книги из ГПНТБ / Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло
.pdf1 3 8 |
ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ (СЛОЖНЫЕ ОЦЕНКИ) |
[ГЛ. і |
В реальных задачах дисперсии Df(Q(-’)), как прави ло, заранее неизвестны. Известны лишь вероятности р}. Оказывается, этого уже достаточно, чтобы выбрать N]t обеспечивающие уменьшение дисперсии (т. е. неравенст
во D0)v |
D0,v) ■ |
|
|
|
G = GH-. . .+ G m фик |
||||
Т е о р е м а |
2. Если разбиение |
||||||||
сировано, |
го при |
|
N ,= N P) |
|
|
|
(8) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
величина |
(4) |
не превосходит D0.v. |
|
па р} и просум |
|||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Умножив (5) |
||||||||
мировав по / |
от 1 до /7і, получим |
|
|
|
|
||||
2 P p f m |
= J Г (Р) Р (Р) dP - S |
( 1) Ipj). |
|||||||
/=1 |
|
|
о |
|
|
і=1 |
|
|
|
'Далее |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' m |
\ 2 |
Г |
і ц |
|
|
|
|
|
|
т - 1Д /,) |
= [ Д W K S ) V7, |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
/=! |
/=і |
|
Л |
(/? ір,). |
Следовательно, |
|
|
|
/=і |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
(Q(/)) < |
f г- (Я) Р (Я) dP - |
Р = DZ. |
|||||
;=і |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
Подставив (8) |
в (4), получим выражение |
|
|||||||
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
D0; |.v =Av .= |
(іМ0 2 |
ppfiQM), |
|
|||||
|
|
|
J |
i |
/= 1 |
|
|
|
|
которое в силу предыдущего неравенства не превосходит. [(l/A/)DZ=D0tf. Таким образом теорема доказана.
Теоремы 1 и 2 доказаны в [24] для случая выборки из конечного множества. Если выполнено условие (8), то выборка называется типической.
Вдействительности выбирать /V,- по формуле (7) или
(8)нельзя, так как N, обязаны быть целыми. Обычно выбирают любые из ближайших к (7) или (8) целых чисел, лишь бы удовлетворялось условие (3).
П р и м е р . Чтобы вычислить интеграл
I = \ e*dx
О
§ п МЕТОДЫ С ПОВЫШЕННОЙ СКОРОСТЬЮ СХОДИМОСТИ 139
с помощью Л^= 10'точек, |
разобьем |
(0, 1) |
на две равные части и вы |
||||||||||
берем |
в |
(0, Ѵг) всего 4 |
равномерно |
распределенные |
точки |
а в |
|||||||
('/2, О — 6 |
равномерно |
|
распределенных |
точек fe(2). |
Тогда |
Р\=Р2 = |
|||||||
— 'U, І Ѵ |
і = 4 , |
N 2 = 6 |
II |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
До — г |
2 « р е + т з - и |
рѵп t(2) |
. |
|
||||||
|
|
|
exp |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
S=1 |
|
|
|
s = | |
|
|
||
Дисперсия этой оценки |
DO*0 = (1/16) |
|
|
+ (1/24) De^ \ |
где |
||||||||
(1) |
|
1/2 |
|
/ |
1/2 |
\2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 j |
e 2 x d x — I 2 J |
|
|
= |
e — 1 — 4 ( / e — l)2 = 0,03492, |
|||||||
(2) |
|
1 |
/ |
|
1 |
\2 |
|
|
|
|
|
|
|
De^ |
= |
2 j é2* dx — ( 2 |
f е^Дд: |
= |
e2 — e — 4 (e — ^ ë ) 2 = |
0,09493. |
|||||||
|
|
1/2 |
V |
1/2 |
/ |
|
|
|
|
|
|
||
Следовательно, D01O=0,00614, в то время как дисперсия простейше |
|||||||||||||
го метода D0]0=0,0242. Значения |
|
и |
|
легко |
вычисляются по |
||||||||
формулам |^ = 0 , 5 у |
и |^ = 0 ,5 ( 1 + у ') - |
|
|
|
|
||||||||
1.2. Оценки с повышенной скоростью сходимости. |
|||||||||||||
Пусть |
G — конечная |
область в «-мерном |
пространстве |
||||||||||
переменных Х \ ............хп, |
так |
что |
интеграл |
(1) «-крат |
|||||||||
ный: |
Р = ( х 1, . . |
. , |
xn), |
dP = dx:ь . . |
. , dxn. Рассмотрим |
||||||||
оценку |
0,ѵ |
в случае, |
когда m — N и все Nt= \: |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
Ѳ * = І р / ( < 2 ('>)- |
|
|
О ) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
/=1 |
|
|
|
|
|
|
Обозначим через d} диаметр *) области Gj и предпо ложим, что существуют положительные постоянные С\ и с2 такие, что при всех / = 1,2,. . . , N
Pi ^cJN, |
.(ІО)] |
dj^.c2INUn. (11У
Условия (10) —(II) означают, что все области G} рав номерно малы как по вероятности, так и по геометриче ским размерам.
*) Диаметром области G называется верхняя грань расстояний
между двумя точками этой области:
<4= sup [ P i — Pt \.
Л. /Де<5
140 |
ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ (СЛОЖНЫЕ ОЦЕНКИ) |
[ГЛ. 4 |
Например, если разбить единичный куб
/С"= {0< л ',< 1, . . . , 0< х „ < 1},
в котором р(Р) = 1, па N=M " равновеликих кубов с ребром 1/М (рис. 48), то, очевидно, все р}= \/N, а все
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dj=ynlM. |
|
|
||
|
|
УЬ\- |
|
Sj |
|
Т е о р е м а |
3. |
Предполо- |
|||||
|
|
|
оісим, что функция f(P) |
и все |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
ее частные производные пер |
|||||||
|
|
|
|
|
|
вого порядка дЦдхн непре |
|||||||
|
|
|
|
|
|
рывны |
в G |
и |
при |
всех |
|||
|
|
|
|
|
|
1 ^ |
k ^ |
п |
|
|
|
|
|
|
і |
і+1 |
, |
—^ |
|
|
|
I df/dxh| < |
L. |
|
|
||
|
tZ* |
Если |
|
выполнены |
условия |
||||||||
|
N |
И |
|
' |
и |
||||||||
|
Рис. |
48. |
|
|
|
(10) |
(11), то для диспер |
||||||
сии оценки (9) |
справедливо неравенство |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
m*N^ c 2L2N - ' - 2in, |
|
|
|
(12) |
||||||
где с=пс\с2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
G, |
произволь |
|||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Выберем внутри |
||||||||||||
ную точку 5;= |
(Sj, ............. Sj, „) |
и воспользуемся форму |
|||||||||||
лой Тейлора: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(P) |
= f(Sj) + |
i t |
aitk{xk - s llk), |
|
|
(13) |
||||||
|
|
|
|
|
|
А=1 |
|
|
|
|
|
|
|
где |
аііН— значения |
производных |
|
df/d.x:h |
в |
некоторых |
|||||||
точках (зависящих и от SJt и от Р), |
так что все |
\ah |
|||||||||||
^ L . Из (13) следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
D/(Q«/)) = |
d J j aLk{ l T - s Lk), |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
fe=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
£(/),...,£ п > — координаты |
случайной |
точки |
Qa>. |
|||||||||
|
Воспользуемся известным в теории вероятностей со |
||||||||||||
отношением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
D È |
Уіи< È |
Ѵ Щ ь |
Ä-i |
L*-i |
|
§ I] МЕТОДЫ С ПОВЫШЕННО!"; СКОРОСТЬЮ СХОДИМОСТИ І4І
и запишем цепочку неравенств:
]/D / (QU)) < і |
]Л>[aLk №> - S/.ft)] < |
|
|
|||
|
/г=1 |
|
|
|
|
|
< 2 |
Ѵ М |
[alik (t</> - |
sL,jj2 < |
L У) Y |
M [tiP - |
sLk)2. |
k —l |
|
|
/г=1 |
|
|
|
Tак как |
Q('> c= Gj, то 11*/' — sJifc | ^ |
dj и, |
используя |
(II), |
||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
V D/ (Q</>) < |
L 2 dj < |
LnCtN-4". |
|
||
|
|
|
ft=1 |
|
|
|
Последнее неравенство вместе с (10) позволяет оце нить дисперсию D0,v: из (9)
do; = s |
Р;2 D/(Q(/>) < |
2 {L nc^N -'-W 'f, |
i= 1 |
/= і |
|
откуда следует |
(12). |
|
З а м е ч а н и е . В математической статистике оценки, дисперсии которых убывают быстрее чем ІрѴ, иногда называют сверхэффек тивными.
С помощью теоремы 3 оценим погрешность Ѳ,ѵ — /. Для этого в известном неравенстве Чебышева
|
Р{| л- М л і < л} > і - ( 0 л/л2), |
ѵ |
'(И)' |
||
справедливом при любом / і > 0, положим |
г\ = |
Ѳдг, а Іг= |
|||
= (1/е) Y |
DO,; ,где е > 0 — малое |
число. Получим |
нера |
||
венство |
Р (| О; — / I < (1/е) l^Döyv) > 1 — в2. В силу |
(12) |
|||
тем более имеет место неравенство |
|
|
|
|
|
Р { | Од; — / 1< (cL/e) jV tW2) |
tі/л)j |
1 — |
(jü, |
(15) |
|
которое показывает, что ео сколь угодно большой веро ятностью ошибка Оді ■—/ убывает как Д^—(1/2>—<1/п>, т. е. быстрее чем N~u2.
Конечно, при больших п это ускорение порядка схо димости незначительно. И поэтому на практике оценка ,(9) используется редко.
Теорема 3 впервые была доказана В. Дупачем [120] для случая
G= /<'‘, р(Р) = 1 и разбиения, изображенного на рис. 48. См. также
[1, 128].
М 2 |
ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ (СЛОЖНЫЕ ОЦЕНКИ) |
(ГЛ. 4 |
1.3. Сравнение с квадратурными формулами. Фи сируем произвольные точки Sj^ G j и рассмотрим квад ратурную формулу
/ |
|
Pjf(Sj). |
|
(16) |
|
Для того чтобы оцепить ее погрешность, умножим |
(13) |
||||
на р(Р) и проинтегрируем по G} |
|
|
|||
ij = Pjf(Sj)+ É |
,f |
Oj,k (Xk — Sj k) p (P) dp. |
(17) |
||
fc=i |
GJ |
|
|
|
|
Интеграл, стоящий справа, |
легко оценить с помощью |
||||
(10) и (11): |
|
|
|
|
|
[ й /,/;(Xk — Sjtk) р dP |
|
LdjPj |
LqcoT/-1“ 1". |
|
|
а |
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
Суммируя равенства (17) |
по / от |
1 до N и используя |
|||
последнюю оценку, получим, |
что в условиях теоремы 3 |
||||
i - Z p i H S j ) |
<cLAM/n. |
(18) |
|||
/=1 |
|
|
|
|
|
Сравнение (15) и (18) показывает, что порядок ве роятностной оценки погрешности (15) на N-'!l лучше, чем порядок оценки (18). Это не случайность. Следует под черкнуть различный характер обеих оценок: оценка (18) справедлива одновременно для всех функций рассмат риваемого класса D\(L) — с непрерывными частными производными \df/dxk\^. L\ можно переписать ее в виде
sup |
f f ( P ) p ( P ) d P ~ y t pjn S j) < cLjV-> ". |
|
/SD,(L) G |
/=1 |
|
В то же время неравенство |
(15) справедливо для одной |
|
функции f(P) |
(хотя и любой) |
из Di{L). |
Вопрос о иаилучших порядках сходимости квадра |
||
турных формул, в которых используются значения f(P) в N заданных точках, и недетерминированных методов вычисления интегралов, в которых используются значе ния f(P) в N случайных точках, исследовался Н. С. Бах-
§ 2] |
СЛУЧАЙНЫЕ КВАДРАТУРНЫЕ |
ФОРМУЛЫ |
143 |
|
|
валовым [2]. Для некоторых классов функции, задан ных в К", оказалось, что если наилучший порядок схо димости квадратурных формул (на рассматриваемом классе) равен N~a, то можно построить недетерминиро ванный метод интегрирования, порядок сходимости ко торого (для каждой функции класса) будет с большой вероятностью равен М~а~и2. И этот порядок сходимости тоже является иаилучшим. (См. упражнение 1 на стр. 159).
Практического применения такие недетерминирован ные методы интегрирования пока не имеют, вероятно, из-за того, что сами многомерные квадратурные форму лы, па базе которых должны строиться эти методы, дос таточно сложны.
Другой подход к оценкам с повышенной скоростью сходимости использован в [85], где для некоторых классов функций доказано, что если имеется семейство квадратурных формул с порядком схо
димости, равным N ~ a, 0 < а ^ 1 (на рассматриваемом классе), то,
выбрав подынтегральную функцию из этого класса случайно, можно с большой вероятностью гарантировать для нее порядок сходимости
Л/—а —1,2; если а + Ѵ г ^ 1 и /V- 1 , если а + '/г ^ 1.
§2. Случайные квадратурные формулы
2.1.Случайные квадратурные формулы. Обычн квадратурной формулой для вычисления интегралов
вида
I = \ j {P)p{P) dP
|
|
а |
|
при фиксированной |
функции р(Р) |
называют выражение |
|
|
/ ~ І с / ( Р , . ) , |
(19) |
|
|
|
/=1 |
|
где и узлы Р1, . . . |
, |
и веса Сь .- . . , CNзаданьи |
|
Естественно назвать случайной квадратурной формулой
выражение
/ « 2 W ( q(/)). |
’(2оу |
/=1 |
|
где Q<n, . . . , |
QiN) — случайные |
точки, определенные в |
G (случайные |
узлы), а хі............ |
xN— случайные ска |
лярные величины (случайные веса).
144 |
ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ (СЛОЖНЫЕ ОЦЕНКИ) |
[ГЛ. 4 |
|
Рассмотренные в § 1 оценки (2) и (9) представляют |
|
собой частные случаи суммы (20) с фиксированными (не
случайными) |
весами. |
|
Другой класс случайных квадратурных формул, в ко |
||
торых веса |
Kj являются функциями |
от узлов %j= |
= К](Qn>, |
QiN)), был построен С. |
М. Ермаковым и |
В. Г. Золотухиным [34], использовавшими структуру ин терполяционных квадратурных формул, точных для за
данной |
системы функций ф 0 ( Р ) , |
ф і ( Р ) , - ■ ■ , С Р т ( Р ) - |
2.2. |
Некоторые свойства |
интерполяционных квадр |
турных формул. Рассмотрим произвольную п-мерную область G. Все функции будем считать кусочно непре рывными п принадлежащими L2(G; 1). Выберем систе
му |
ортомормированпых |
функций ф о ( ^ ) , |
ф і ( Р ) , |
• • • |
. . . |
, ф , „ ( Я ) так, что |
|
|
|
|
fф/г (Р) ф j(P) dP = б * /.’ |
|
|
|
|
а |
|
|
|
Для приближенной оценки интеграла' |
|
|
||
|
/ = .f/OP) Фо (P)dP |
|
(21) |
|
|
а |
|
|
|
рассмотрим квадратурную формулу |
|
|
||
|
т |
|
|
|
|
|
Cjf(Pj). |
|
(22) |
|
l=o |
|
|
|
Фиксируем произвольные |
различные узлы |
Ро, Р\, • |
■■, Рт |
|
и выберем веса Со, Сь . . . , Сттак, чтобы эта формула была точной для функций f=q>o(P), f=cpi(P), . . . , f =
= Ч>т(Р).
Полученную при таком выборе формулу (22) удобно
записать в форме отношения двух определителей |
|
||
’о >• • ■>Рm)/W%{Р0, • ■. . Рт), |
(23) |
||
где по определению |
|
|
|
§ (Ро) |
Фі (^о ) |
• • • фт ( Р о) |
|
W J P 0........Рт) = g(Pl) |
Ф і ( Л ) |
Фш (Pi) • |
(24) |
§ (Рт) |
фі {Рш) |
• • • фш (Рт) |
|
§ 2] |
СЛУЧАЙНЫЕ КВАДРАТУРНЫЕ |
ФОРМУЛЫ |
145 |
|
В самом |
деле, если в (23) |
подставить f= |
при |
|
г^ /г^ т , то в определителе W7ф |
(Р0, |
■. . , Рт) |
окажутся |
|
два совпадающих столбца и он обратится в нуль; в этом
случае 1= |
J ср;- (Р) (ро (Р) dP — 0. Если |
же |
f=cpo, то чис- |
|||||
|
|
в |
|
|
совпадут, но в этом случае |
|||
литель и знаменатель в (23) |
||||||||
/ = |
J сро (P)dP— 1. |
Единственное ограничение примени- |
||||||
|
о |
|
(23) — это требование, чтобы Іі7фо(Р0, • -. |
|||||
мости формулы |
||||||||
. . . , |
Рт) =й=0. Если оно выполнено, то формула точна для |
|||||||
любых линейных комбинаций |
вида |
/ = а 0фо(Р)+ . |
• •+■ |
|||||
+а,„ф„,(Р), |
и поэтому представляет |
собой в каком-то |
||||||
смысле «разумную» квадратурную формулу. |
|
|||||||
Л е м м а |
1. Пусть ф0(Р), |
Ф і ( Р ) , |
• • • |
, ф т(Р )— лю |
||||
бая |
совокупность |
ортонормированных |
функций |
в G. |
||||
Тогда |
f ... |
|
|
|
|
|
(25) |
|
|
|
\ w l i P 0. . . dPm = ( m + l ) \ |
||||||
|
|
о |
а |
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о проведем индукцией по т. При
т = 2 |
|
Фи ( Р о ) |
Фі ( Р о ) |
WVo(Po> Рх) |
Фх (Рх) |
Фо (Pi) |
|
Отсюда |
|
Wl0= фо (Р0) ФІ (Pi) — 2фо (Ро) Фх (Ро) Фо (Pi) Фх (Pi) +
+ Фо (Pi) Фі (Po).
И
I" [ WqadPüdPу = 1 + 1 = 2.
Gb
Допустим теперь, что для определителей порядка т формула (25) справедлива и интеграл равен т\ Рас смотрим определитель (/п-|-1)-го порядка И7фо(Ро, . . .
, . . , Рт) и разложим его по элементам первой строки:
ф„ (Р,) ...Ф |
у—1 |
(Рі) Ф. , . (Р.) |
... ф т (Р|) |
|
у+1 |
т |
WФо |
2 |
( - і )'ф)(Л>) |
|
/=* |
* (; т):'’ Ѵ І (Хп) ЧѴі (РтУ ':М Рт) |
|
|
(2 6 ) ' |
}0 М. Соболи»
146 |
ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ (СЛОЖНЫЕ ОЦЕНКИ) |
ІГЛ. |
4 |
Нетрудно заметить, что каждый из определителей |
в |
||
(26) |
есть определитель типа WФо порядка т: его столб |
||
цы образованы значениями т ортонормированпых функ ций в т независимых точках. Согласно индукционному допущению
Фо (р і) ••• Ф /_ ! (р і) ф; + 1 (р і) . . . Ф т (р і)
dPx. .. dPm — m\
%(Рт)-Ф/-1 (р т) ф/+1(Рт ) - фш’(Рш)
Поэтому, возведя (26) в квадрат и проинтегрировав ^сперва по Р0, затем по Р\, . . . , Р,„), получим
! . . . S w l ß p 0 . . . d p r. = 2 |
IФ/ (Р0) dP0tnl = {т + |
1)! |
|
/=о о |
|
|
|
Л е м м а 2. Пусть сро(Л), |
фі {Р), . . ѵ , срга (Р), ф(Р) |
— |
|
любая совокупность ортонормированпых функций |
в |
G. |
|
Тогда |
|
|
|
S... SW'faW#iP0 . . . d P m = 0.
оа
Д о к а з а т е л ь с т в о . Выберем новую функцию ф==' = (] /2/2)[фо(Р )+ ф (Р )], которая также ортогональна ко всем ф, (/>), . . . , фш(Л) и нормирована:
іф 2 (Р) dP = U ^ l d P |
+ 2 .[ |
ф0ф dP + { \\>2dP |
|
а |
г Іо |
G |
О |
По известным правилам действий с определителями
1РФ= (К 2/2) (Г Фо + W*),
так, что
Проинтегрировав это равенство по всем переменным и использовав лемму 1, получим, что
(т |
+ 1)! = |
|
= |
-в" -[(га ■+ 1) I + |
2 J ... { IFф„WtydP0 ... dPm -ф (m -)- 1)! , |
|
Z I |
O G |
откуда вытекгет утверждение леммы 2.
§ 21 |
СЛУЧАЙНЫЕ |
КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ |
|
147 |
|||||||||||
|
2.3. |
Случайные интерполяционные квадратурные фо |
|||||||||||||
мулы. Обозначим для краткости |
п (m-f-1)-мерную |
об |
|||||||||||||
ласть, |
точки |
которой |
Т— (Р0, Р ь |
. . . , |
Р,„), через |
В = |
|||||||||
==GX. . -XG |
и пусть |
dT=d P0dPi . . .dPm. Пусть |
да |
||||||||||||
лее В0— множество точек Т, в которых |
U7Vo = 0, |
а В+= |
|||||||||||||
= В - В 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
в |
Определим |
случайные |
точки |
Q<0), |
. . . , |
Q(m) |
в |
G и |
|||||||
качестве оценки |
интеграла |
(21) |
рассмотрим |
случай |
|||||||||||
ную величину |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Wf (Q(0), .... Q(m)) |
|
если |
(Q(0|,...,Q M)eß+, |
||||||||||
0 [Л = |
U%o(Q(0), ...,Q (m)) ’ |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
0, |
|
|
|
если |
(Q(0), . .. , Q(m,)& 80. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(27), |
|
|
Т е о р е м а |
4. Если |
совместная |
плотность pacnpeoe-, |
|||||||||||
ления случайных точек Q(0), . . . , |
Q(m) |
в В равна |
|
||||||||||||
|
Р (Л,- • • • >Рпі) — (nl j_ |
|jj [W^ (Р0, . -., Рm)]2j |
(28) |
||||||||||||
то для любой функции f(P) |
из L2{G\ 1) |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
МѲ [/] = .f/ |
(Р) ф0 (Р) dP, |
|
|
(29) |
||||||||
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
DO [/] < |
J /2 (Р) dP - |
2 |
ГI |
f (P) Ф/ (P) dP |
|
(30) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
i=o Iо |
|
|
|
|
|
|
||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Выберем произвольную |
конеч |
||||||||||||
ную функцию f(P) |
из L2(G; |
1) |
и обозначим через Cj-ee |
||||||||||||
коэффициенты Фурье с; = |
\ / (Р) ср;- (Р) dP. Пусть |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а2 = J / (Р) - 2 с/ф/ (Р) |
|
dP = Г/a(Р) dP - 2 4 |
|
|||||||||||
|
|
G L |
/ = 0 |
|
|
|
|
|
G . |
|
/= 0 |
|
|||
Если |
а2=/=0, |
то, |
введя |
функцию |
ф = |
(1/а) [/(Р) — |
|||||||||
__ |
111 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
ФФ/ (73) |
получим представление |
|
|
|
|
|||||||||
|
_1 |
|
|
|
|
||||||||||
|
/=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
/(Р) = 2 |
Ф Ф /(Р)+аф(Р). |
|
|
(31) |
||||||||
|
|
|
|
/=о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
10