Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.56 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 326 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

48	ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН					[ГЛ. 2
Yi, Y2- Сперва	по числу	уі (методом	п.	1.2.1)	определяем, наступило
ли событие А.	Если А	наступило,	то,	зная	условную	вероятность

Р{В/А} = РАВ/РА, можно по числу у2 определить, наступило ли со

бытие В: условием наступления В служит выполнение неравенства Y2<P{ß/-4). Если же событие А не наступило, то наступление В при

дется разыгрывать с помощью условии вероятности Р{В/Л), которая равна Р {В/А} = (рв — РАВ)/(1 — РА).

1.3. Моделирование непрерывных случайных величин. Предположим, что случайная величина | определена в интервале и имеет плотность р(.ѵ) > 0 при a<Cx<£b. Обозначим через F (х) функцию распределе ния I, которая при a<£x<£b равна

	F (л-) = ) р (и) du.
		а
Случай а = — со и	(пли)	Ь = оо не исключается.
Т е о р е м а 2.	Случайная величина \|, удовлетворяю
щая уравнению.
		F (ё)	Н)
имеет плотность распределения р(х).			F(х) строго
Д о к а з а т е л ь с т в о .		Так как функция	F(х) строго
возрастает в интервале		(а, Ь) от F( a) = 0	до F (Ь) = 1,

то уравнение (4) имеет единственный корень при каждом 7 ірнс. 15). При этом равны

	/ -			вероятности
	/ -			P{.v<\|<A '+ßr.v} =
F(x<dx) -				= Р{/7(л') < 7<Т(.ѵ+Дѵ)}.
F(x<dx) -				И так как случайная вели
				И так как случайная вели
				чина у равномерно распре
				делена в интервале (0, 1),то
и	о	х£ x>âx	X	Р { .у < !< х + dx) =
				— F(x-\-dx)—F(x) — p(x)dx,
В тех	случаях, когда			что и требовалось доказать.
В тех	случаях, когда		уравнение (4) аналитически
разрешимо относительно				получается	явная формула
! = G ( 7)	для	разыгрывания		случайной	величины	где


§ 1]	МЕТОД ОБРАТНЫХ ФУНКЦИИ		49
G( y ) — обратная-		функция по отношению	к y = F ( x )'.
В других случаях		можно уравнение (4) решать числен

но. Если объем накопителя позволяет, то удобно соста вить таблицу функции G{y), 0< г / < 1, и по ней нахо дить значения £. Иногда удобно использовать таблицу функции F(x), a<.x<_b, п находить значения | обрат ной интерполяцией, О некоторых приемах составления таблиц см. [8, 9, 90].

П р и мер. Э к с п о н е н ц и а л ь н а я с л у ч а й н а я в е л ц- ч и н а £ определена при .ѵ0< .ѵ < о о с плотностью

	р (.«) =	<іе-а{х~ Ха).
Так как
	F (х) = [	du = 1 - е—°(*—Ч
	Хп
то уравнение (4) примет вид
	1—	= Y.
Отсюда получаем явное выражение для расчета §
	£=	(І/а)1п(1—у).	(5)
1.4.	Метод обратных функций. Теоремы		1 и 2 пре

ставляют собой частные случаи общего метода, который естественно назвать методом обратных функций (наряду с названием inverse functions method встречается также direct method).

Рассмотрим произвольную случайную величину | с функцией распределения F(x) = Р{£<-ѵ} (рис. 16, а). Обратную по отношению к F (х) функцию G(y) опреде лим следующим образом. Во-первых, дополним график


функции	y = F(x)		вертикальными отрезками						в	точках
разрыва	до непрерывной линии					y = F0 (x)		(рис.		16,	б);
функция	y = F 0 {x),		вообще		говоря, неоднозначна.						Эту
же линию можно записать уравнением вида									x = G 0 (y).
где функция G0(у) опять-таки						не	обязана		быть	одно
значной:	интервалам			постоянства			F0 (x)	соответствуют
вертикальные		отрезки		G0 (y)		и	наоборот.		Положим
G (у) = G0 (y)		в точках		непрерывности и G(y) — G(y-\-0)
в точках разрыва (рис.				16, в).
Построенная таким образом однозначная функция
G(y) не убывает при 0 < 1					и непрерывна				справа во

4 И, М. Соболь

£0

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

[ГЛ.

всех

точках*).

Функции

F(x)

и G(y)

связаны

следую

щим свойством: G(y)<.x тогда

и только тогда,

когда

y<F( x) . Для доказательства

этого свойства достаточно

проверить, что

каждое

из

двух

неравенств

G(y)<.x

y <F( x)

означает,

что

точка (G(y), y) располо

жена

на

линии

y = F 0 (x)

одновременно

левее

ниже

точки

(х,

F(x))

(рпс. 17).

Случай

Т е о р е м а

ная величина

:С(Ч)

(б)

имеет функцию распреде

ления F(x).

Для

д о к а з а т е л ь

с т в а

теоремы нужно вы

числить функцию распре

деления

случайной

вели

чины

§,

определенной

формулой

(6):

f*C.v} = P{G(T)< *} =

Р{|-

= Pft </=■(*) }=F(.v).

То,

что теорема

1 пре

доставляет собой частный

случай

теоремы

видно

из сравнения рпс. 18, па

котором изображена функ

ция .x = G 0 {y),

соответ

ствующая дискретной слу

чайной

величине, с рис. 14:

если чеДі на рис. 14, то

G0('Y)=xi

на

рис. 18.

функция G(y)

условиях

теоремы

совпадает с обычной обратной функцией

к F(x) и уравнение (6) равносильно

(4).

*) Аналитическое определение: функция G(y) равна нижней гра-.

ни множества чисел х, для которых y<F {x ),

т. е.

G (у)

inf

[x\y<t\x)}

§ 11	МЕТОД ОБРАТНЫХ ФУНКЦИИ		51
Заметим, что так как случайная величина 1—7 име
ет то же	распределение, что	то в формулах (2),	(4),

(6) можно вместо у написать 1—у. Следовательно, ука занные способы моделирования ие единственно возмож ные. Иногда замена у на 1—у несколько упрощает фор мулы расчета. Например, вместо формулы (5) можно

использовать формулу
!=л'о— (і/«)1п у.	(7)

Итак, метод обратных функции позволяет записать формулы для моделирования любой случайной величи ны £. Но нередко этот метод приводит к сложным или

просто неудобным алгоритмам. Например, для того чтобы вычислять значения гауссовской (нормальной) случайной величины £ с параметрами (0; 1), приходит ся решать уравнение

[ e ~ r / 2 d t = V 2 jt у .

—СО

Втаких случаях обычно прибегают к помощи других методов моделирования, связанных с другими преобра зованиями случайных чисел у.

1.5.Преобразования вида %=g(y). Попытаемся на

ти всевозможные функции g(y) такие, что случайная ве личина g(y) имеет функцию распределения F(x) . Для это го необходимо и достаточно, чтобы Р {g-(т) <-v} — F(x).

Введем единичную функцию

е	1 0	при	г «	0,
	I 1	при	2 >	Q.

52 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Так как плотность рѵ(у) =		1 при 0 < г/< 1 , го
Р {g (У) < х} =	Г	1
Р {g (У) < х} =	j	Рѵ ІУ) dy = \e(x — g (у)) dy.
	{!/!£('/)<*}	о

Таким образом, получаем уравнение, которому должна' удовлетворять функция g(y):

1
\е{х — g{y))dy = F (х).	(8)
о

Общее решение уравнения (8), по-внднмому, неизвестно*). Од нако легко указать частные классы функций g(y), в которых реше

ния существуют. Для простоты ограничимся случаем, когда модели руемая величина £ принимает значения в интервале а<.х< Ь н име ет плотность вероятностей р(х) > 0 при а < .ѵ < 6 .

Пусть g{y)	строго возрастает			при 0 < ( / < 1	и g ( 0 ) = a ,		g { \) = b .
Тогда из рис.	19 видно,	что	e{x—g{y)) = l		при	0 < y < h ( x ) , где
Іі(х)— функция, обратная		по отношению к g{y).				Из (8)	вытекает,
что
	F { x ) =		Л (.ѵ)	dy = h (x).
	F { x ) =		[	dy = h (x).			(9)

Переходя к обратным функциям, запишем, что g(y) равна G(y) — обратной функции к F(x). Мы пришли, таким образом, к методу об

ратных функций |= G ( y).

*) Если моделируемая случайная величина | непрерывна, то плотность ее p{x)=F'{x). Дифференцируя (8) с учетом того, что

e '(z )= ö (z ) — дельта-функция Дирака, получим вместо (8) уравнение

( б ( x — g (y ))d y = р(х).

§ 2]	МОДЕЛИРОВАНИЕ МНОГОМЕРНЫХ ВЕЛИЧИН
	Пусть теперь	g(y)	строго	убывает при 0 < ( / < 1 п	g(0)=b,
g { \) = a . Тогда из рис.			20 видно, что е(х—g(y)) = 1 при Іі(х) < ! / < 1 ,
и из	(8) вытекает,	что
		F(x) = I		d y = 1 — h(x).	( 10)
			Ңх)

Сделав замену переменной у = Іі(х), получим соотношение F(g(y)) =

=	1 — //, откуда g ( y ) = G ( \ — у).	Таким		образом,	в этом		случае
s =	G( l —у), и мы снова пришли к методу обратных функций с заме
ной у на 1—у.
	Эти же решения уравнения (8) можно получить для любой слу
чайной величины, если предположить,			что g(y) обладает			свойствами
обратных функций G(y) в смысле		п.	1.4.	Помимо	этих	двух	моно

тонных решений, существует бесконечное количество немонотонных решений. Однако используются они сравнительно редко. Пожалуй, единственный общий метод, основанный на использовании немоно

тонных функций	g(y), это модифицированный метод суперпозиции
Г. А. Михайлова,	изложенный в п. 3.3.3.

Прежде чем перейти к преобразованиям более обще го вида, рассмотрим основные методы моделирования многомерных случайных величин.

§2. Моделирование многомерных случайных величин

2.1.Моделирование «-мерной случайной точки с н зависимыми координатами. Если координаты «-мерной

случайной величины	Q=(£i, . . . ,	\|„) независимы, то
функция распределения
Fq{Xu . . . .	xn) = F 1 (xi)... Fn(x n),
где Fі(Хі) — функция	распределения	величины	Есте-

ствёпно ожидать, что в этом случае можно моделиро


вать каждую величину		независимо:
где уі, . . . ,	— независимые случайные числа.		опре
Действительно, так		как ^ независимы, то и

деленные формулами (11), независимы. Поэтому их совместная функция распределения равна произведению

= П Fi (Xi) = Fq (xl ----- --

xn) .

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

|ГЛ

П р и м е р . С л у ч а й н а я

т о ч к а

Q с

декартовыми

координа

тами

р а в н о м е р н о

р а с п р е д е л е н а

/(-м ер

н ом

п а р а л л е л е п и п е д е

П =

( = 1 ,

2, . . . ,

/(}

(рис.

21 для /( =

2).

Плотность

вероятностей

точки Q постоянна в П:

Pq (x!•■ •>*,,) =

при (a-j ,

х(|)

е П ,

при

(А-!............А-„)

(É

П,

где 1 /с =

(6г- — яЛ — объем П («-мерный объем). Интегрируя

Pq по

/—I 4

всем переменным,

кроме

легко получить,

что плотность £/

равна

{

при а-,-(£(аг,

ft,.).

Следовательно, каждая из координат

равномерно

распределена

интервале

а,- < xt < ft,-,

и координаты эти независимы.

Согласно

(11)

запишем уравнения

Fі ( Ц

= {Ъі -

аі)/{рі - я,)

= Yf,

откуда вытекают явные формулы для расчета координат

= пі-тУі(Ьі ~

аі),

‘ = 1 -

2 .........n.

2.2. Моделирование n-мерной непрерывной случай

ной точки

(с

произвольными координатами).

об-

ілем

случае,

когда

| і ..........

зависимы, их совместную плот

ность

можно

представить

виде

Ппроизведения условных плотно стей вероятностен этих величии:

		Pq{хи • • • >xJt) ==
		—Р\{хі)Р2 (й-'гI -И)Рз (з I А'ь 2) —
			...рЛхЛх \>•••> -Ѵ-і).
		Все условные плотности вероятно
Ь,		)Х> сти выражаются через совмест
Рис. 21.		ную плотность Pq(Xi........ хп).
Приводим выражения условных плотностей в общем виде; все
интегралы берутся от — оо до
Pi (Xi)	=	I - • •J P q dx* . . .	d x n>
Pi ( * i I * 1 )	=	J • • - I P Q d x 3 . . .	d x n [Pi (A4 ) ] - 1 .

МОДЕЛИРОВАНИЕ МНОГОМЕРНЫХ ВЕЛИЧИН

p.j (х3 \л-!,	X , )	= J	. . pwdXi	... dxn[pt (л ц )	р, (X ., I Л 'і)]
W ..................................................					................
Рц—1 (А'л —1!*1.........		хп—і)
	=	I М * н[P\ (*!>■		■-Pn-3 (*/i-2	I*1....	/.-3)1 ‘
P n ( x n I *1.......	*,.-l) =		P q \ P ■(-V>)	• • • P n - 1(,.-1 \|I.........		-V« - 2 )]_t-
Введем условные функции распределения

X.L

—СО

Т е о р е м а		4. Пусть "fi,	. . . .	уп— независимые слу
чайные	числа.	Совокупность	случайных величин \| ь ...
. . . , \ п,	полученных при		последовательном решении
уравнений			Л (У = Yu ■
			Л (У = Yu ■
		Fz (І2ІІі) =			Y2,
					( 12)
		F.n (In I II . . •	- 0	=	Yi

имеет совместную плотность вероятностей pQ(x..........ѵ„).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Если		значения	\| і= л'і, ...
... ,	= л'і_і фиксированы, то	случайную	величину \| £

с функцией распределения F,(.v|.vb . . . , л',_і) можно оп ределить по формуле (4):

(If|*ь . . . . AVi) = Y.-

Тогда вероятность неравенства x(<c%i<.Xi-\-dxf равна

Р{л-,'<ё;<А'(+г/л';|.1'ь . . . , .ѵі_1}=р,(.ѵ,|.ѵ,..........*■•-,)Дѵ

Следовательно, с точностью до бесконечно малых более высокого порядка вероятность совместного выполнения п неравенств равна произведению

P { * i < ! i < * i + r f * i , • • • , * л< іп < * , і+ Д ѵп} —

— Р{-V1< 11< *1-рd x 1}Р{Л'2< І2< *2+ d x o I 11= X 1}...

•"^Ан-рДѵп ] Ii X\, • • • , In —1— An—1) —

==Pl (,) dX\Po (л2 I *1) dXo... pn(А'пI .V[,	. . . , Л'„—]) б/л'и =
=	.......... xn)dx 1... ci\\,
И теорема доказана,

56	ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН				[ГЛ. 2
Представление плотности pQ(x\,				„ѵп)	в форме
произведения условных		плотностей координат			\| і ........ g„
возможно п! способами.		В частности, при п — 2
Ря(хь х2) = Р \ (л'і)/^2(л-2\|а'і) = р 2 (х2 )рI (.V, \|.ѵ2) .
Разным	произведениям соответствуют		разные		порядки
		разыгрывания величин \| і , . . %п
		п, вообще говоря,		разные урав
1		нения (12).	Нижеследующий
\		пример показывает, что иногда
		удачный выбор порядка позво
		ляет упростить эти уравнения.
		Если \|і, . . . ,		независимы,

	то все их		условные	распреде
	ления	равны безусловным
	Pq{xu	• • •,	хп) = р 1(л-,) ...р„ (ха)
Р	1 X 11 порядок разыгрывания велп-
рис 22.	чин роли не играет:			уравнения

(12)превращаются в (11).

Пр и м е р Рассмотрим случайную точку (g, р), которая может

принимать значения в треугольнике х + у < 1 ,			х > 0 ,	у > 0	(рис. 22)
с плотностью р(х, у) = 6.Ѵ.
а) Выберем	в качестве первой	величины Е- Тогда
	1—X
р^(х) =	С р ( .V, у) dy — 6.V (1 — х)		при 0 <	л: <	1;
	6
Рц (УI х ) = р (.V, у)!Рі (х) =		(1 — -ѵ )-1	при 0 < у < I — X.

Соответствующие этим плотностям функции распределения:

	X
(х) =	f pg {и) du = Зя3 — 2х*	при 0 < -ѵ <	1,
	о
	//
Рц(У1X) =	\ рц (V I х) dv = у{1 — л*)-1	при 0 < / / < 1	— А',
	о

Из формул (12) получаем уравнения для последовательного вычис ления Е и 1)

3 |* -2 6 » = у ,, гт=ѵ*С1—6)-

§ 2]	МОДЕЛИРОВАНИЕ МНОГОМЕРНЫХ ВЕЛИЧИН								57
G)	Выберем		теперь в качестве первой величины тр Тогда
	РЦ(У) =		1—у	Р (л-, у) dx = 3 (1 — U)'*
	РЦ(У) =		f	Р (л-, у) dx = 3 (1 — U)'*		при 0 <		і/ <	I .
			6
Pi (-ѴI у) = р(х,				у)/рц (у) = 2х (1 — у)~2		при 0 <		.г <	1 — у.
Соответствующие функции					распределения:
		k
F,}(y)=		\ p ^ { v ) d ü =			I — (1 — ijf	при	0 < у <		1,
		b
		X
	(* I * / ) =	\	P \| ( « I У) du = x* 0 ” У)~2			ПРП 0	< X < 1		— y .
		b

Мз формулы (12), используя 1 — ух вместо Ѵь получим уравнения для

последовательного вычисления ѵ| и £

(1 — ii)3= Y i, È2= Y (1 — n )2-

Сравним теперь оба алгоритма для расчета £ и гр в первом из них для нахождения % необходимо решать кубические уравнения, в то

время как во втором можно использовать явные формулы

	Т) = 1 — у У ,		I =	Ѵъ. іЛ У			(!3)
З а м е ч а н и е .		Учащиеся часто		допускают	ошибку	и вместо
Pq(x, у) = р 1(х) р2[у\х) пишут соотношение Г Q(а-,					у) = г і ( х ) Р 2(у\х).
Однако	последнее	тождество неверно! В рассмотренном				примере в
треугольнике Fq ( x ,		у ) — 3х2у, а
F I М	У , (у 1 х) =	3 — 2х	(у) F^ (X I у) =		1 — (1 — г/)3		„
		- у ^ г х"у,			(1 _ yyi		X-.

2.3. Возможные обобщения теоремы 4. Важнейши вывод из теоремы 4 состоит в том, что моделирование многомерной случайной величины может быть сведено к последовательному моделированию ее координат. Фор мулы ( 12) используют для этого метод обратных функ ций. Но это вовсе не обязательно: в некоторых случаях формулы расчета окажутся проще, если использовать для моделирования случайной величины £,• с условной плот ностью Рі(х ||і, ..., g,-]) какой-нибудь из методов, рас смотренных в последующих §§ 3, 4, 5.

Например, из результата п. 4.1 следует, что вместо формул (13) можно использовать следующий алгоритм, в котором на расчет каж дой точки (£, г)) затрачиваются пять независимых случайных чисел, но зато не надо извлекать корней:

0 = max(Yi; у2; Уз), 11 = 1 — Ѳ, | = Ѳтах(у4; Ys).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 326 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ