Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.56 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 324 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

ПОЛУЧЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛНЧИННА ЭВМ

[ГЛ. Г

Все же применяются такие методы редко. Наверно ком пенсация за сложность этих методов по сравнению с ме тодами вида (4) недостаточна.

2.4.2. Для получения последовательности "(о. Ть можно одновременно использовать два алгоритма типа

(4)с различными функциями Ф(.ѵ) и xF(x):

Всчете по методу (12) почти все время используется формула ч„+і= Ф (Чп), и только когда п кратно М, после довательность «возмущается»:'уп+і= Ч/ ("уп). Поэтому ме тод этот, предложенный Д. И. Голенко, назван методом возмущений, а целое число М — периодом возмущения.

Метод возмущении увеличивает длину отрезка апе риодичности по сравнению с методом (4). Вместо оцен ки (10) получается оценка (см. упражнение 6 гл. 1)

ML — У (nj2) NM.

Однако необходимо предостеречь вычислителен от не критического применения этого метода: качество всех используемых псевдослучайных чисел должно быть про верено. Наблюдались случаи, когда по каждой из фор мул Чи+і= Ф(Т") или ,yn+i= xF (ч„) вычислялись удовлетворительные псевдослучайные числа (с Д ^К (я/2) (V), а в реализованном по этим формулам методе (12) чис ла оказались плохими: не проходил первый тест и. 3.2

(несмотря на то, что L было близко к У(п!2) NM).

2.4.3. Рассмотрим рекуррентную формулу r-го порядка

	Г—1		(13)
а п+ г= 2У> eka tn+k		(mod 2), I
	k = о		Г . -
Гд е е0= 1, а все остальные коэффициенты «у и переменные ссу			могут
принимать лишь два значения — 0 или		1. Если начальные значения
ао, аь ■••аг—1> заданы,	то (13) позволяет последовательно вычислить
ar>ar+ 1 >• • • Случай ao =	Gii = . . .= а Г_ 1= 0 из рассмотрения исклю

чается. Уравнение (13) называется моноциклическим, если период Р ре шения Йо. cti........... а /;1 . . . равен Р = 2 r —1.

§ 2] п с е в д о с л у ч а й н ы е ч и с л а 29

Нетрудно доказать, что все решения моноциклнческого уравне ния имеют одну II ту же длину периода Я, п период их совпадает с

отрезком апериодичности.					u n-L\ (mod 2 )
П р и м е р.	Уравнение«,,^.,! = а п +				u n-L\ (mod 2 )			моиоцпклнче-
ское. Если задать начальные значения «о=1>						аі =	а2=	а 3= 0, то по
лучим последовательность с периодом 15:
100	010	011	010	111	100	010	...;
если начать со значении ао =			аі =	а2= а з = 1, то снова получим после
довательность с периодом 15						100 . . . .
111	100	010	011	010	111	100 . . . .

которая лишь сдвигом номеров отличается от предыдущеіі.

Уравнение а	, = а ([-	I	-	+ а ,і+ з (ІП0^ -) ,\|е моноцнкличе-
скос. Если начать со значении			а0= І ,		аі =	«2= и з =	0,	то	получим
последовательность с периодом 7
	1000110		1000110		аі =	«2 = «3=	1,	то	получим
а если задать начальные значения				н0=
последовательность, состоящую из одних единиц.
В статье Н. Ц и р л е р а		[185],		где исследованы важнейшие свой
ства уравнений	(13), последовательности, порождаемые							моиоцмклп-

ческпмп уравнениями, называются Af-последователыіостями. Термин «мопоцпклпческое уравнение» введен в [82]. В [176] описаны элек тронные схемы, реализующие формулы вида (13); по этим схемам по строены физические датчики псевдослучайных двоичных цифр. ПГю

решения а0, а \ , . , . , и п, . . . мопоцнклпческпх уравнений во многих от
ношениях ведут себя как двоичные случайные	цифры (см. упражне
ние 7 гл. 1).
Например, формула
“ «+31 = ап "г к «+з (mod 2)
порождает последовательности с L = P = 231 — 1. Проверка 600 000
цифр, получающихся при начальных значениях	(а0, . . . , a30) = (100
101 100 111 110 001 101 ПО 101 0000), показала,	что эти цифры удов

летворяют основным тестам п. 3.2, сформулированным применитель

но к двоичным цифрам (проверка		выполнена ІО. Л. Левитаном).
Однако если из цифр	а0, а],	. . . , ап , . . .	попытаться строить
ш-разрядиые значения случайной величины у
Те = 0 , о,, . . . <х\|П_ , ,		ті = 0 , а т . . .	,
Та = 0.	а 2т •••	“ З т - П

то пригодность таких чисел, вероятно, окажется ограниченной: ре зультаты работы Р. Таусворта [172] дают основания ожидать, что эмпирическое распределение групп

(То..........	Ts—l)i	(Ys............	T2s—1)>	(T2s'	Тз і - і).
будет близким к теоретическому только				при	выполнении условия

tn-s^r,

ПОЛУЧЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН НА ЭВМ

[ГЛ. I

§ 3. Статистическая проверка случайных чисел

Мы видели, что случайные числа, полученные любым из трех рассмотренных в § 1 методов, необходимо про верить. Рассмотрим важнейшие критерии, используемые обычно для такой проверки. Все эти критерии необхо димы для случайных чисел, ио о достаточности критери ев можно говорить, только ограничив класс задач, ко торые предполагается решать с помощью проверяемых случайных чисел. Такая точка зрения будет развита в гл. 7, § 4.

3.1. Статистические критерии согласия

3.1.1. Т е о р е м а	К. П и р с о н а .	Рассмотрим произ
вольную случайную	величину	которая может быть

одномерной или многомерной, дискретной или непрерыв ной. Обозначим через X множество возможных значений g. Фиксируем какое-нибудь разбиение множества X на г попарно непересекающнхся множеств Х\, . . . , Хттаких, что

Р{£<=Х,-}=/?,>0 при / = 1, 2, . . . . г.

Очевидно, рі+ ••• ~hPr—Р	= 1•	. . . ,	величи
Выберем N независимых значений
ны I и обозначим через vj	количество значений,		принад

лежащих Xj. Легко видеть, что математическое ожнда-.

ние МVj=Npj*).

В качестве меры отклонения «истинных» значении vj

от «теоретических» Nps удобно			выбрать величину
		Г (У/	Npj) 2	(1-1).
		/=і	NPj	(1-1).
		/=і
Т е о р е м а .	Каковы бы ни были исходная величина
% и разбиение	Х==Хі+_... + Х Г (такое, что все			р;> 0),
*) Случайная	величина	подчиняется биномиальному		закону

распределения с Мѵ;.= Npj и Dv;- = Np^ (1 — pfi. Совокупность вели

чин (vi, . . . , ѵг) подчиняется мультиномиальному закону распределе ния: при ^ і + . . . + kr —N

Р{ѴХ=

V, = k') = І^ГГГІПРІ' • • • Pr'-

§ 3]	СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ		31
при каждом ,ѵ> 0
		.V
	lim KP !,v < л-} =	j kr_i (X) dx,	(15)
	Л'-*-оо	Ü

еде плотность km(x), называемая плотностью распреде ления X2 с in степенями свободы, выражается формулой

(рис. 8)

	k m(x) = [2 т2Г(ш/2 )}-' xmß- ]e -xl2.
3.1.2.	К р и т е р и й с о г л а с и я %2. Теорему	пред
дущего	пункта часто используют в статистике для	про

верки гипотез о законе распределения случайной вели чины.

Фиксируем достаточно большую вероятность ß, кото рую будем называть доверительной вероятностью пли коэффициентом доверия. Вероятность 1—ß обычно иа-

зывают уровнем значимости. Теоретически в качестве ß можно выбрать любое число 0 < ß < l . Практически же выбор ß означает, что (в рассматриваемой задаче) мы считаем событие с вероятностью ^ ß достоверным, а со бытие с вероятностью ^ l — ß невозможным при единич ном испытании.

Пусть теперь имеется конкретная гипотеза о законе распределения случайной величины |. В результате осу ществления N независимых экспериментов были полу

чены N значений £\|, . . . ,	этой случайной	величины
(Л/ достаточно велико). Не противоречат ли эти N зна
чений нашей гипотезе?
Чтобы ответить на этот вопрос, можно рассуждать
следующим образом. Выберем какое-нибудь		число г и

Я4 ПОЛУЧЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН НА ЭВМ ІГЛ. I

разбиение множества возможных значений X случайной величины I на г попарно непересекающихся множеств

A'=yYi-\|- —-f-A'r. Исходя из нашей гипотезы, можно	вы
числить вероятности р>= Р{\|еА'3}. Предположим,	что

разбиение выбрано так, что все Pj>0. Тогда по значе

ниям \|і,	нетрудно вычислить величины ѵь . . . , ѵ г
(этот этап в статистике			называют группировкой значе
ний) и по формуле		(14) — величину у2,. Если наша		ги
потеза	справедлива,	то	(при достаточно большом	N)

эта величина достаточно хорошо подчиняется закону

распределения у2	с {г— 1)-й степенью свободы. Из урав
нения
x >	f	kr-\ (.г) dx = - ß
x >	'l. l-P)
можно найти значение у2(г— 1, 1—-ß), отвечающее фик

сированному памп уровню значимости 1—ß (рпс. 9).


Если наше значение уД < у 2(/'— 1, 1 — ß),		то этот резуль
тат не противоречит пашей гипотезе;		если		же	уД>
>у?{г—1. 1—ß), то, в со
ответствии		со		сделанным
соглашением, это означа
ет, что	наступило				невоз
можное	событие, и гипо
теза должна			быть отбро
шена, так как она приве
ла к противоречию.					этот
Конечно,			вывод
зависит от выбранной до
верительной				вероятно
сти и	поэтому			не	носит

абсолютного характера. Чаще других используют дове рительные вероятности ß=0,95; 0,99; 0,999; соответству ющие уровни значимости 1—ß=0,05; 0,01; 0,001 называ

ют	5%-ным,	1%-ным	и	0,1%-ным уровнями. Если
у2ѵ^ у 2(/‘—1,		1—ß) при ß =		0,95, то значение>Д, называ
ют	почти значимым, при			ß = 0,99	—значимым, а при
ß=	0,999 — высоко значимым (рис.				10).
	На практике широко используют таблицы распреде
ления у2 (см,		стр. 293),	в которых		приведены значения

§ 31

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ

—Р) — корни уравнения

			00
			\ k m(x)dx = P,	(16)
			X'
где, очевидно, Р =91—ß. Если полученному				в экспери-
менте	значению	Хіѵ	при
т = г—1 отвечает в			таб
лице Р < 0,001,то это зна
чение xjj высоко значи
мо. Например, если при
/■=10	получено	значение
X2n =9,4, то по		таблице
при девяти степенях сво
боды находим, что Рта
«0,40; следовательно, по
лученное значение			до

пустимо.

3.1.3.	З а м е ч а н и я о п р им е н е н ми к р и т е р и я %2-
а) О	в ы б о р е р а з б и е н и я . Если N заранее ограничено, то

нельзя выбирать г слишком большим, тан как тогда будут малыми величины Nßj и неустойчивыми значения ѵу. Обычно рекомендуют

выбирать	Х і так, чтобы	минимальные	Л'ру были не меньше чем 20.
б) О	б о л ь ш и х г.	В таблицах	%2 число степеней свободы т

обычно не превосходит 30. При больших значениях можно использо

вать таблицу	интеграла		вероятностен	(стр. 293), так как распределе
ние величины	£= У 2х2 — У2т близко			к нормальному с параметрами
(0; 1):
	Р =	J	//„, (а)4.Ѵ «	± (1- Ф ( г ) 1,
		і-
где г = \ г ‘2'/р—\| Л2ш.		В	[5] имеется	таблица поправок к последней

приближенной формуле.)

в) О м н о г о к р а т н о м п р и м е и е н и и к р и т е р н я х2Со глашение о невозможности события с вероятностью =^1—ß = P спра ведливо для единичного испытания. Если мы будем повторять наш

опыт много раз, то (в среднем) для 100 Р% полученных значений соответствующие вероятности окажутся меньше Р (при условии, что


гипотеза наша верна).			гипотетическое распределение
г) В	н е к о т о р ы х с л у ч а я х
величины содержит		неизвестные параметры а,, . . . , as и эти пара
метры оцениваются		по результатам тех же N испытаний (т. е. по
значениям	.......... \| w). Тогда также		можно использовать критерий

3 И. М. Соболь

34	ПОЛУЧЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН НА ЭВМ		\|ГЛ. I
X2 для	проверки согласия между значениями gi,	£л, и	гипотети

ческим распределением с подобранными параметрами. Однако пре

дельное	распределение	следует рассматривать с m = r—s— 1			степе
нями свободы [44].				и к » з н а ч е и и я х х2- Допустим, ч
д)	О «с л II ш к о м		х о р о ш
сосчитанное значение		Хдг оказалось		столь малым, что соответствую
щее ему	значение Я > 0,99.		В этом	случае значения \| t, . . . .	g;V на

столько хорошо подчиняются гипотетическому распределению, что. . .

возникает сомнение в пх «случайности».

Как мы увидим ниже в гл. 7, для решения некоторых задач важ но именно хорошее распределение значений (а не «случайность»), и такие «слишком хорошо» распределенные значения позволяют быст рее решать эти задачи.

3.1.4. К р и т е р и и ш2. Рассмотрим одномерную слу чайную величину g с функцией распределения F(x) . Вы

берем N независимых значений |і, . . . , этой случайной вели чины и построим эмпириче скую (или выборочную) функ цию распределения


		Fn (х) =	Sj\i (x)/N,		(17)
	где S.y(a') равно количеству
	значений, меньших чем х. (На
	рис.	11 N = 5). 'Так			как
	Fn (*) — это		частота		собы
Рис. И.	тия	{£<х} при N испытаниях,
	а вероятность			этого события
Р { 1 < А ' } = / 7(а-), то	/\Ѵ (х)	сходится	по	вероятности *)

кF(x), когда N —*■оо.

Вкачестве меры отклонения F,ѵ(х) от F(x) часто используют величину

О	N	J [F (X) -	Fn (а )]2 dF (х).	:о 8)
Со]ѵ
Т е о р е м а	(Р.	Мизес, Н.	В. Смирнов).	Какова бы


ни была случайная величина \|		с непрерывной функцией
*) Последовательность случайных		величин тц, . . . .	Т\|,ѵ,	. . . схо
дится по вероятности к постоянной с,		если при любом	Л > 0	вероят
ность Р ІІПдг—	->-0, когда IV-»- оо.

§ 31 СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ 35

распределения F(x), при каждом x> 0
lim Р (со,ѵ < х] = (.ѵ),	(19)
;Ѵ->-со

где функция щ (х) от %не зависит.

На этой теореме основан критерии согласия со2, по зволяющий проверять гипотезы о функции распределе ния одномерной непрерывной случайной величины Схема использования этого критерия точно такая же, как схема использования критерия %2: фиксируется до верительная вероятность ß; из уравнения

ai(*ß) = ß

находится соответствующее значение хр (рис. 12; табли ца функции йі(а') на стр. 293); по гипотетической функ ции распределения F(x) и эмпирической функции рас

пределения /> (.г) вычисляется

если величина

соді^хр, то это означает, что наступило невозможное событие или, другими словами, наша гипотеза привела

к противоречию. Конечно, предполагается, что количе ство значений N достаточно велико.

По сравнению с критерием %2 критерий со2 имеет од но преимущество: не нужна группировка значений (и, стало быть, не надо вводить параметр г). Применять критерий можно обычно уже при УѴ>50. Однако, чтобы вычислить со2, нужно расположить значения £і.........

впорядке возрастания:

І(1) ^ 1(2) ^ • • •

ПОЛУЧЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН НА ЭВМ

[ГЛ. I

(Такой ряд выборочных значений называется в стати стике вариационным рядом). Если количество значений (т. е. N) превышает объем внутреннего накопителя ЭВМ, то расположение их в порядке возрастания представля ет собой весьма трудоемкую процедуру. Из-за этого при очень больших N критерий со2 используют редко.

Выведем теперь формулу для расчета Шд,. Во-первых, нетрудно проверить, что

		F,ѵ М = ЫМ ПР" ?(/,■) < * <		5(\|[+1),
где	k— 0, 1........../V, и условно І(0) = — «5,^(/у ^ .і)= ” (рнс. 13).				Далее
условимся		для краткости писать/ц. вместо		Ffèp,)). Тогда	нз (18)
следует, что
2	Л'	S(ft+1)
—А' _ V		.	dF (.V) :
Л'	-	.
	1с=0	Е(,,)

N 'P 2АЯ k-Fy^k+])

3	N	2	+ Л'2	JA-=6()i)
So
N								k-
= V					i\ [Fl\	1 — Fl) +		k-		Fu)
= V	(^fc+i		f A-)					л - (^fc-H ~
3	(^fc+i		f A-)					л - (^fc-H ~
ft=0
N	Fl+]		,!FÜ-L-\		k'Fk-\-\
V	Fl+]		,!FÜ-L-\		k'Fk-\-\
jU	3	—	N	+	N-
k=0
	Ң	(A-l)Ai			(Л-	l)af*		1 ,	2A-	1	)
			N		N3		+	/ V f fe—	/V		^ J -

Сумма первых двух квадратных скобок легко вычисляется. Послед ние члены дополним до полного квадрата:

wJv	1	N	r ,	k — 1/2
	__д , J_ ' v		He “	N t k
И Г ~ 3 т N

fc=0L

А — 1/2	k — 1/2\2
N	N

После несложных вычислении получим окончательную формулу, ко торую удобно записать в следующем виде:

Шд, = 12..Ѵ-42%	k — 1/213	(20)
Шд, = 12..Ѵ-42%	f (?№))■ ' N *	(20)
ft=i		V

§ 3]	СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ			37
3.2.		Проверка таблиц случайных цифр. Для прове
ки таблицы		случайных цифр еь	е2, . . . , ел- М.	Г. Кен
далл и	Б.	Б. Смит предложили	использовать	четыре

теста. В каждом из них цифры классифицируются по не которому признаку и эмпирические частоты сравнива ются с их математическими ожиданиями при помощи


критерия у2. Тесты		эти: f)		проверка частот		(frequency
test) — проверяется частота				различных	цифр	в таблице;
2) проверка	пар	(serial		test) — проверяется			частота
различных	двузначных		чисел среди		пар	s і ег, е2 е3,
е3е.і.........е,ѵ_і е,ѵ; 3)		проверка интервалов (gap					test)—■

проверяется частота различных интервалов между дву

мя	последовательными нулями;	4) проверка	комбина
ции	(poker lest)— проверяется	частота различных		ти
пов	четверок (abcd, aabc, aabb,	aaab, aaaa)	среди	чет

верок eie2e3e.i, г2езеіе5, ...

Большинство последующих авторов также использо вали эту систему тестов, внося, однако, в нее некоторые изменения, среди которых отметим два. Вместо провер ки интервалов обычно используют проверку серий (run


test): цифры sft+i,	eft+2,	• • • >eft+i образуют серию длины /,
если еЛ+і = еЛ+2=	... =	е„+І, но еА=^еЛ+і, еи+і+1 ф е к+і. Вме
сто проверки пар	еіе2, е2е3, е3е.і,		... преверяют незави
симые пары еіег, е3Е4, 6585, ...			зрения (она изложена
С детерминистической точки

в гл. 7) проверка частот и проверка независимых пар — важнейшие необходимые тесты. Проверка серий обоб щает «критерий случайности», часто используемый в статистике [24]. И только проверка комбинаций носит несколько искусственный характер. Поэтому можно ре комендовать в качестве основных использовать следую щие два теста.

П е р в ы й т ест (проверка частот и пар). Предполо жим, что количество цифр N — 2N' четное. Цифры еь ...

..., е.у разобьем на пары еіб2, 8384, ..., е.ѵ-іе.ѵ. Обоз

начим через V,-,-		количество пар ij. Сосчитав матрицу
Дѵ«), 0< /,	9,	легко вычислить также величины
	9	9
Ѵ£. =	Уі V[j, V.j = 2 Vf/, V/ = V£. -j- Ѵ.і.
	/—О	і—О

Смысл этих величин очевиден: vä. — количество цифр,

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 324 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ