книги из ГПНТБ / Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло

т|ѵѵ-, зависящую от пары таких траектории:

* (Qq' во) r

Доказать, что если выполнены условия теоремы 4, то

Мг| = МТІѴѴ, = (Я*, г ).

2.Доказать, что если плотности р(Р) и р(Р, Р'), по котор

строятся траектории Г удов л етв ор я ю т условиям

f [ф (Р) f (Р) Р~ Х(Р)Г“ р (Р) dP < к»

G

II

3.Предположим, что функции

принадлежат соответственно L2(G). L2(G), L2(GyG), н ряд Нейма­

(В. Г. Золотухин, С. М. Ермаков [36]).

4.Интегральное уравнение

имеет решение z = 50л\

а) Доказать, что последовательные приближения (26) сходятся, если только интеграл /Сср(х) конечен.

б) ПустьД,, . . . , Д ; — заданные интервалы, расположенные внутри [0, 1], в требуется вычислить методом Монте-Карло п. 2.2

Г Л А В А 6

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЕСТЕСТВЕННЫХ ПРОЦЕССОВ

Рассмотрим какой-нибудь естественный процесс, на протекание которого влияют различные случайные фак­ торы. Законы распределения этих факторов будем

рав конкретные значения случайных факторов, мы смо­ жем рассчитать конкретную случайную реализа­ цию процесса. Такой расчет называют имитацией (si­ mulation).

Большинство приложений метода Монте-Карло свя­ зано именно с имитацией. Технические приемы имита­ ции в различных областях науки, техники, экономики подробно рассматриваются в специальных книгах. Поэ­ тому мы ограничимся лишь очень кратким изложением нескольких простых примеров ( § 1).

С точки зрения математики гораздо интереснее то, что для многих задач можно построить более выгодные алгоритмы расчета, если отказаться от имитации есте­ ственного процесса и воспользоваться некоторыми искус­ ственными моделями.

Именно таким способам расчета — моделированию с использованием статистических весов — посвящена на­ стоящая глава. Основная область применения этих мето­ дов (пока) — нейтронная физика. Однако материалы конференции [55] показывают, что такие методы начина­ ют проникать и в другие области,

Так как распределение случайной величины т)д задается таблицей

основан на имитации поведения нейтронов в среде. В ка­ ком-то смысле это самый естественный метод решения задачи. Однако это не лучший метод. Ниже, в § 3 указа­ ны несколько видоизменений этого метода, позволяющие строить случайные величины т] такие, что M r)=pA hDt] ^ ^ D t)a. При этом будет использована следующая лемма.

Ле мма . Если случайная величина ц, для которой [\/|ѵ|=рА, удовлетворяет неравенствам О ^ г і^ І , то D t]^

< D t)a-

Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как Мц2^ М г )= р л, то

дисперсия Di] •--=Мч — Рл < Рл — Рл = Dt).4.

при делении вместо поглощенного нейтрона появляются V новых нейтронов, называемых нейтронами деления. Распределение случайной величины ѵ задано *).

Снова ограничимся одногрупповым приближением и будем считать, что энергии всех нейтронов равны Е0\ рассеяние изотропно; распределение скоростей каждого из нейтронов деления также изотропно.

' Рассмотрим историю одного нейтрона, оказавшегося в области GoКаждое звено его траектории моделирует­ ся так же, как в п. 1.1: разыгрываются случайное на­ правление Qi, случайный пробег и «судьба» при столк­ новении в точке г<+і= /•(+£,□,• (гл. 2, п. 1.2.2). Если про­ изошло деление, то разыгрывается величина ѵ, и траек­ тория в точке гі+1 разветвляется на ѵ ветвей, каждая из которых моделируется независимо по тем же форму­ лам. Полученную ветвящуюся траекторию часто называ­ ют деревом. Схема такого дерева изображена на рис. 56.

214 МОДЕЛИРОВАНИЕ ЕСТЕСТВЕННЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. б

Область Gо называется критической, если количество нейтронов в этой области постоянно во времени. Наибо­

будем считать нейтронами 1-го поколения. Затем разы­ граем историю каждого из этих нейтронов до его «исчез­ новения» (т. е. до вылета из G0, до захвата или до по­ глощения с делением). При этом мы получим некоторое количество /г2 нейтронов деления, которые будем считать нейтронами второго поколения. После расчета достаточ­ но большого числа і поколений, отношения пі+і/пі устат навливаются, так как п<+1/п{^ь йофф. Величина A0<№

называется эффективным коэффициентом размножения нейтронов в G0. Если £эіМ,= 1, то область G0 критична. (При *афф<1 цепная реакция в G0 затухает, а при ^офф> 1 — приводит к взрыву.).

Очевидно, для расчета по поколениям строить ветвя­ щиеся траектории не нужно.

занных с прохождением элементарных частиц, когда, например, фо­

ревьев вовсе не обязательно сперва строить все дерево, а потом про­ изводить его обработку (т. е. отбор нужных данных и осуществле­ ние нужных вычислений). Укажем два основных алгоритма посте­ пенной обработки дерева.

а) О б р а б о т к а д е р е в а по п о к о л е н и я м . Этот способ удобен в тех задачах, в которых деревья длинные, но не слишком сильно ветвятся. Схема расчета достаточно очевидна: по частицам одного поколения вычисляем все частицы следующего поколения и одновременно производим обработку построенной Ласти дерева. За­ тем информацию о старом поколении можно уничтожить. Так что в памяти приходится хранить не более двух поколений.

Вообще говоря, к поколению можно отнести любые две частицы, не являющиеся «предками» друг друга (например, нейтроны, соеди­

ния. Достигнув конца ветви, возвращаемся на одно колено назад и начинаем двигаться по какому-нибудь из записанных ответвлений. Если записанных ответвлений нет, то возвращаемся еще на колено

Ііазад. Счет закончится тогда, когда мы возвратимся к основанию дерева.

Номера на рис. 56 указывают порядок одного из возможных лексикографических обходов изображенного дерева. Ясно, что при каждом возвращении на одно колено можно уничтожить информа­ цию об обработанной части. Поэтому в любой момент в памяти ЭВМ сохраняется лишь одна полная или неполная ветвь с записан­ ными ответвлениями.

^ /і.З . Системы массового обслуживания. Рассмотрим модель одной из простейших (однофазных) систем мас­ сового обслуживания. Такая система состоит из п линий

(или каналов, или пунктов обслуоісивания), каждая из которых может независимо «обслуживать» заявки. В лю­ бой момент времени линия может быть либо свободной, либо занятой.

Примерами таких систем могут служить автозапра­ вочная станция (линии — бензоколонки, заявки — приез­

(линии — мастера, заявки — клиенты) и т. д.

В систему поступает случайный поток заявок, вероят­ ностные характеристики которого предполагаются изве­ стными. Если в момент поступления k-ii заявки, назовем его th, имеются свободные линии, то одна из них (прави­ ло выбора должно быть задано) принимает на себя обслуживание этой заявки. Продолжительность обслу­ живания заявки і-й линией представляет собой случай­ ную величину т, плотность распределения которой pt(t) также должна быть задана.

Предположим, что наша система представляет собой систему с отказами: если в момент tk все линии заняты, то система выдает отказ. (Такая модель годится для телефонной станции, но не подходит для автозаправоч­ ной станции или парикмахерской, которые ближе к так называемым системам с ожиданием). Важнейшая ха­ рактеристика системы с отказами — среднее число отка­ зов в заданном интервале времени. Конечно, число от­ казов зависит от поступающего потока заявок.

Аналитические методы позволяют рассчитывать систе­ мы массового обслуживания только в простейших случа­ ях. Во всех более сложных задачах приходится прибе­ гать к статистическому моделированию [7, 38, 43].

рассматривается стационарный пуассоновский поток, на­ зываемый также простейшим потоком, в котором интер­ валы между моментами поступления двух последователь­ ных заявок независимы и подчиняются экспоненциально­ му распределению: 4 = 4- і-ЬѲ> и функция распределения Ѳ равна

Величина а=1/МѲ называется интенсивностью потока заявок.

Из более сложных стационарных потоков отметим только потоки Эрланга, в которых величины 0= 4— і также независимы, но подчиняются более общему гам- ма-распределеншо (см. гл. 2, п. 4.2) с плотностью

Интенсивность такого потока равна 1/МѲ= а/т. Сравнительно редко используют нестационарные

пуассоновские потоки, в которых функция распределения 0= 4+і—4 зависит от 4 :

F (X) = 1 — ехр (— I' а (t й -j- s) ds], 0 < х < со. 'о

Нетрудно проверить, что F(x) в последнем случае имеет тот же вид, что функция распределения свободных пробе­ гов (см. ниже формулу (6)). Изложенный в п. 2.2.3 метод постоянного сечения позволяет легко моделиро­ вать такие нестационарные потоки, вводя фиктивные заявки.

1.3.2. А л г о р и т м р а с ч е т а с и с т е м ы с о т к а - з а м и. Рассмотрим конкретную систему с отказами, состоящую из п линии. Плотности pi(t) считаем извест­ ными. Правило выбора свободной линии сформулируем так: заявка поступает на линию, которая освободилась раньше всех, а если таких несколько, то на ту из них, номер которой меньше.

Пусть в рассматриваемую систему поступает простей­ ший поток заявок с интенсивностью а. Требуется оце­ нить среднее число отказов за время 4 ^ < 4оц.

Поставим в соответствие линии с номером і ячейку ЭВМ, в которую будем записывать момент освобожде­ ния этой линии Ті. В начальный момент, очевидно, Ті = = Т2= ... =T„ = t0. В отдельную ячейку будем записы­

вать величину 7‘= m in 7\.

Ю ' < н

Момент поступления первой заявки разыграем по формуле

4 = 4 — (1/а) ln "fl.

Очевидно, первую заявку начнет обслуживать первая линия. Время обслуживания т найдем из уравнения

==4+т. Следовательно, в соответствующей первой линии

разыгрываем момент поступления k-n заявки

4= 4 - і — (1/а) ln Y2fc-i

ипроверяем, если ли свободные линии. Для этого доста­ точно проверить неравенство

После этого можно перейти к рассмотрению следующей, (/г-(-1) -й заявки.

б) Если неравенство (3) невыполнено, то свободных линий в момент 4 нет и система должна выдать отказ,