книги из ГПНТБ / Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло
.pdf1 6 8 |
РЕШЕНИЕ ЛПНЕПНЫХ УРАВНЕНИЙ |
|
[ГЛ. |
5 |
||
функцию а(Р), удовлетворяющую в G условию |
|
|
||||
|
0< а (Я ) < 1. |
|
|
|
||
Пусть |
s(P) = l—а(Р), а плотности р(Р) |
и р{Р, Р') |
— |
|||
такие же, как в п. 1.2. |
|
|
|
|
|
|
Определим в G траектории f v |
случайной длины ѵ |
|
||||
|
Т ѵ = ( Qo - * ■ Qi |
- > Qv) |
|
|
|
|
по следующим правилам: |
в соответствии с плотностью |
|||||
а) |
точка Qо выбирается |
|||||
Р(Р). |
в точке Qi (где / = 0, |
1, ...) |
траектория с вероят |
|||
б) |
||||||
ностью a(Qj) заканчивается и с вероятностью s(Qt) |
про |
|||||
должается; |
|
|
то точка |
Q,+i |
||
в) |
если траектория не заканчивается, |
|||||
выбирается в соответствии с плотностью p(Qs, Р).
Естественно назвать а(Р) вероятностью поглощения
случайной точки в точке Р и s ( P) — вероятностью рас сеяния этой точки.
Вероятность получить і-звенную траекторию Гѵ с со ответствующими вершинами, расположенными в окрест ностях точек Ро, Р.......... Ри равна произведению
р (Р0) dPüs (Р0) П р (Р ,- ь Р,) dPjS (Pi) р (Рі_ ь Pi)dPia(Pi).
/=1
Введем обозначение
Pi (Р0, ...,P t) = p (Р0) fl s (Pi-0 p (Pi- j, Pt) a (Pi); (15) /=і
тогда вероятность получить t'-звенную траекторию Тѵ равна
Р{ѵ = і}= J . . . |
Jpi(P 0, ... , Pt)dPо ...dPi. |
a |
a |
Запишем также условную плотность вероятностей тра ектории Тѵ при условии, что ѵ— і:
рѵ (Р0, . . Рі\ѵ = і) = pt (P0, . .. , Pi)/P {V = i}.
Вдоль траектории f v рассмотрим функции (Р, (веса), определенные (для /^ ѵ ) рекуррентной формулой
= 1 ■ W, = 1[/( (Q/-i, QO/s (Qi—0 p (Qi-^u Qi)\- (16)
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ |
169 |
|
Сравнивая (16) с (5), легко заметить, что |
|
|
W, (Я0........Р,) = |
(Р0, ... , Р,) s (Р0) . . . s |
(17) |
Обозначим через Ѳ,[т|>] случайную величину |
|
|
Ѳ< !Ф1 = [ф Ш / Р (Qo)l Wt [cp (Qi)/a (Qf)]. |
(18) |
|
Т е о р е м а 2. Если условия, |
перечисленные в начале |
п. 1.2, выполнены, то условное |
математическое ожида |
ние величины Ѳ,[ф] равно |
|
|
|
|
М {0£ [ф||ѵ = і} = |
(ф, К1ф)/Р {ѵ = і}. |
(19)] |
||
Д о к а з а т е л ь с т в о . По определению |
|
|
||
М {0,- [ф]|ѵ = |
і} = J ....[ 0£ [ф] рѵ(Qo, . . . . Qi|v = |
і) dQ0 ... |
||
|
I |
dQo • ■■dQt |
|
|
•.. d Q i = j |
... j Ф (Q0) П |
|
||
К ( Q i - i , Q i ) ф (Q i ) P (v= i) |
' |
|||
|
/=i |
|
|
|
|
|
|
(Ф , / < V ) |
|
|
|
|
P ( v = |
ІГ |
Теорема 2 позволяет сформулировать метод Монте-
Карло для расчета (ф, /(Чр) с помощью траекторий Тѵ. В самом деле, реализовав N таких траекторий, получим среди них Ni траекторий, состоящих из і звеньев. Оче видно,
N,INttP{v = i}.
А из (19) вытекает, что
(Ф. Д » |
Ni |
(20)! |
|
s—1 |
где О,-[ф]. — значение Ѳ,[ф] на s-й траектории (из числа і-звенных траекторий). Заметим, что последнюю фор мулу можно заменить формулой
N, |
|
(Ф. к 1ф) ~ дг Е 0. [ФЬ- |
( 21), |
S—1 |
|
1.5. Сравнение точности оценок (8) и (20). В оценке (8) осредняются значения случайной величины Ѳ,- [г))], математическое ожида
ние которой равно (ф ,/(?ф). В (20) осредняются значения случайной
170 РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. 5
величины і,-= Р {ѵ = і}0 |
£ |
[ф], |
условное математическое ожидание |
которой равно также(ф, |
К'ц). |
Для того чтобы сравнит)) дисперсии |
|
этих величин, достаточно |
сравнить математические ожидания их |
||
квадратов. В первом случае |
|
|
|
|
|||
т ] Іф] = |
J . . . |
Уо? [ф] Р ( (Qo......... |
Q() dQ0 |
... dQ(, |
(22) |
||
|
|
G G |
|
|
4 |
|
|
a do втором |
|
|
|
|
|
|
|
M {I? |v = i) = |
f . |
. . f |
(Qu |
..........Q,|v = |
I) dQ0 ... |
dQ[ = |
|
|
G |
G |
|
|
|
|
|
= |
P (V = i) |
f . . . |
. Го ? [ф] p . |
(Qg, . . . , |
Q.) dQg . . . |
dQr |
|
GG
Спомощью формул (3), (6) и (I5), (IS), приняв во внимание соот
ношение (17), нетрудно проверить, что имеет место тождество
|
о? т Рі |
= 0 ? |
l'b'Ü s (Qo) |
• ■• 5 (<?,_,) а (Ql). |
|
(23) |
||
Используем |
(23), |
чтобы |
преобразовать последнее выражение |
для |
||||
М(|2.|ѵ = і] |
= |
f ... j Of [»Мл», Р {у = |
П ‘(Qo • |
<iQi |
(24) |
|||
|
|
|
|
|
s (Qo) |
s ( Q i_ i) |
a (Qj)’ |
|
Вообще |
говоря, |
выражение (24) |
может быть как меньше, |
так и |
||||
больше, чем (22). Однако в весьма важном частном случае, когда
поглощение |
постоянно во |
всей области G пли, |
другими словами, |
а ( Р ) = а , эти выражения |
равны. В самом деле, в этом случае |
||
р {V = |
І) = as1 Г . . |
УРі (/>„, . . . , Pi) dP0 . . . |
dPi =- |
GG
идробь, стоящая в (24), равна dQ0 . . . dQ-, Следовательно, в случае a(P)s=a дисперсии равны
DO,- m = D{yv=i}.
Для того чтобы количество слагаемых в формулах (8) и (20) было одинаковым и равнялось /V*, в первом случае надо построить /Ѵ = = N* траекторий типа Г,-, а во втором случае, чтобы W,-= /V *, надо
построить |
в среднем |
N*/P{v = i } > N * траекторий |
типа |
7’ѵ . Таким |
|||
образом, |
оценка (20) |
для |
(ф, К 1ср) |
оказывается |
менее |
выгодной. |
|
На различных |
других |
оценках |
величины (ф, К 1ф) мы останав |
||||
ливаться |
не будем. |
Кроме случайных траекторий типа Т { и Тѵ, воз |
|||||
можны и другие типы траекторий. Например, «поглощение» может происходить при пересечении некоторых заранее заданных линий или зависеть только от направления звена траектории и т. п.
§ 21 |
н е о д н о р о д н ы й и н т е г р а л ь н ы е у р а в н е н и я |
171 |
§2. Неоднородные интегральные уравнения
2.1.Постановка задачи. Ряд Неймана. Рассмотрим интегральное уравнение
г (Р ) = .Г К (Р, |
Р') г (P')dP' -I- / |
(Р), |
|
G |
|
|
|
которое с учетом (1) можно записать в виде |
|||
z= K z+ f. |
|
(25) |
|
Здесь z ( P ) — искомая |
функция, |
К(Р, |
Р ') — заданная |
функция, называемая ядром уравнения, |
f ( P ) — задан |
||
ная функция (свободный член). |
К(Р, |
P ') ^ L 2{G'X_G). |
|
Предположим, что f ( P ) ^ L 2(G), |
|||
Можно попытаться искать решение методом последова
тельных приближений. Пусть z<0) = |
cp( Р ) — произволь |
|
ная функция из Lo{G). Пусть далее |
при і— \, |
2, ... |
z ^ = Kzl,~u+f. |
|
(26); |
-Нетрудно вычислить, что |
|
|
г«'1= f + K f + . . . +Д'<І- 1)/+/СІФ. |
(27) |
|
Последовательные приближения г(0 сходятся при г—ѵоо к решению z уравнения (25) тогда п только тогда, когда это решение представимо в виде ряда Неймана
|
|
2 = |
NJ А''/- |
|
|
(28) |
|
|
|
|
і=0 |
|
|
|
|
Условия |
сходимости ряда |
Неймана |
имеются, |
например, |
|||
в [63]. |
|
|
|
|
|
|
|
В частности, если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П / О Ч М P ’) d P d P ’ < 1, |
|
|
|||
|
а а |
|
|
|
|
|
|
то ряд (28) |
сходится в среднем: |
|
|
|
|
|
|
: |
lim [ z - ^ / C V , |
г - |
‘Ѵ |
А,''/ = |
0. |
• |
|
|
^ |
і=о |
|
і=0 |
У |
’ |
|
Если, кроме того, для |
всех P e S s G |
|
|
|
|
||
|
|
[ К 2 (Р, P') dP' |
< С, |
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
то ряд (28) |
сходится абсолютно и равномерно в В. |
|
|
||||
1 7 2 РЕШЕНИЕ ЛІІНЕПНЫХ УРАВНЕНИЙ |ГЛ 5
Л е м м |
а. |
Если |
ряд |
(28) |
сходится |
в |
среднем, |
то для |
любой |
||||||
функции і|і(Л) |
из Li{G) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
lim |
И J, |
2 |
|
К '/) = |
№> г)- |
|
|
|||
|
|
|
|
|
т-*« |
V |
|
і=о |
/ |
|
|
|
|
||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Рассмотрим |
разность |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
[ |
|
|
т |
|
. \ |
I |
|
,п |
|
|
|
|
(Ф, г) — ( Ф. Д ] А'7 1 = (ф> z — 2 А г/ |
|
|
|||||||||||
Из неравенства |
(1) на стр. 292 следует, что |
|
|
||||||||||||
|
|
т |
|
\ 2 |
|
|
|
/ |
|
/'1 |
|
го |
|
|
|
ф, |
г - |
V |
|
к-if |
< |
(ф, |
ф) |
\ |
г - |
V |
/Сг/', г - V |
/<г/ ) _ |
0, |
||
|
|
1=0 |
/ |
|
|
|
|
|
і=0 |
|
1=0 |
|
|||
когда |
т |
с». |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формулы |
|
(27) |
и |
|
(28) |
показывают, что |
вычисление |
||||||||
2(і) или 2 сводится к вычислению суммы итерирован ных функций.
2.2. Оценка линейных функционалов от Z (i). Резул таты § 1 позволяют указать методы Монте-Карло для вычисления скалярных произведений (ф, z(i>), где ф(Р) — любая заданная функция из L2(G).
В самом деле, рассмотрим случайные траектории Т{,
определение которых дано в п. |
1.2, и введем случай |
||||
ные величины £і[ф], |
зависящие |
от таких |
траекторий: |
||
h |
№1 |
№ ) |
SV //(Q /) |
■T ^ іф ( Q i ) |
(29); |
|
|||||
|
|
p (Qo) L=o |
|
|
|
'(При г = 0 |
полагать |
квадратную |
скобку в |
(29) равной |
|
WVp(Qo).)
Легко доказать, что математическое ожидание этих
величин равно |
|
М£,-[ф] = (ф. 2<‘>), |
(30); |
ибо каждое слагаемое в (29) — это величина типа Ѳ,[тр] з
МЕ,[.и - 2 М{K g «V Ш ] + м {ig j Wtt {«,)] -
*= 2 (Ф. к 1!) + (Ф. К'ф) = (Ф,
1 -0
§ 2] -НЕОДНОРОДНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 173
Соответствующий (30) метод Монте-Карло: |
|
|
1 N |
o n |
|
(ч |
ш ь , |
|
ІѴ |
s = 1 |
|
где £,[ф]а— значение ^,-[г|>] |
на s-й траектории. |
|
Очевидно, по одним и тем же траекториям типа Т{ |
||
можно вычислять значения |
(ф, г и>) для |
нескольких |
функций ф(Р) и даже для нескольких уравнений (25) — с одним и тем же ядром К(Р, Р'), но с разными f(P). Сами значения zU)(P) можно вычислять любым из трех методов, указанных в п. 1.3. Если ряд Неймана
(28) сходится, то при достаточно больших |
і значения |
(Ф, 2<0) могут служить приближениями к (ф, |
z). |
2.3.Метод существенной выборки для траекторий Г
Впредыдущем пункте рассматривались траектории Tit построенные по произвольным допустимым р(Р) и р(Р, Р'), но не было никаких указаний па то, как лучше вы бирать эти плотности. Однако от их выбора зависят дисперсии D^,[ор], определяющие точность метода Мон те-Карло (31). Особенно нежелательна большая диспер сия тогда, когда начальное приближение z(0)= cp(P) близко к точному решению z(P), так как можно «ис портить» это приближение.
Если функция zu,(P) известна, и интеграл (ф, zU))
вычисляется с помощью существенной выборки (гл. 3, п. 3.2), то минимальная дисперсия такой оценки, соглас но теореме 3 гл. 3, равна
Di = (|Ф|, \гЩ)й - |
(ф, г</>)2. |
(32) |
|
Т е о р е м а 3. |
Предположим, что ядро |
уравнения |
|
(25) и его решение неотрицательны |
|
||
К(Р, Р ' ) > о, |
2 (Р )> о , |
|
|
а траектории Т{ строятся с начальной плотностью |
|||
р(Р) = |ф(Р) |ф (Р)/(|ф |, ср) |
(33); |
||
и с плотностью вероятностей перехода |
|
||
р(Р, |
Р ')= К (Р, Р')(р(Р')ІК<р(Р). |
(34) |
|
Если начальное приближение ср(Р) равно решению z(P),
то при любом / = 0, 1, 2, . . . , і
D£/ [ ф] = Dp |
(35), |
174 РЕШЕНИЕ Л 1111ЕПНЫХ УРАВНЕНИИ [ГЛ. 5
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Если |
ср = |
/Сср-|-/ и выполнено |
||||
равенство |
(34), |
то |
|
|
|
|
|
|
£і[ф] = |
|
|
|
|
Q i) Ф( Q i ) / р (Qo, Q i ) ] |
|
||
= |
['l’ (Q o )/ р (Q c )] [/(Q u )“l~/v(Qo. |
= |
||||||
= |
i[K Q o) /p ( Q ü) ] [A' |
( Qd) Ч - А ' ф ( Q o ) ] = |
|
|
||||
|
|
|
|
|
= ф (Q o) t ( Q o ) / p ( Q o ) = ьо[ф ]- |
|||
В то же время при |
2 из |
(29) |
следует, что |
|
||||
S/-1 1Ф1 - |
£/ ІФ] |
= ^ |
[П Д -.т (Qy-i) - |
\V,-xf (Qi-о - |
|
|||
- |
W ff (Qi)] = |
[ф (Q0)/p (Q„)l IE/-! [cp (Qi-Q - f (Qi-Q - |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
— A > (Q / - i) l |
= 0. |
Следовательно, при любом / значение £,[ф] зависит лишь от Qo и, с учетом (33), равно ^[ф] = sg n ф(р0) X Х (|ф |, ф)- Поэтому дисперсия £;[ф] равна
DC; [ф] = М£/ [ф] — (ф, 2</))2 = (|ф|, ср)2— (ф, г</>)2.
А так как из ф(P)=z(P) |
следует, |
что |
все |
zU)(P) — |
|||
= z ( P ) , |
то последнее выражение для |
D^j[ф] |
совпадает |
||||
с (32). Теорема доказана. |
|
|
(33) и (34) |
с ф ( Р ) = |
|||
Как и в гл. 3, п. 3.2.1, плотности |
|||||||
= z(P) практически использовать нельзя, |
так как реше |
||||||
ние z(P) |
неизвестно. Однако, имея «хорошее» прибли |
||||||
жение zQ(P) t ü z (P) , мы |
можем (в |
принципе) |
выбрать |
||||
Ф(Р) — Zo(P), и дисперсии |
0^[ф] |
будут |
близки к ми |
||||
нимальным. |
знакопостоянна, |
то |
очевидно, |
||||
Если |
функция ф(Р) |
||||||
Ь,= 0.
2.4.Оценка линейных функционалов от z. Рассмо рим бесконечные случайные траектории
Тоо= (Qo- *- Qi-+■ ■ ■ ■ Q < - * - ■ ■ ■ ),
которые строятся по тем же правилам, что траектории
Tt. Тогда любой начальный участок |
(Q0->- |
Q.) |
|
этой траектории представляет собой |
траекторию |
типа |
|
Т'і и плотность его Pi(Qo, |
•••, Qi) выражается формулой |
||
(3). Предположим, что |
начальная плотность р(Р) |
до |
|
пустима по. отношению к ф(Р), а плотность вероятно
стей перехода |
р(Р, |
Р') допустима по |
отношению к |
К(Р, Р'). Тогда |
из |
теоремы 1 следует, |
что при каж |
дом і |
|
|
|
M { h > ( Q o ) / P ( Q o ) W ( Q < ) } = f o . Щ ) -
§ 2] НЕОДНОРОДНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 7 5
Рассмотрим случайную величину Л 1І']> зависящую от траектории ТА,:
|
|
СО |
|
|
|
|
|
|
SW |
WiHQi)- |
|
|
(36) |
||
При некоторых |
условиях |
справедливы равенства |
|||||
со |
|
|
|
|
|
|
|
M£ H) ] =2 m { |
| ^ 1VV(Q,)} = |
|
|
|
|
|
|
|
со |
|
/ |
с о |
|
\ |
|
|
= S (Ф. К‘Г) = |
Д |
Ф, 2 |
/С'7 |
/ |
= (Ф’г)’ |
|
|
йо |
|
і=о |
|
|
||
и математическое ожидание величины ЦгЬ] оказывается равным вычисляемому функционалу:
МГЛф] = (ф, |
г). |
(37) |
|
Например, достаточно |
потребовать, |
чтобы было К{Р, |
|
Р ' ) ^ 0, Д Р ) > 0 и ряд |
Неймана |
(28) |
сходился в сред |
нем. Более общие условия приведены ниже в теореме 4. Если (37) справедливо, то для оценки (ф, г) можно использовать N траекторий типа ТА, по каждой из них вычислить значение Цф]5 (s— помер траектории) и ос-
реднпть результат
(зз)
Конечно, построить бесконечную траекторию численно невозможно. На практике траекторию строят до тех пор, пока слагаемые в (36) не становятся пренебрежимо малыми по сравнению со всей суммой, и тогда траекто рию «обрывают». Часто в качестве условия обрыва ис пользуют неравенство
«'А<е,
где е> 0 — некоторое наперед заданное малое число,, а / — номер последней точки траектории.
Можно обойтись без искусственного обрыва траек торий, если вместо траекторий 7А использовать траекто
рии с поглощением Тѵ (п. 1.4) В самом деле, рассмот рим случайную величину
Л Іф] = [Ф (Qo)/р (Qu)J 'Ф V [/ (Q v)/« (Qv)J |
(39) |
176 РЕШЕНИЕ ЛПИЕПНЫХ УРАВНЕНИИ [ГЛ. 5
со случайным номером ѵ, равным количеству звеньев траектории Тѵ.
При некоторых условиях математическое ожидание
случайной величины £ѵ[ф], зависящей от случайного ин декса V, можно вычислить по формуле
00
М?ѵ [ф] = J М U v [ф] IV = і } р {ѵ = г'},
(—0
аналогичной формуле полной вероятности. Так как при
\ — і и / = ср величина £ѵ[ф] =Ѳі[ф], то из теоремы 2 вытекает, что
М (Uv [ф] IV = і } = (ф, K‘f)/P {ѵ = t}.
Следовательно,
мЁѵіФі = |
S (Ф, K‘f) = |
( Ф, S |
K‘f] = |
(Ф, z) |
|
и окончательно |
I—0 |
\ t—о |
/ |
|
|
МІѵ [ф] = |
(Ф, г). |
|
(40) |
||
|
|
|
|||
Формула |
(40) |
также будет |
справедлива в случае, ког |
||
да К(Р, |
Р ') ^ 0 |
, f(P) ^ 0 и ряд Неймана |
(28) сходится |
||
в среднем. Более общие условия см. ниже в теореме 5. Соответствующий формуле (40) метод Монте-Карло
ОМ) « * 4 - 2 |
сѵ ГФк, |
(4і) |
ІѴ S- 1 |
|
|
где ^ѵ[ф], — значение £ѵ[ф] на s-й траектории типа Тѵ,
аV— номер последней точки этой траектории.
2.4.1.Метод Монте-Карло (31) позволяет оценить функционал (ф, г), если только ряд Неймана (28) сходится в среднем, так как
можно фиксировать столь большое і, чтобы разность |(ф, z ^ )— (ф, г) |
была меньше любого заданного е > 0 . Казалось бы, методы (38) и (41) также должны сходиться при этом единственном условии. К со
жалению, |
переход в |
бесконечномерное |
пространство |
G X G X ■• ■ |
|||
заставляет |
наложить несколько |
более жесткие ограничения, связан- |
|||||
|
|
|
|
СО |
|
|
|
ные с тем, |
что сходимость |
ряда |
2 Мт]; |
не |
обеспечивает вообще |
||
|
|
СО |
;=о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
'говоря, существования |
М 2 |
Л; п |
приходится |
требовать, |
чтобы схо- |
||
|
СО |
і—0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дился ряд |
2 |
|
|
|
|
|
|
f=0
§ 21 |
НЕОДНОРОДНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ |
177 |
||
Интегральное уравнение |
|
|
|
|
|
г (Р) = J I * (Р, P') I г (P') dP' + |
\f (Р) I |
|
(25) |
|
G |
|
|
|
назовем |
мажорантным по отпошепнга к уравнению |
(25). Так |
как |
|
J/< '/1=£2 |
|* |* |/|, то пз сходимости (в среднем) |
ряда |
Неймана |
для |
мажорантного уравнения следует абсолютная сходимость (в |
сред |
|||
нем) ряда (28). |
|
|
|
|
Те о р е м а 4. Если ряд Неймана для мажорантного уравнения
(25)сходится в среднем, то имеет место равенство (37).
Те о р е м а 5. Если ряд Неймана для мажорантного уравнения
(25)сходится в среднем, то имеет место равенство (40).
Легко видеть, что _в случае, когда К(Р, Р')72?0 и |
f ( P ) ^ 0 , |
ма |
|
жорантное уравнение (25) совпадает с уравнением |
(25) |
и пз теорем |
|
4 и 5 вытекают достаточные условия, приведенные в п. 2.4. |
|
||
Перейдем к д о к а з а т е л ь с т в у теоремы 4. |
Из |
теоремы |
1 |
следует, что |
|
|
|
M { |m ) /P ( < ? o ) ll" W ) |} = (Ж . |
№ /!)• |
|
Сумма таких математических ожиданий равна |
|
|
m |
= 2 (ж. 1*14/1) = |
ж-2 1*14/1 |
У М Ф (Qu) W J (Q,) |
||
і=0 р (Qu) |
1=0 |
|
и (по лемме п. 2.1) стремится к конечному пределу, равному (|ф |.г)'. Сходимость этого ряда обеспечивает существование МС[г|>] и спра ведливость равенства
|
|
со |
|
У (Qo) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мс ж |
= 2 |
м |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
р (Qu) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
і= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Еще раз применяя лемму п. 2.1, получим, что |
|
|
|
|
|
|||||||
со |
("ф. * 7 ) = Hm |
m |
|
(Ф. *7)= Hm |
/ |
ш |
|
|
|
|
||
2 |
2 |
|
U |
, V |
/<'/ |
= |
( Ф . 2 ) . |
|||||
i=0 |
|
m->c° i=0 |
|
|
m-*a \ |
i=0 |
|
|
|
|||
Аналогично |
д о к а з ы в а е т с я |
и теорема 5. |
Из |
теоремы |
2 вы |
|||||||
текает, |
ЧТО |
3 V1 ‘ |
, |
|
|
|
|
|
(ж. 1*1' I/O |
|||
М{ІСѵ[ф]І1ѵ = /} = м |
Ф (Qo) |
fis / (Qt) |
|
|||||||||
PlQu) |
«(Qi) |
|
Р [V = |
() |
• |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Затем с помощью леммы п. 2.1 доказывается сходимость ряда |
|
|||||||||||
2 |
м U^v ж I |ѵ = |
f] |
р {V = i} |
= 2 |
(іФі- i*r\ f \ |
) = |
(іфі. |
ij. |
||||
і=0 |
|
|
|
|
і=0 |
|
|
|
|
|
|
|
которая обеспечивает существование М£ѵ [і|-] и справедливость
12 И. М. Соболе