книги из ГПНТБ / Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло
.pdf128 В Ы Ч И С Л Е Н И Е И Н Т Е Г Р А Л О В [Г Л . 3
Из |
формулы (46), |
используя |
неравенство |
(1) |
|
'(стр. |
292) и |
условие (44), выводим, |
что если f(a')s |
||
е IP HL), то |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
С 1 |
3 1 |
2 |
| 6 ( Л І < і И |
іП | 5 а’- |
f| S, - v- i W| 2d/ |
; |
||
|
b |
|
lb |
J |
|
эта величина как раз фигурирует в (45).
Осталось доказать неулучшаемость последнего нера
венства. Для этого рассмотрим функцию |
|
|||
|
* |
(1 |
1—1/2 |
|
g (Л-) |
= L f [Nt - S N ( l ) \ d t \ \ \ m - S N (t) I2 dt |
• |
||
|
1 ö |
lö |
J |
|
Так как |
1[g' (x)]2 dx = |
L2, то g (a*) G |
№'2 (Ц- Подставив |
|
|
b |
|
|
|
f — g(x) |
в (46), получим, |
что |
|
|
|
( |
1 |
] 1 / 2 |
|
|
6 (g) = ^ г '|і‘(Л Т -5.ѵ(0]2л } |
|
||
Таким образом, теорема доказана. |
|
|
||
4.3. |
Оценка погрешности метода Монте-Карло с п |
|||
мощью распределения to2. Выберем /V независимых слу
чайных чисел <Yi, . |
. . |
, Y-v ч рассмотрим |
погрешность |
|
простейшего метода Монте-Карло |
|
|
||
6 (/) = |
1 |
Л' |
с |
(47) |
4 - S / М ~ |
i/(.Y)rf.v. |
|||
|
|
,•=1 |
о |
|
В этом случае величины, входящие в (45), имеют весьма простой вероятностный смысл: 5 іѴ(.ѵ)//Ѵ — это эмпириче
ская функция распределения Ffj(x) выборки у...............
(ср. (1.7) гл. 1), а X— это функция распределения F(х) случайной величины у (при 0<Л'<;1). Поэтому, соглас но (18) гл. 1,
§ 'll |
ИНТЕГРАЛЫ. ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА |
1 2 9 |
Из теоремы предыдущего пункта вытекает, что для простейшего метода Монте-Карло (47)
sup I Ö(/) I = L Ѵ Ж й - |
(48) |
Воспользуемся теоремой Мизеса — Смирнова, приве
денной на стр. 34: если N достаточно велико, то Р{шІѵ<С <7я} Ä! й) (х). Следовательно, можно выбрать любую до верительную вероятность ß найти соответствующий ей корень А'=,Ѵр уравнения ai(xß)=ß и утверждать, что с вероятностью, приблизительно равной ß,
|
sup I б (/) К L V А'р/N. |
(49) |
|
|
/еіг2(Д) |
|
|
Из оценки |
(49) следует, |
что при достаточно большом |
|
N с вероятностью, приблизительно равной ß, неравенство |
|||
|
| б ( / ) |< і і / ѵ л / |
|
|
справедливо |
одновременно |
для всех функций |
/( х ) е |
eeW2(L).
Обратимся к интересующему нас случаю, когда вы
числяется интеграл вида |
(40) |
|
|
|
|
1 |
|
/ (X) = |
[ [ (х, X) dx |
(50) |
|
|
|
о |
|
с поіМо щ ы о оценки вида |
(41) |
|
|
Од' (*) = |
4 |
- 2 Н Ѵ і, Ч |
(51) |
Из предыдущего результата вытекает, что если при всех
производная fx (х, X ) ^ L 2, то с вероятностью, не меньшей чем ß, при всех этих X одновременно
\QN ( b ) - I ( b ) \ < L ( \ ) V l & N , |
(52) |
где, очевидно,
м
L(X) = Ц [fx(x, %)}2dx
Ѳ И. М. Соболь
1 3 0 |
ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ |
t r Л. 3 |
4.4. Численное дифференцирование оценки (51). Рассмотрим слу чаи, когда существует производная I'(к) от интеграла (50), и дока
жем, что по значениям Ö/V(X) можно обычным способом эту произ водную оцепить:
®л/ + А) — ®jv ~~ А)
|
|
Г |
( Я ) 5 = |
2 Л |
' |
Допустим, |
что |
при |
существуют |
вторые производные |
|
/juC*. |
е Са |
и | |
|
^)1 =S|C. Тогда |
|
1
/'W = f fl(x,X)dx,
о
а оценка (41) для этого интеграла равна производной от оценки (51) э
Ѳа М = "лг2
І=1
На основании (49) можно утверждать (мы по-прежпему счи таем, что Л’ достаточно велико), что с вероятностью, ие меньшей чем ß, одновременно справедливы и неравенство (52), и неравенство
где |
1о ; (Я) |
- Г (Я) I < |
h |
(Я) у |
^ J N |
, |
(53 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fl |
|
|
|
|
11/2 |
|
|
|
|
|
м * ) = [ [ [ /L (*.*)]SdJcj |
• |
|
|
||||||
Далее, в силу сделанных предположений, при любых фиксиро |
|||||||||||
ванных значениях |
У і.---,Т ,ѵ |
функция |
(51) |
дважды |
дифференци |
||||||
руема по Я. Из разложения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ѳуѵ (* |
± |
А) = |
0 Л (Я) |
± |
Л 0,; |
(Я) |
+ |
(1 /2 ) |
Л *(оЯ;±) |
||
вытекает, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В * ( Я + |
А ) - О д , ( Я - А ) |
|
|
|
|
|
|
(54) |
|||
|
|
2 Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Наконец, из (53) и (54) следует, что |
|
|
|
|
|
|
|||||
Ѳ,ѵ (^ + А ) — |
Ѳ д г ( Я — |
Л ) |
|
|
|
|
|
Ѵ |
^ + |
— CA, |
|
2h |
|
- - V |
( Я ) |
< T j |
( Я ) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
r |
N + |
2 |
||
п это неравенство, одновременно, с (52) и |
(53), |
имеет |
место с ве |
||||||||
роятностью, не меньшей чем ß. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В _этпх условиях, по-видимому, |
целесообразно выбирать Л поряд |
||||||||||
ка 1/УіТ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. 3 |
131 |
4.5. О таблицах случайных чисел. Оценка (49) в к кой-то степени оправдывает многократное использова ние таблиц случайных чисел, ибо по одним и тем же числам («по таблице»)
можно решать много за дач: вычислять интегралы от любых функций f(x),
принадлежащих |
|
W2 (L). |
|
||
Оценку, |
аналогичную |
|
|||
(49), можно получить для |
|
||||
гораздо |
более |
широкого |
|
||
класса задач, включаю |
|
||||
щих |
вычисление |
интегра |
|
||
лов от |
функций |
многих |
|
||
переменных. Однако для |
|
||||
всех функций /(х) |
из L2 |
|
|||
оценка |
погрешности тако |
Рис. 45. |
|||
го типа |
невозможна. |
|
|||
В самом деле, каковы бы ни были точки Х\...........xN , найдется |
|||||
функция /(.ѵ) (рис. 45) |
такая, что |
|
|||
я) |
/ (м) = / (-Ѵ.) = ... =f (JtjV) = 0; |
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
б) |
[ f (X) dx = L — e, где L > г > 0 — любые числа; |
||||
|
'o |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
n) |
f /2 (.v) dx < |
І г . |
|
||
|
b |
|
|
|
|
Для такой функции, |
очевидно, б (/')= Д — е. |
Следовательно, при |
|||
любых -Ѵі.............xN |
|
|
|
||
sup I б (/) \> L,
mu
ивеличина эта не стремится к нулю, когда N -*■°°.
Упражнения к глапс 3
1. Записать формулы для расчета методом Монте-Карло инте рала
/ = ff] / (X, у , г) dxdy d2 |
(55) |
"g |
|
от произвольной ограниченной функции f(.v, у, г). Область интегри рования G определена неравенствами л-2-|-(/2< г < 2 .
9*
1 3 2 |
ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ |
[ГЛ 3 |
2.Требуется вычислить интеграл (55) от произвольной огра
ченной функции / (X , у, г) по области G, расположенной между
Рис. 46.
плоскостями x = x t и х — х2 (рис. |
46); |
сечение G плоскостью |
||
х = х 0 изображено на рис. |
47. |
£,) |
в области G будем выбирать |
|
Случайные точкиQ* = |
( | t-, |
|||
по формулам |
|
|
|
|
%>і—Хі “Ь Уі {Х2 |
*l) t |
|
|
|
т- = уі ( Ц + |
уI [у* (бі) - |
У\ (^)J * |
||
и = г1 (if л<) + у"іІг * ß f л<) - |
*i (If л ,)]. |
|||
УПРАЖНЕНИЯ к гл. 3 |
133 |
Можно ли в качестве оценки для / использовать среднее арифмети ческое
1N
ir S W i=i
Если |
нет, то |
написать |
верную |
оценку, |
содержащую |
значения |
|||
/(Qi)...... F(Qn)- |
оценку |
с конечной |
дисперсией для |
вычислени |
|||||
3. |
Построить |
||||||||
интеграла |
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ~ 5l2f( x) dx |
|
|
|
||
|
|
|
|
( |
|
|
|
||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
в случае, когда |
/ ( х ) ~ х |
при |
х-*-оо |
и / ( х ) ~ х 2 при х-»-0. |
|
||||
4. |
Записать формулы для расчета интеграла |
|
|||||||
|
|
|
СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
= [ |
/ (х) e~kxdx, |
k > |
0 , |
|
||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
с помощью значений случайной величины £, плотность которой рав
на р (х) = ае- “*. Доказать, |
что если / |
(х) ä |
Ах'1, то диспепсия |
будет |
|||
наименьшей при а « а 0= А і/(л +1)- |
|
|
|
|
|||
|
5. Условно сходящийся интеграл |
|
|
|
|
||
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
/ |
= |
[ х~ 1 sin 2ях dx |
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
можно вычислить методом Монте-Карло с помощью оценки |
|
||||||
|
|
|
1 N |
|
|
|
|
|
= Ü T 2 h (T i) s in " T i, |
|
|
||||
|
|
|
t= l |
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
h (X) = 2 |
[(2 k + X) (2k + 1 + X) } - '>. |
|
|
|||
|
ft=1 |
|
|
|
|
|
|
|
Доказать, что M[/z(y) |
sin яу] = / , D[/z(y) |
sin яу] ^ (l/2)/z2(0) |
— 1-. |
|||
|
6. Рассмотреть симметризации функции |
|
|
|
|||
|
|
СО |
|
|
|
|
|
|
f (X) = До + |
2 |
( a/t cos 2nkx + |
bk sin 2яйх) |
|
|
|
|
fe=i |
|
|
|
|
||
на |
интервале 0 < х < 1 |
и |
выразить |
дисперсии D /(у ), |
D/( l,(y) и |
||
D/<2>(у) через коэффициенты Фурье ак и bk- |
|
|
|||||
|
7. Рассмотреть функцию /!3) (х) = |
(1/2) |
[/(х /2 )+ /(1 —л:/2)] и до |
||||
казать, что хотя, вообще |
говоря, |
( х ) Ф [ ^ (х) (где |
/*1)(х) = |
||||
= |
(1/2) [ / ( х ) + /( 1 — х )]), |
но по отношению к простейшему методу |
|||||
Монте-Карло эти функции равносильны: |
|
|
|
||||
|
М/(3) (у) = М/(|) (у) = М /(у), |
D p ( y ) = D / ' 1>,y). |
|
||||
134 |
ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ |
[ГЛ. 3 |
8.Требуется вычнслнтыштеграл (12) от функции [(P )e Z .2 (О;
Пусть ф і(Р ), |
, |
ф 8( Р ) — ортоиормированные функции со средними |
|||
значениями, равными нулю, т. е. |
|
||||
J Ф,{Р) Ф,г (Р) Р (р ) dP = е№, |
[ Фj{P) Р (Р)ар = 0 . |
||||
Рассмотрим семейство оценок для I |
|
||||
|
Од |
_ 1_ |
V |
f |
. V |
|
|
/V |
і'=і |
/г—1аЛ (Qi) |
|
где Q. — независимые |
случайные |
точки с плотностью р (Р ), |
|||
а ctj, . . . , а я параметры.
Доказать, что дисперсия этой оценки минимальна тогда, когда
|
* k = \ K V |
Фл (Я)р (Я) |
dP. |
|
|
|
о |
|
|
|
|
9. Случайная |
величина |
vfr |
подчиняется |
биномиальному |
распре- |
делению: Р { vft = |
/} = С' |
р'к (1 |
л . —/ |
у = 0, 1, . . . , nk. |
Слу |
— р/;) ' , |
|||||
чайные величины \’і, . . . , ѵѵ независимы. Требуется вычислить мате матическое ожидание ограниченной величины т]= /(ѵі, . . . , ѵД, кото рое равно
Мі1 = |
Е |
f ( к ......... |
Д) р (ѵі = /і) • • • Р {V, = Д}. |
і и - |
- - |
, і = 0 |
|
Если все П/,^10 и s « 20. то количество слагаемых в этой сумме « ICE“
Ясно, что на современных ЭВМ. такая сумма вычислена быть не может.
Построить простейший метод Монте-Карло для расчета Мт| и какой-нибудь алгоритм, соответствующий эюму методу.
|
Г Л А В А 4 |
|
ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ |
|
(СЛОЖНЫЕ ОЦЕНКИ) |
|
§ 1. Методы Монте-Карло с повышенной |
|
скоростью сходимости |
1.1. |
Выборка по группам. Этот хорошо известный |
статистике прием ([24], стр. 218) может быть с успехом использован для уменьшения дисперсии. По идее ом весьма близок к методу существенной выборки: здесь также предлагается выбирать больше точек в более «су щественных» областях, однако выбор регулируется не
специальной |
плотностью, |
а указанием |
количества |
точек |
|
в различных областях. |
|
|
|
|
|
Итак, пусть требуется вычислить интеграл |
|
||||
|
I = \ f ( P ) p ( P ) d P . |
|
(1) |
||
|
с |
|
|
|
|
Разобьем область интегрирования G на т частей |
|
||||
|
G = G \ |
. .+ Gт |
|
|
|
и введем обозначения |
|
|
|
|
|
Pj = |
I Р (Р) dP, |
/; = |
U(P)p(P)dP. |
|
|
|
С. |
G. |
|
|
|
Очевидно, |
1 |
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pl+- • ■JrPm= 1, Л+'. |
. •-]-Im= P |
|
|||
В области Gj рассмотрим случайную точку |
Q(,) с |
||||
плотностью |
р { Р ) / р і и для оценки |
воспользуемся |
|||
136 |
ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ (СЛОЖНЫЕ ОЦЕНКИ) |
[ГЛ. 4 |
простейшим методом Монте-Карло: так как
л-= м і> л< ги>)].
то, выбрав Nj независимых реализаций Q*'1, . .. , Q(n.
точки QU) можем записать оценку для У3:
N.
0,ѵ |
f W ) . |
}I S = l .
Складывая такие оценки для всех /3, получим новую не смещенную оценку
в; - 1 4 - |
і і т . |
|
/=і /ѵ/ |
«=> |
|
Общее количество случайных точек в формуле |
(2) обоз |
|
начим по-прежнему через N: |
|
|
N = N l+. . .+Nm. |
(3) |
|
Заметим сразу, что оценку (2) можно считать квадратурной сум мой со случайными узлами. В самом деле, обычная коадратурная формула записывается в форме
'» 2 c kf ( P k), ft=l
где точки P i ......... PN) |
принадлежащие |
G, называются узлами, |
|
а числа С3......... CN — весами. Если квадратурная формула точна для |
|||
функций }(Р) = co n st, то Cj-f- . . . |
+ С N = |
1. |
|
Оценка (2) дает нам такую же приближенную формулу |
|||
|
N. |
|
|
|
j = 1 S = 1 |
|
|
причем и здесь |
|
|
|
т |
N.і |
т |
|
/=1 S=1 |
/=1 |
|
|
Предположим, что f ( P ) ^ L z(G; р). Тогда точность простейшего метода Монте-Карло для расчета I харак теризуется дисперсией оценки (14) гл.3, которая равна
D0„=DZ/M,
§ 1] |
МЕТОДЫ С ПОВЫШЕННОЙ СКОРОСТЬЮ с х о д и м о с т и |
137 |
где
D7 = 1?{ Р) р{ Р) d P - I \
Найдем теперь дисперсию оценки (2). Очевидно,
^ N |
т |
|
N.I |
|
|
|
= y i (pi/Njr |
I t Df{Qii)), |
|
||||
|
І — 1 |
s = I |
|
|
||
и так как здесь точки |
Qs'1 при s = |
l ........... Ns независи |
||||
мы, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
{p°jlNj)Df(Ql»). |
|
||
DO,; = |
2 |
(4) |
||||
|
|
/=і |
|
|
|
|
Легко вычислить, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
P ( P ) p ( P ) d P - [ ± - У. |
(5) |
||
|
|
а. |
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
Т е о р е м а 1. |
Если |
разбиение |
G = G i+’. . .’+ G m ч |
|||
число N фиксированы, то минимум выражения |
(4) при |
|||||
дополнительном условии |
(3) равен |
|
|
|||
bl* = -JP |
S P jV ü h W ') |
(6) |
||||
|
|
|
/=1 |
|
|
|
и реализуется при |
|
|
|
|
|
|
Nj = Npj У Df (Q(,))/ 2 |
PjV Df (QU)). |
(7) |
||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Согласно (6) величина bl равна |
|||||
|
m |
|
_________ |
____ 12 |
|
|
bl = 2 P j V D f i Q ^ / N j - V N j / N |
|
|||||
L/=i |
|
|
|
|
|
|
Используя неравенство |
Коши — Буняковского, |
получим |
||||
і=1 |
|
|
/=і |
id " i |
|
|
где справа стоит (4). Остается проверить, что при под становке (7) в (4) получается (6).