книги из ГПНТБ / Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло

148

' ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ (СЛОЖНЫЕ ОЦЕНКИ)

[ГЛ. 4

Легко проверить, что ■ф(Я) ортогональна

ко всем

срДГ)

и нормирована:

аfі|з2 (P)dP = 1; оJ ф (P) cp/ (P) dP = 0,

0 < j <

m.

Если

й = 0, то представление (31) также

справедливо:

М0 [/] = J ( W i l W J p d T =

^

J

W[W<pdT =

в+

J WßV%dT

в+

1

со

+

- (Ш+ 1)!

(пі + 1)! вf WIßT

(m+

1)1 I

W^W^dT.

Из

последних

двух

интегралов первый

равен (т-)-1)!

по лемме 1, а второй равен нулю по лемме 2.

Таким об­

разом, M (0[f])=co, что равносильно

(29).

Перейдем к вычислению дисперсии:

М(0[/])2=

J W f l W ^ p d T - r ^ T T ü

J W)dT =

в+

в+

= (^Т Т )-і

] W

l + 2acüW ^ W ^ a W l ] d T =

в+

= (STIK S <

äT + STT>i I

+

ß

ß

+ Й Т І )1

1 V id T -

B +

Так как здесь

j"

W%dT

Г

d T = (m + 1)!— по той

в+

в

же

лемме 1, то

M(6 [/])2^ С о + а 2,

откуда

вытекает

§ 21

СЛУЧАЙНЫЕ КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ

149

неравенство,

равносильное (30):

D0 I/] = М (0[/])2 — с 5 < а 2.

равенства в (30) реализуется тогда и

только тогда,

когда

I W\dT = 0.

(32)

Bq

если объем

В0

(п (/п+1)-мерный)

равен

нулю.

Иными

словами, если

— 0 только

на

многообразных

мень­

шего числа

измерений, чем

п{т~\-1),

как,

например,

Pq= P\ и т. п.

(32)

не будет выполнено

для

некоторых

Равенство

функций f(P),

если

функции

сро(Р), • • •

, срт{Р)

линей­

«-мерным объемом: в этом случае \Ѵф„ = 0 в области

G'X-

•

-XG7 с положительным п (ш + 1)-мерным объе­

мом,

и

объем В0 положителен.

1

/ з (1 — 2.ѵ0)

1%, (А"01А*і) • 11

2 / 3 ( х 0 — дц)

/ 3 ( 1 - 2 n)

квадрата В. Если выбрать

Фо(*) = 1, ф і(*) = sgn

(Ѵа — х), то

легко

вычислить,

что

/ РіGo. *i)=

Фі М

Фі (*і) — Фі (х0)

=

Фі Ш

и Ц7 (Хо,

* 0 = 0 в

двух

четвертях

{0 < * о < ’/2, 0<ЛГ|<

'/2} и

{ ‘/а < х 0< 1 ,

V * s£ * i< l} квадрата В*).

Верхняя

граница

(30)

для дисперсии D 0[f]

имеет простой гео­

1

П р и м е р .

Рассмотрим

интеграл /

= [

f(x)dx.

Пусть т = 1 и

заданы

две

ортоиормпрованные

о

(р0(.ѵ )= 1,

фі (д-) =

функции:

= УЗ(1 — 2х).

Обозначим через і

и г| две случайные точки (вместо Q (0>

и Q ^ )

и вычислим определители, входящие в (27):

W, =

f (6) Фі (л) -

/ (11) Фі (ё) =

Ѵ з и (I) (1 -

2)1) -

/

(11) (1 -

26)],

И'/ гр0 =

Фо (I) Фі (11) — Фо (ч)Фі (6)

=

2 у ъ

(6 — 1.1).

Из (27)

и (29) вытекает оценка интеграла I :

О[!] =

2 - 1 (6 -

I))“

1 [(1 -

2іі) f (І)

-

(1 -

2 |)

f (11)],

где 6 и 1) имеют совместную плотность распределения

РііП{х, у) = 3(х — у)2,

0 <

л-, у < \ .

(33)

Для

расчета интеграла /

=

jexdx по десяти значениям подынтег-

o'

ральнои функции запишем оценку

4 , ( і - г , і , ) е8‘ - ( і - г ; , ) Л

(34)

W 1=1

2 (ё£ -

11«)

Дисперсия этой оценки, согласно (30) ,

где

имеет место знак равен-

ства,

есть

I

(1 — 2x)dx

-

3

[

б

=

0,2

{0,5 (е3 — 1) — (е— I)2 — 3(3 — е)2} = 0 ,0 0 0 7 8 8 .

дом Неймана

(п. 5.3 гл. 2):

выбираем три случайных числа у £, у £,

у £

и проверяем

условие у £ <

( у £— у £) 2 . Если

оно выполнено,

то

іі = Уі ,

Чі =

У,-- Эффективность отбора э = '/о .

Пример

расчета

по

формуле

(34)

приведен в табл. 1. Результат этого расчета

Ѳ10=

1,731.

2.4. Замечания. «Методу п. 2.3 посвящено

несколько

работ

[20,

31, 137].

Исследователей привлекает большая

общность

метода

и

для разыгрывания точек

с плотностью (28) *).

Во-вто-

*) Если известна верхняя граница плотности

p ( Q ^

, . . . ,

Q ^ ) ^

sSc, то для разыгрывания точек Q(0\

. . . , Q (m)

можно

использовать

метод Неймана, эффективность которого э = 1 /с .

§ 31

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СМЕЩЕННЫХ ОЦЕНОК

151

Т а б л и ц а 1

і

ч

чі

Числитель

Знаменатель

's t*4l

1

0,69186

0,03391

2,2588

0,6579

1,716

2

0,91682

0,12904

2,8043

0,7878

1'780

3

0,22501

0,70177

— 1,6128

—0,4762

1,694

4

0,95114

0,16021

2,8182

0,7909

1,782

5

0,40837

0,93030

— 1,7569

—0,5219

1,683

весами практически плоха,

если

число

слагаемых велико.

Чтобы

устранить эти

недостатки,

надо

использовать другие плотности

р(Ро, ■■• 1 Рт)> отличные от

(28) (см. [33]). Наиболее подробно изу­

чен случай, когда все точки Q(I),

Q(m* представляют

собой

функции от одной случайной точки Q(0)

(Б. Л. Грановский [20, 21]).

§ 3.

Использование смещенных оценок

Все указанные в гл. 3 и 4 оцеки 0 интеграла

I = U {P)P (Р) dP

(35)

О

N

формулы (20),

требуя,

чтобы

2

и ,/(QOl=

/ для всех

f ( P ) e L 2(G;

р).

И мы

отдали

/=і

традиции в

дань этой

гл. 3, п. 2.4.

как указано в гл. 3,

п.

1.7, при

больших N

Однако,

ко) для практических

целей достаточно требовать толь-

р

>І. В самом

ко, чтобы оценка была состоятельной: 0

деле, обычно порядок дисперсии D0= O((V_I) и берюят-

ная ошибка rN оказывается /> = 0(Л М /2).

В тех случа­

ях, когда смещение

0—I — 0(N~1), ясно, что при боль­

152

ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ (СЛОЖНЫЕ ОЦЕНКИ)

[ГЛ. 4

= І

11—1

p[Qc),

(36)]

t=l

Ѳ,ѵ =

1 у

f (Qi)

N

где Qi, . . .

, Qs — независимые реализации

случайной

точки Q с плотностью р(Р). Сразу видно, что при слож­

ных р(Р) расчет

по формуле

(36)

гораздо

проще, так

как не требуется

разыгрывать точки Qf с этой плот­

ностью.

;

Предположим,

что

|/(Р ) |dP < oo . Тогда по теоре-

(стр. N87)Iѵ величина

N

ме Хинчина

(VgMOS / (Qi) —-» /0,

а величина

(Vq/N) 2

Р (Qi) —■-> І>

когда N -ѵ оо (здесь

Ѵа— объем

1

G).

Следовательно, по

известному

области

154

ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ (СЛОЖНЫЕ ОЦЕНКИ)

[ГЛ. 4

В то же

время

для

0 л, гораздо легче вычислить, математическое

ожидание и дисперсию.

Т е о р е м а

5.

Если

f(P)<=L2(G-, р), y (P )e L 2(G; р)

и Mo (Q) = 1, то

Шы =

І - ^ r

l f { \ - v ) p d P ,

(39)

' v

G

Щѵ =

^ j [/ -

/ (2 -

V))2 p dP +

0

(40)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Для

краткости

обозначим /,=

—/(Qi). Vi=v{Qi). Заметив, что при і фк

величины эти

независимы, запишем

МѲд, = ^

М s

i m = і

N

2 м /.-ми* + 2

м м

фіфІг

і=1

= іѴ-2 [УѴ(ЛУ-

1) М[Ш + УѴМ(fv)].

(41)

= Ä7? М

2 M w ,

л

I,і,к,1=1

§ 31

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СМЕЩЕННЫХ ОЦЕНОК

155

во внимание равенства М/ =/ ,

Ми=1, найдем

выраже­

ние для дисперсии

D0at= N~4 {N (N - 1) ( - 4N +

6) /2 +

+ N ( N - l ) ( N - 2 ) [ M ( f * ) + /2М(и*)] +

+

2N ( N - 1) (N - 4) /М (fv) + N ( M - 2 ) [ M (fv)\2 +

+ N(N — l)[M (Г' ) M (V-) -b 2/M (fv1) + 2M (f2v)j +

+ УѴМ(/V)}.

В этом выражении легко выделить главные члены

D0A, = іѴ-1 { - 4/2 + М (/2) + / ?'М (V1) +

2/M (fv)} +

+ 0 ( N - 2) = /Ѵ-‘М [(/ — 2/

+ / ü)2| + 0(N-t).

теорема доказана.

_

Из (39) видно,

что оценка 0N будет несмещенной для

ной f(P) существует бесконечно много

таких

ѵ(Р), что

j' f ( l - v ) p d P = 0.

Ü

(40) видно,

что если v ( P ) = 2

—f(P)fI, то главный

Из

член

выражения

DO* обращается

в

нуль

и 00*=

ifzif(P) и значение интеграла

Mli(Q) =

j h(P)p(P)dP —

= СфО известно,

то

целесообразно

G

ц= 2—

положить

—Іг(Р)/С.

1

Приме р.

Вычислить

интеграл / =

J

exdx — 1,7183.

Так как

о

h [ x ) = l - ) - x f s e x ,

то

положим

ѵ = 2 —

(2/з)

(1+*) = (2/з) (2—х).

§ 31

! ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СМЕЩЕННЫХ ОЦЕНОК

1 5 7

1

4

s<

,

1

6

е<2>

Ѳіо

I

ѵч

1

чьгч

т

Z

e

+ І 2 Z i e

где

«•=1

1=1

E(l) _

l’l

t(2) _ | + V‘+4

6t-

— 2 »

6£

—

2

Затем две оценки, соответствующие двухэтапным схемам расчета:

7.

Выделение главной части Л = а о (1 + х )

при а0= 1,690

« 10

/ Y

\

Ѳ10 =0,8451 + ± 2

[е

l,6 9 0 v j.

і=1

8.

Существенная

выборка с р = (1 + а пх )/(1 + 0 ,5 а 0) при ао=1,81

ш

ус

Ѳіо =

0,1905 2 '

+

1,816,

'

і=і

где

( у

6,.

=

0,5525

1 +

6,896у,: - і) .

Далее случайная

квадратурная

формула интерполяционного

типа:

у*

°ю —ю Zl

h - ’k

1=1

где для расчета пары 6,,

т),- надо

выбрать три случайных числа у,-,

Ѵ£>7£

и проверить условие

у,- <

— у ,)2. Если это условие вы­

полнено, то£1- = уг, Ti[- = yt-,

в противном случае надо выбрать новую

тройку

случайных чисел.

В

среднем на получение каждой пары

т]£

придется затратить

6

проб.