котором впервые будет

неотрицательной случайной величины с функцией рас­

Рассмотренная в настоящем пункте модель предложена в статье [75], там же получена формула (10), а теорема 3 доказана Л. Н. Большевым и Д. И. Голенко. Несмотря на грубость модели, оценки (8) и ( 10) оказались полезными во многих опытах, связанных

со способами «перемешивания», когда теоретико-числовая оценка периода практически невозможна. В качестве N выбирается количе­

ство возможных значений функции Ф(х) в конкретной ЭВМ; тогда можно ожидать, что длина отрезка апериодичности окажется поряд­

ка Y (зх/2) N.

Например, в методе п. 2.2.3 на ЭВМ «Стрела» значение функции Ф(.т) (до нормализации) записывается в форме 0, е8, е0 . . . е 42 значит, N — 235 и Б ~ 2 ,3 -І 0 5. На практике для ряда подобных алгоритмов

были экспериментально обнаружены отрезки апериодичности длиной от 0,8-ІО5 до 3,5 -ІО5.

З а м е ч а н и е . В книге [19] параграф, содержащий теорему 3, называется «Критерий проверки периодичности последовательности псевдослучайных чисел». Однако по этому «критерию» судить о ка­ честве псевдослучайных чисел нельзя. У некоторых вполне удовлет­ ворительных последовательностей, полученных по формуле (6), дли­

бой рекуррентные формулы первого порядка, можно пы­ таться использовать для получения последовательностей псевдослучайных чисел рекуррентные формулы по­ рядка г

7«+1 ^ *[п—1>• •• г 7п-г+і),

считая, что начальные значения ^о, 71, ...... 7г_і заданы. Вероятно, длина отрезка апериодичности у такой после­ довательности при 1 гораздо больше, чем при r = 1. Однако теорема, аналогичная теореме 3, даже для слу­ чая г— 2 не доказана.

В ряде работ рассматривались методы вида (II), представляющие собой обобщения методов пп. 2.2.1 и

2.2.2:

7»+і= Д[10-2АД(103\7»7»-і)]