книги из ГПНТБ / Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло

s ВВЕДЕНИЕ

методов Монте-Карло были известны значительно рань­ ше. Более того, фактически такие методы не раз исполь­ зовались для расчетов в математической статистике. Однако до появления электронных вычислительных ма­ шин (ЭВМ) методы Монте-Карло не могли стать уни­ версальными численными методами, ибо моделирование случайных величин вручную — весьма трудоемкий про­ цесс.

Развитию методов Монте-Карло способствовало бур­ ное развитие ЭВМ. Алгоритмы Монте-Карло (как пра­ вило, обладающие небольшой связностью) сравнитель­ но легко программируются и позволяют рассчитывать многие задачи, недоступные для классических числен­ ных методов. Так как совершенствование ЭВМ продол­ жается, есть все основания ожидать дальнейшего раз­ вития методов Монте-Карло и дальнейшего расширения области их применения.

0.2. Общий курс методов Монте-Карло. Важнейший прием построения методов Монте-Карло — сведение за­ дачи к расчету математических ожиданий. Более под­ робно: для того чтобы приближенно вычислить некото­ рую скалярную величину а, надо придумать такую слу­

Выберем N случайных точен, равномерно рас­ пределенных в П, и обозначим через N' коли­

В этом примере случайная величина £ равна Ѵп, если случайная

точка попадает в G, и | равна нулю, если точка попадает в ГГ — G. Нетрудно проверить, что математическое ожидание М |= У С, а сред­

нее арифметическое

(1/Л0 (ІХ+ ••• ^ l N) = Vn (N'/N).

методов Монте-Карло должна дать ответы на два воп­ роса:

1) как выбрать удобную величину | для расчета той или иной задачи?

2) как находить значения |і, | 2, • • • произвольной случайной величины |?

Изучение этих вопросов и должно составить основ­ ное содержание практического курса методов МонтеКарло.

Почти все методы, рассмотренные в настоящей кни­ ге, основаны на расчете математических ожиданий. За рамками книги остались упомянутые выше методы слу­ чайного поиска (кроме простейшего) и стохастических приближений.

Среди методов Монте-Карло можно выделить мето­ ды, в которых полностью воспроизводится модель рас­ считываемого процесса. Такие методы иногда называют «физическими», хотя автору представляется более удач­ ным другое название этих методов — имитационные. Имитация естественных процессов широко используется в самых различных областях науки, техники, экономики. Однако приемы имитации в каждой области свои, и под­ робно излагать их более целесообразно в специальных руководствах, а не в общем курсе методов Монте-Карло.

В самом деле, при имитации вычисляется вся информация о течении процесса; однако в реальных задачах, как правило, не нужна вся информация о всех величинах; поэтому естественно ожидать, что су­ ществуют методы, в которых скорость расчета нужных величин по­ вышается благодаря отказу от информации о ненужных величинах.

Слово «численные» включено в заглавие книги, чтобы подчеркнуть, что здесь рассматриваются главным образом не имитационные методы.

Точно так же Р{е*, = г‘і, . . . . e ^ = гя} = 10~3 и, таким об­ разом,

Р {Eft, = іи ... , ffcs = is} = p (е/г, = h) .. • P {e*s = 's}.

а это означает независимость е/,„ . . e*s.

Перейдем к доказательству обратного утверждения. Произвольное число х из интервала (0, 1) запишем в форме бесконечной десятичной дроби

IIтеорема доказана.

1.2.О приближенных случайных числах. В вычисл

ниях всегда используют числа с конечным количеством десятичных знаков, поэтому вместо случайных чисел у

употребляют конечные десятичные дроби у — 0, ві ... е„. Никаких специальных исследований по этому поводу мы проводить не будем: мы считаем, что здесь имеет место ошибка округления такая же, как при любых приближенных вычислениях.

Отметим одно простое свойство чисел у. которое теряется при таком приближении *).

*) В книге использованы следующие обозначения: Ц(х) — целая

часть числа х (т. е. наибольшее целое число, не превосходящее .г), Д (х) — дробная часть числа х (т. е. Д ( х ) = х —Ц[х)).

таблицы *).

Все сказанное выше относится к «идеальной» табли­ це случайных цифр и не вызывает никаких сомнении. Мы не будем подробно останавливаться на трудностях, возникающих при переходе к «реальным» таблицам, но отметим некоторые из них.

Во-первых, изготовление хорошей таблицы — весьма сложное дело, ибо в любом реальном опыте всегда воз­ можны ошибки. Например, для изготовления таблицы [166], содержащей миллион случайных цифр, была по­ строена и тщательно отлажена специальная «рулетка» (с использованием электроники). Тем не менее после некоторого периода хорошей работы она стала выда­ вать, как показала проверка, не равновероятные цифры. Таким образом, проверка «качества» таблицы абсолют­ но необходима. Никакие априорные соображения о тща­ тельности постановки опыта не гарантируют пас от ошибок.

Тесты для проверки таблиц случайных цифр рас­ смотрены ниже в § 3. Здесь только поясним, что прове­ ряется частота каждой из десяти цифр, частота различ­ ных соседних пар и т. п.

Вторая трудность связана с «незаконностью» много­ кратного использования одной н той же таблицы. Вы­ числителей этот вопрос не очень беспокоит, так как интуитивно ясно, что таблицу можно повторно исполь­ зовать при решении независимых задач (впрочем, что такое «независимые» задачи — не очень ясно). Возмож­ ность использования одних и тех же случайных величии

*) Таблицы случайных цифр очень удобны для' осуществления случайной выборки. Пусть, например, требуется из 55 предметов ото­ брать случайно 6 предметов. Занумеруем исходное множество пред­

метов и воспользуемся таблицей со стр. 295. Рассмотрим пары цифр из таблицы: 86, 51, 59, 07, 95, 66, 15, 56, 64, ... и отберем предметы с но­

мерами, оказавшимися в этой последовательности: 51, 07, 15, 34, 23, 32.

100 нулей подряд.) Очевидно, самостоятельное исполь­ зование таких участков недопустимо.

В настоящее время таблицы случайных цифр (или более разнообразные таблицы случайных величин) ис­ пользуют главным образом при расчетах вручную; для расчетов на ЭВМ ими практически не пользуются. Ос­ новная причина этого— чисто техническая: внутренний накопитель всех современных ЭВМ сравнительно мал п большая таблица туда не помещается; а обращение к внешним запоминающим устройствам сильно замедляет счет. Вторая причина — ограниченность объема сущест­ вующих таблиц,— по-видимому, играет второстепенную роль: можно заготовить таблицу любого объема, если это потребуется.

1.4. Датчики случайных чисел. Генераторами ил датчиками случайных величин называют различные тех­ нические устройства, вырабатывающие случайные вели­ чины. Чаще всего для построения датчика используют «шумящие» радиоэлектронные приборы (диоды, тира­ троны, газотроны и др.). Не вдаваясь в технические подробности, рассмотрим одни из возможных способов построения датчика, вырабатывающего случайные дво­ ичные цифры а.

Нетрудно представить себе счетчик, который подсчи­ тывает количество V флуктуаций напряжения шумящего

прибора, превышающих заданный уровень Е0 за фикси­ рованное время AI (рис. 2). Еще проще устроить счет­ чик, который выдавал бы число v (mod 2), т. е. 0 при четном V и 1 при нечетном ѵ. Если вероятности появле­ ния 0 и 1 в таком процессе равны между собой, то мож­ но считать, что устройство вырабатывает случайную по­ следовательность двоичных цифр.

16 ПОЛУЧЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН НА ЭВМ [ГЛ. I

Если вероятность появления нуля отлична от поло­ вины Р{0} =//=И=0,5, то можно ввести какую-нибудь схе­ му стабилизации вероятности. Например, можно груп­ пировать цифры парами и выдавать 0 при получении

с равными вероятностями *).

Обычно датчики случайных чисел содержат т гене­ раторов описанного типа, работающих независимо, так

ной дроби. Для случайных чисел отведена специальная ячейка в накопителе, и скорость генерирования их столь велика, что па каждом такте работы ЭВМ в этой ячей­ ке получается повое случайное число.

Применение датчиков случайных чисел свободно от тех недостатков, которые препятствуют широкому при­ менению таблиц: не требуется места во внутреннем на­ копителе и запас чисел практически неограничен. Тем не менее подавляющее большинство задач, решенных методом Монте-Карло, сосчитано без применения дат­ чиков. Ибо датчики имеют свои, новые недостатки. Вопервых, числа, выработанные датчиком, нельзя воспро­ извести. Это затрудняет контроль расчетов п делает невозможным счет на таких ЭВМ, на которых двойной пересчет является правилом**). Во-вторых, приходится содержать и эксплуатировать дополнительное устройст­ во, которое требует ухода и регулярной проверки «ка­ чества» вырабатываемых чисел с помощью специальных тестов.

Основные области применения датчиков — системы автоматического регулирования и аналоговые вычисли­ тельные машины, а не методы Монте-Карло.

1.5. Метод псевдослучайных чисел. Мы видели, чт пригодность случайных чисел определяется в конечном счете не процессом их получения, а тем, удовлетворяют

*) К сожалению возможен также случай, когда вероятность р

меняется во времени или зависит от предшествующих цифр, и тогда простые схемы стабилизации ие спасают положения.

**) Можно, конечно, запомнить все выработанные числа, но тог­ да мы фактически будем использовать таблицу.

§ I] ТРИ СПОСОБА ПОЛУЧЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 17

ли они некоторым принятым тестам. Но в таком случае совершенно безразлично, как эти числа получены, они могут быть даже сосчитаны по какой-нибудь формуле, лишь бы они удовлетворяли тестам!

Такая точка зрения иногда вызывает возражения, ибо, вычисляя числа по формуле, мы тем самым сразу отказываемся от их «случайности». Любопытно, что та­ кого рода возражения чаще высказывают нематематпкп, хотя, казалось бы, математики должны более реши­ тельно протестовать против нестрогости. Дело в том, что математики лучше понимают, что слово «случай­ ность», взятое выше в кавычки, использовано там не в математическом, а скорее в обыденном смысле. С точки зрения математика равномерно распределенная случай­ ная величина 7 — это абстрактное понятие; и только опыт может убедить нас в том, что какая-либо конкрет­ ная последовательность чисел 71, 72, . . . , 7.ѵ обладает интересующими нас свойствами независимых случайных чисел 7.

Числа 7і, 72, . . . , 7,ѵ, которые вычисляются по какой- I либо заданной формуле и могут быть использованы [ вместо случайных чисел при решении некоторых задач, >

называются псевдослучайными числами.

Нередко считают, что тесты, приведенные ниже в § 3, обеспечи­ вают возможность использования проверенных случайных или псев­ дослучайных чисел в любых задачах. Это излишний оптимизм. В действительности каждый тест связан с каким-то достаточно широ­ ким, но ограниченным классом задач (см. гл. 7, § 4), и правильнее было бы говорить о таблицах, датчиках или псевдослучайных числах для определенных классов задач*).

Конкретная последовательность псевдослучайных чи­ сел сходна с таблицей случайных чисел: ее можно одни раз тщательно проверить и затем многократно приме­ нять; все числа легко воспроизводятся; и запас чисел в такой последовательности, как мы увидим позднее, тоже ограничен.^Однако метод псевдослучайных чисел свободен от главного недостатка таблиц: существуют простые формулы для расчета псевдослучайных, чисел,

*) Любой реальный объект лишь приближенно описывается ма­ тематическим понятием, и всегда можно указать задачи, в которых данная математическая модель непригодна. Например, как бы акку­ ратно пн была начерчена прямая, при достаточно большом увеличе­ нии она превратится в волнистую или даже прерывную линию.