книги из ГПНТБ / Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло

ность р также равна этому выражению.

4.3. О других методах расчета Х| и z,(P). Большинство мето для приближенного расчета Х| (метод Ритца, метод моментов и др. [63, 60]) так или иначе требует вычисления некоторых интегралов. Если эти интегралы достаточно сложные, то может оказаться целе­ сообразным применение методов Монте-Карло. Рассмотрим схему одного из таких методов, который использовался в [14] для оценки эффективного коэффициента размножения нейтронов в реакторе.

Допустим, что мы можем указать несколько ортонормированмых функций фі(Р), . . . , фт (Р) так, что первая собственная функция г, (Р) уравнения (53) достаточно хорошо аппроксимируется их ли­

нейной комбинацией

т

* 1 ( Р ) ~ Ѵ , C tf t [P).

i=1

Вычислим (методом Монте-Карло) интегралы

и составим линейную алгебраическую систему уравнений с неизвест­ ными с1, . , . , ст •

Решать эту систему можно методами высшей алгебры. Если f.i= pii —; наибольший корень характеристического уравнения

а С|, . . . , ст — соответствующее ему решение системы, нормиро­

ванное так, что 6 ? + • • • + сД = 1, то

110,9; 147,0. Если по этим дисперсиям вычислить вероятные ошибки величии ІК-^и Р)дм например, при 1Ѵ= 210, то получим значения г1024=

= 0,07; 0,10; 0,13; 0,17; 0,19; 0,22; 0,26. Нетрудно заметить, что по­ грешности соответствующих величин (Kj I , ß)^npn N = 210 в табл. 1

на порядок меньше, чем Гюг-і (если судить по изменениям этих ве­ личин с ростом Л'). Это вызвано тем, что Пример считался с по­ мощью детерминированных псевдослучайных точек, о.которых речь пойдет в гл. 7.

§5. Решение линейных алгебраических систем

5.1.Алгебраическая система как частный случай ин тегрального уравнения. Рассмотрим линейную алгебра­ ическую систему, состоящую из т уравнений с т неиз­ вестными 2Ь . .. , zm:

т

Z a = 22 «оф2р - f fa, 1 < а < ІП, (55)

ß=l

Запись (56) можно считать одним векторным уравне­ нием, где z = (2Ь . . . , 2т) и f = (fl, . . . , fш) — т-мерныё векторы, Л = ( а ар) — квадратная матрица размера т'Хт (которая определяет линейное преобразование в про­ странстве векторов):

т

( A z ) a = У , йар2р.

Р=1

Скалярное произведение векторов будем по-прежнему

*)’ Метод характеристик [11] позволяет находить решения урав­ нения (54) с большой точностью, но практически применим только в случае достаточно простой «геометрии» области G0.

13 И, М. Соболь

194 РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. 5

обозначать скобкой

где в качестве G выберем отрезок осн абсцисс Os^x-<m.

И так как последнее выражение от х не зависит, то

сможем переписать последнее уравнение как

m

2a = flaß2(3 + /а* ß=l

Следовательно, решение z(x) уравнения (57) пред­ ставляет собой функцию, постоянную в каждом из Ga, значения za которой на этих отрезках удовлетворяют

. . . , zm) — решение системы (55), то формула (58) оп­ ределяет решение уравнения (57).

5.2. Случайная цепь для решения алгебраической с стемы. Очевидно, все методы Монте-Карло, приведенные в § 2, применимы для оценки решений уравнения (57) и дают мам возможность оценить решение системы (55).

Величины ра и /7aß, очевидно, должны быть неотрица­ тельными и удовлетворять условиям нормировки

Правила (59) можно интерпретировать как равно­ мерное распределение случайной точки внутри соответ­ ственно Ga или Gß. Можно, однако, совсем отказаться от фиксации положения этой точки и говорить только об отрезке, в котором эта точка расположена. Тогда ра — это вероятность того, что начальная точка траекто­ рии попадет в Ga, а paß— вероятность того, что случай­ ная точка из Ga перейдет в Gß. При такой интерпрета­

тех отрезков Ga, в которые эта точка попадет.

Итак, для решения системы (55) мы будем строить

цепь случайных номеров (61), каждый из которых мо­

где начальные вероятности ра и вероятности переходов P a ß должны удовлетворять условиям нормировки (60).

13*

196 РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ ІГЛ. 5

В теории вероятностей такие цепи называются цепями Маркова с конечным числом т состояний [71]. Веса 117/ вдоль цепи (61) вычисляются по формуле

значение ра> 0. Аналогично распределение (рар) допу­

k 0 —У k. 1 — у , . . —У k. і —У . . .

строится по правилам (62), где ра и ра$ допустимы по отношению к ф и (a«ß) соответственно, и рассмотрим случайную величину

Т е о р е м а 8. Если все собственные значения ца мат­ рицы (|a«ß|) по абсолютной величине меньше единицы, то математическое ожидание случайной величины £ [ ф ] равно