книги из ГПНТБ / Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло

рин не зависит. Таким образом, каждая серия может с вероятностью

тельных тестов следует в первую очередь рекомендовать проверку частот независимых троек езл+іезл+гезл+з. затем четверок е^-це-и+ге^+зб^-и и т. д.— основания для такой рекомендации приведены в § 4 гл. 7. Так как количест­ во различных троек, четверок и т. д. весьма велико (ІО3, ІО4, ...), то подсчет всех типов групп имеет смысл проводить лишь для достаточно больших N. При мень­ ших N группы можно объединять по различным приз­ накам. Например, при упомянутой выше проверке ком­ бинаций четверки eÄ+i ... ей+4 классифицируются по количеству совпадающих цифр в группе (признак, на­ поминающий комбинации при игре в покер).

Во многих работах предлагаются различные допол­ нительные тесты. Имеет место даже чрезмерное увле­ чение такими тестами. Несмотря на справедливость принципа «каши маслом не испортишь», надо четко представлять себе, что все такие тесты только необхо­ димы. Положительный результат любого теста означает только, что этот результат не противоречит гипотезе

3.3.Проверка псевдослучайных чисел. В качеств

Чі, ..., "f.v можно осуществить с помощью критерия со2. Если расположить эти числа в вариационный ряд

то из (20) вытекает, что

Однако, как уже отмечалось в п. 3.1.4, при очень боль­ ших N построение вариационного ряда весьма трудо­ емко.

Естественно, что при проверке псевдослучайных чи­ сел всегда используют различные дополнительные тесты для проверки последующих десятичных цифр ун. Иногда десятичные (пли двоичные) цифры чисел у,, выделяют и проверяют независимо. Конечно, лучше было бы ис­ пользовать тесты п. 3.2 с более мелким разбиением, по уже при совместной проверке двух десятичных цифр пришлось бы вычислять матрицу (ѵ(і) размером 100Х Х100. Поэтому на практике ограничиваются более про­ стыми проверками, и далекие цифры чисел ул обычно оказываются хуже проверенными.

В пользу указанной системытестов можно привести аргумент практического характера: в литературе, пожа­ луй, пет примеров, когда числа, удовлетворяющие всем

тесты придумывать!...

§ 31 с т а т и с т и ч е с к а я п р о в е р к а с л у ч а й н ы х ч и с е л 41

тестам, оказались бы непригодными для решения кон­ кретной задачи (в которой не предъявлялись повышен­ ные требования к точности решения); есть, однако, при­ меры неудачных расчетов с помощью чисел, которые не удовлетворяли одному из тестов. В частности, из-за того, что числа, упомянутые в п. 2.2.4, не удовлетворя­ ли тесту проверки пар, плохо моделировалось нормаль­ ное распределение.

Таким образом, строго говоря, разумность приведен­ ной системы тестов — факт эмпирический. В действи­ тельности эти тесты не гарантируют универсальной при­ годности чисел. Поэтому иногда целесообразно вводить дополнительные тесты, связанные с характером решае­ мых задач. Впрочем, успешное решение нужной зада­ чи— самая лучшая проверка случайных чисел.

3.4. О проверке датчиков случайных чисел. Для про­ верки чисел, выдаваемых датчиком, можно использовать те же тесты, что и для проверки псевдослучайных чисел. Особенность проверки датчиков в том, что проверяют­ ся не те числа, которые используются в счете. Поэтому, кроме проверки «качества» выдаваемых чисел, должна еще как-то гарантироваться устойчивость работы дат­ чика.

Мы не будем' останавливаться на технических спосо­ бах' контроля. Отметим только, что обычно расчет те­ стов, вроде рассмотренных в пп. 3.2 и 3.3, проводят и до, п после расчета нужной задачи, если она не слиш­ ком продолжительна во времени.

3.5. О проверке больших массивов случайных чисел. Так как в расчетах часто используется не вся таблица, а только часть ее, то имеет смысл проверить также части таблицы. Например, таблицу, содержащую N цифр, разбивают на s частей по N\ = N/s цифр и про­

веряют каждую из этих частей. Если s > 5 0 , то вполне вероятно сре­ ди значений X%t, соответствующих одному (какому-нибудь) крите­

рию, встретить значение, отвечающее Р < 0,01 . Это не означает, что вся таблица плоха: ' просто данную часть не надо использовать как

с теоретическим распределением у} для данного критерия. Такая про­

42 ПОЛУЧЕНИЕ СЛУЧЛПНЫХ ВЕЛИЧИИ ИЛ ЭВМ [ГЛ [

Некоторые .шторы предлагают использовать такую проверку таблицы по мастям вместо проверки таблицы как целого. К сожале­

каждого из критериев хорошо согласовалось с теоретическим распре­

дующее объяснение. Можно предположить, что рассматриваемая по­ следовательность цифр имеет распределение, несколько отличающее­ ся от равномерного, но для расчета по N\ цифрам такое отличие

допустимо. Отсюда не следует, что это отличие по-прежнему будет допустимым для расчета, в котором используются /Ѵ>/Ѵ, цифр. Наоборот, если увеличение количества цифр вызвано желанием уве­ личить точность расчета, то ясно, что при достаточно большом N

отличие это станет недопустимым.

Итак, к большим массивам случайных цифр (или чисел) предъ­ являются большие требования. Этот факт хорошо известен практи­ кам: подобрать хорошую псевдослучайную последовательность, со­ держащую 103— ІО4 чисел, гораздо проще, чем подобрать такую же последовательность, содержащую ІО5— 10° чисел*).

Это следует иметь в виду также при проверке датчиков случай­

ровать последовательность независимых испытаний, в каждом из ко­

торых вероятность наступления некоторого события А равна

Р{А} =0,752?

3. Предположим, что количество ѵ элементарных частиц, попа­ дающих в детектор за время At, подчиняется распределению Пуас­

На этом принципе построены некоторые датчики случайных цифр.

мянутое в тексте повышение требований к большим массивам слу­ чайных чисел, если требовать, чтобы погрешности, фигурирующие в

этих формулах, убывали как 1 / У N-

что в два раза больше, чем при равномерном распределении. Так как

результат в какой-то мере объясняет, почему в методе середины

летворяет моноцнклпческому уравнению (13), то при каждом s та­

У к а з а и и е. Доказать сначала это для s = r.

8.В качестве меры отклонения Fn (X) от F(x) (см. п. 3.1.4)

Для практической реализации формулы (2) Р|ІС- ,4- удобно в накопителе ЭВМ расположить подряд значе­

ляк [69]).

1.1.2.Расчет по формуле (2) заметно упрощается

личину, которая может принимать бесконечную после­

В этом случае числа х„ н рп задаются формулами, и вычисление их при каждом расчете £ может оказаться весьма трудоемким. Тогда можно выбрать число /?0так,

заготовить заранее. Вычислять х( и pt по формулам при­ дется только при і>п„, а это будет достаточно редко.

1.2. Моделирование случайных событий. Моделиров ние случайных событий сводится к моделированию дискретных случайных величин. Чтобы показать, как это делается, рассмотрим четыре задачи, в каждой из которых требуется моделировать последовательность одинаковых независимых испытаний.

1.2.1. В каждом из испытаний может наступить и не наступить некоторое событие А, вероятность наступ­ ления которого Р{ А}=р задана.

Рассмотрим случайную величину £, называемую ин­ дикатором события А, которая равна 1 при наступлении

А и 0 при наступлении противоположного события Л. Распределение %задается таблицей

Согласно теореме 1 для осуществления каждого испы­ тания надо найти случайное число у и проверить нера­

тие и Af-Aj = 0 при 1# / .

Очевидно, распределение | выражается таблицей

Для осуществления каждого испытания надо выбрать случайное число у п по теореме 1 разыграть значение Если \ = і, то произошло событие Аіщ

П р и м е р. Столкнувшись с ядром атома урана, нейтрон может рассеяться, быть захваченным пли вызвать деление ядра. Если через

2 , / 2 < У < ( 2 / 2 ) + ( 2 / 2 ) , то нейтрон поглотился; е с л и ( 2 / 2 ) +

+( 2 / 2 ) то нейтрон вызвал деление ядра.

1.2.3.С испытанием связаны два независимых совместных собы­ тия А п В, вероятности которых заданы; Р {Л} = рАу Р {В} = РВ.

Ввиду независимости событий А и В можно последовательно

моделировать их наступление в каждом испытании: сперва по числу Yi методом п. 1.2.1 определить, наступило ли событие А, а затем точно также по числу у2 определить, наступило ли событие В.

Однако часто более экономен другой способ. Рассмотрим полную группу попарно несовместных событий, состоящую из четырех со­

ное число у. определить, какой из этих четырех исходов наступил в моделируемом испытании.

Рі ~ Р а в >Р а= Ра — Ра в ' Рз = Рв — Ра в ’ Pi = ^ Ра P ß + рa b .

Впрочем, н в этом случае можно осуществить последовательное моделирование событий А и В, используя два случайных числа