Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.56 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 3217 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

										Т а б л и ц а 2
	Грубые			Основные методы уменьшения			Двухэтапные схемы		Сл. кв.	Смещенные
	оценки			дисперсии			Двухэтапные схемы		ф-ла		оценки
	1 1 2		3	*	•>	«	7	8	9	10	И
О Q	0,0242	0,172	0,0044	0,0027	0,00078	0,0061	0,00039	0,00040	0,00079	0,0029	0,0029
*10	20,3	23,3	20,8	26,1	19,4	22,1	21,8'	28,0	47,1	20,9	20,8
flo ' ОѲці	0,49	4,0	0,091	0,070	0,015	0,13	0,009	0,011	0,037	0,061	0,060

Т а б л и ц а 3

	ГруСые			Основные		методы уменьшения		Двухэтапные схемы		Сл. кв.	Смещенные
	оцепки				днснерснн			Двухэтапные схемы		ф-ла		оценки
	1		з	1	1	5	о	7	h	9	10	11
в«	1,901	1359	1,798		1,782	1,708	1,804	1,726	1,745	1,731	1,778	1,770
е , „ - /	0,183 —0,359		0,080		0,064	—0,010	0,086	0,008	0,027	0,013	0,060	0,052
гіь	0,10	0,28	0,044		0,035	0,019	0,053	0,013	0,014	0,019	0,036	0,036

ГЛ[ )ОЦЕНКИ СЛОЖНЫЕ( ИНТЕГРАЛОВ ВЫЧИСЛЕНИЕ

УПРАЖНЕНИЕ К ГЛ. 4

159

В табл. 3 приведены значения Ѳю н ошибки Ѳю— /, полученные

при расчете всех этих оценок с помощью случайных чисел у ; , выписан-
•	И
ных на стр. 108. (В качестве у;	и y it необходимых для расчета оце

нок 2 и 9, выбирались дальнейшие группы цифр из табл. 4 (стр. 295), умноженные на ІО-6 .) Здесь же указаны вероятные ошибки г|0. Лег

ко видеть, что фактические ошибки по порядку хорошо согласуются с вероятными ошибками, хотя количество слагаемых во всех оценках слишком мало для того, чтобы можно было гарантировать примени мость центральной предельной теоремы.

Упражнения к главе 4

1.Пусть G — конечная область в л-мерпом пространстве. Пр

положим, что дано разбиение G = G і +

. . .

+ Gд/ и каждая из обла

стей

Gi центрально симметрична с центром

Sy.

Пусть

— случай

ная точка, равномерно распределенная в Gy, а

симметрична

(относительно центра

S^):

= 2Sy. В

качестве

оценки для

интеграла

/ 0 =

Jf[P)dP

рассмотрим симметризовапную

формулу /

2 y [/(q(/))+/(q(/,')]>

/=і

где

Vj — объем области

Gy.

Доказать,

что

если

\(Р) и все

ее

частные

производные

первого

второго

порядков

непрерывны

G, причем для

всех

к, I=

2, . , .

, л

^Ц д х кдх^ < L,

ивыполнено условие (11), то для дисперсии Ѳ^1* справедливо не равенство

D 0 ” >< с 2/ . ^ - 1 - 4 " 1,

где с = 0 ,5 л 2 С2^ 2>

При этих же условиях оценить погрешность квадратурной фор мулы

/ . - і V ( s/) < cLN~2ln. /■=1

У к а з а н и е . Доказательства аналогичны пп. 1.2 и 1.3.

(Для случая G—K n и разбиения, изображенного на рис. 48, это

предложение доказано Н. С. Бахваловым [11: см. также С. Хабер

[128]).

1G0

ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ (СЛОЖНЫЕ ОЦЕНКИ)

(гЛ. 4

2.Доказать, что математическое ожидание оценки

	ѳ	Л1-1			+ уп
	ѳ	V	ffil+Jll		+ уп
	,jV	мп	\	М ’	М
		......Ці=0
все узды	которой	зависят	от одной	случайной	точки (уі........... у„)>
равномерно распределенной в единичном кубе Кп, равно
		М0,ѵ = J f ( P ) d P .
			кп
					(Б. Л. Грановский)
3.	Доказать, что		величина У N ( 0Л, — / 0) из п. 3.1 асимпто

ски нормальна, и вычислить главный член (37) дисперсии Обд,.

ГЛАВА 5

РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ 1. Интегральные преобразования

1.1.Итерированные функции. Рассмотрим функци

ф(Р), определенную в некоторой области G на плоскости

Р= (х, у), и функцию К(Р, Р'), определенную при P<=G,

Р'е С . Интегральное преобразование

Мф (Р) = I К (Р, Р') ф (P') dP'	(1)
а

преобразует функцию ф(Р) в функцию /<ф(Р), которую называют итерацией функции cp(Р) с помощью ядра

К{Р, Р'). Второй итерацией функции ф(Р) (с помощью ядра К(Р, Р')) называется функция ККу{Р), которая обозначается К2<р(Р).

Очевидно,

Khр (Р) = f f К (Р, Р') К {P', Р") Ф (Р”) dP'dP".

о в

Точно так же определяются /<3ср(Р), . . . . К'ф(Р), ■. і Вычислять такие интегралы можно методами, указан ными в гл. 3 и 4. Однако задачи, в которых приходится вычислять итерации функций, имеют свою специфику: обычно требуется не одна какая-нибудь итерация, а не сколько или даже все итерации до некоторого порядка. Поэтому вычислительные схемы Монте-Карло выбирают так, чтобы все эти итерации вычислялись одновременно

по одним и тем же случайным испытаниям.

Далее, многие методы приближенного решения инте гральных уравнений используют не сами значения К'ф (Р),

И И, М, Соболь

162

РЕШЕНИЕ ЛПШ-ППЫХ УРАВНЕНИЙ

[ГЛ. 5

л некоторые функционалы от /('ф(Р), чаще всего — лппеііные, представимые в форме скалярных произве дении.

Условимся записывать скалярное произведение фупк-; циіі ф(Р) и ф(Р) в виде

(Ф, Ф )= с$4>(P)y[(P)dP.

(2)

В следующем пункте мы рассмотрим задачу о вычисле нии интегралов вида (ф, /\'ср). Заметим, что если об ласть G я-мерпая, то интеграл (і|\ /С'ср) представляет со бой я (t-f-l) -кратный интеграл.

В дальнейшем мы будем предполагать, что cp(P)eL3(G), ■\\'(P)^L2(G), і\(Р, P') ^ L o(G'X^G).

Эта запись означает, что

I ч 2d P <

о о ,

.[ \ \ Ч Р < с о ,

J I К 2сІР dP'

с о .

G G

Легко

доказать, что

если

ф (Р )е Р 2(0)

ф (Р )^

e P 2(G),

то скалярное

произведение (2)

конечно. Это

вытекает из неравенства

(1) на стр. 292:

I фф dP <

f |фф| dP <

f f rp\IP •

f \f-dP}1'2 <

oo.

)

Так

же

легко

доказать, что

если

cp(Р) ^ L 2(G) н

К(Р, P ') ^ . L i(G \G ), то

А'ф(Р) eZ.2(G).

В самом деле,

из (1) следует, что

|Аф (Р)|3<

f I ІА- фі dP’X <

J К2(P,

P') dP'

J' Ф* (P') dP'.

[G ’

)

Интегрируя это неравенство по Р, получим

f |Аф|2dP <

Я /<2 (Р, P') dP'dP J ф2{P') dP' <

oo.

в а

Отсюда вытекает, что п /Сгф(Р)...........А'ф(Р), . .

. при

надлежат Lo(G).

П р и м е р .	Область	G представляет собой треугольник л > 0 ,
j/> 0 , x~jrу < 1	(рис. 49),	ядро К{х, у, х \ у')=хх'-\-уу'. Если выбрать

5 П ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 163

ф (-Ѵ-, у) = 1 , то

	1		1 - л '
Д'ф (X, у) —	{ dx'		J	dy' (xx' -I- уу’) =		-1 {X +	у),
	о	о				b
	1		І - л - '
Д 3Ф (х, у) =	I	rf-v'	[	<///' (xx' +	yy') — (л;' +		(/') =	(л + у);
	о	о				0	0-0
нетрудно проверить,			что	/<Г1ф = 6 “ 1	8 1— *	(х+ У)	при і = 1 ,	2 ,	. . .	'
1.2.	Вычисление линейных					функционалов			от	итер
рованных функций.				Предположим, что в области					G за
даны функции		cp( P ) ^ L 2(G),			г))(P )e L 2(G), К(Р,				Р ') ^
e L 2(G><G)	и требуется вычислить интегралы							(»[•>, /СЧр)
' для j — 0, 1,		,і.
Выберем в G произвольную плотность вероятностей
р(Я),допустимую по отношению к \\>{Р) (см. гл. 3, п. 3.2),
и произвольную			условную		плотность		вероятностей
р(Р, Р') — р{Р'\Р),				допустимую по отношению к ядру
1\(Р, Р'). Условия нормировки
\ р(Р)с!Р				\р(Р, P')dP' = 1.
а				а

Определим в G случайную траекторию Т{ (рис. 50)

- Т і — (Qo —> Qi

где точка Q0 имеет плотность р{Р), а плотность точки

Q, при известном значении Q,_і равна p{Qj-1, Р). Функ цию р(Р, Р') часто называют плотностью вероятностей перехода из точки Р в точку Р' и обозначают p {P z± P ’),

Н*


164		РЕШЕНИИ ЛПНЕПНЫХ УРАВНЕНИЕ!				[ГЛ. 5
а функцию р{Р) называют начальной				плотностью.		Тра
екторию можно интерпретировать как точку в GX-						•	-X
X G — G i+'. П л о т н о с т ь вероятностей				этой точки равна
Pi(Qo, • • • , Qi)=p(Qo)p{Qo, Qi)- . -p(Qi-1, Qi).							(3)
Функцию	(3)	называют плотностью траектории 7\.					на
Введем	в рассмотрение функции от траектории,
зываемые обычно весами:
		К (Q„, Qi) К (Qu Q.,) . . . К			Qj)
	1	Р(Qo,	Qi) P (Q i. Qt) ■■■P (Qj-i.		Qj) '		{ '
которые определены			при у = 1, 2, . . . , і.		Для j — 0		по

ложим №0= 1; тогда справедлива рекуррентная формула
Wj— №j_l [/\ (Qj—1, Qj) Ip (Qj-Ь Qj)],	(5)

которая позволяет последовательно вычислять все Wj но мере расчета траектории.

Обозначим через 0,[ф] случайную величину
0,[ф] = [M'(Qo)/Д(Qo) ] VXtcp(Q,).	(6)
Т е о р е м а 1. Если условия, перечисленные	в начале

пункта, выполнены, то математическое ожидание вели

чины Ѳ,[ф] равно (ф,			К'ф)
		М0,[ф] =		(ф,	Л » -			(7)
Для д о к а з а т е л ь с т в а				теоремы		вычислим	это ма-
мематпчсское ожидание:
	МО; [ф] = J • • • I Ѳі [ф] p 4 Q o • • ■d Q i .
		в	с
Приняв	во внимание		соотношения			(3), (4) и	(6),	по
лучим*)
М0і [ф] =	f № -) dQ0 f .. . f WiPiФ m					dQi .. . dQi =
	в HWo>	6	а
= I Ф (Qo) dQ0 .f... J /С (Q0, Qi)					К (Qt—l, Q t ) Ф ( Q t )			X
а	а	в
	XdQj	... dQi = f ф (Q0) dQaK!(f>(Q0) =					(ф, K‘cp).
			G

*) В этой глапе переменные интегрирования иногда обозначают ся той же буквой Qit что и случайная точка.

5 П	ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ	165
Доказательство теоремы нуждается в одном уточнении. Плот
ности р(Р)	п (или) р(Р, Р') могут обращаться в нуль в тех	точках,

в которых \р(Р) и (или) К(Р, Р') обращаются в нуль. В таких точ

ках формулы (4), (5) и (6) не определены. Можно доопределить в

этих точках	№7 и 0(- [ф], полагая их равными нулю. На значение ин
теграла это		не повлияет, ибо если произведение p(Qo)p(Qo, Qі ) . . ,
- . . p(Q ,-_i	,	Qi) равно нулю в некоторой области ß c z C X - . - X G , то
произведение		tJ>(Q o) ^ ( Q o. Qi) .../<" (Qt-_i , Q,-) также равно нулю

в В и интеграл по области В равен нулю. В дальнейшем мы огова

ривать доопределение соответствующих величии не будем, так как это всегда может быть осуществлено таким же образом.

Теорема 1 позволяет построить метод Монте-Карло для расчета величин (ф, /Сер). В самом деле, если по указанным правилам построить N траекторий вида 7\ и для каждой из них вычислить Ѳф-ф], то при достаточно большом /V

(Ф, к ѵ ) ~ т ! - 2		е л и ,		(8)
/Ѵ	s = l
где Ѳг[ф]„ — значение Ѳ,[ф],	сосчитанное для s-й траек
тории. Так как часть (Qo->- Qi		Q;)	траектории T{
при /< д представляет собой траекторию			того же	типа
Т), то по тем же точкам можно		вычислить Ѳфф].		и оце
нить (ф, /Сф) для /<£.

Если требуется вычислить несколько скалярных про изведений (ф, /Сер) с различными функциями ср и ф, го это можно осуществить с помощью одних и тех же тра екторий Ті, так как закон построения траекторий зави сит только от р{Р) и р(Р, Р'), но не от ср и ф; и если вы брать положительную плотность р(Р), то она будет до пустимой по отношению к любой ф(Р).


1.3.	Вычисление	значений		итерированных функци
Мы укажем три способа оценки /Сср(Р).
1.3.1.	Т р а е к т о р и и с			ф и к с и р о в а н н о й н а
ч а л ь н о й	точкой.	Формально, для того чтобы вы
числить значение /Сср(Р)			в точке Р = Р 0, можно выбрать
/о ( Я )= ф ( Р )= б ( Р —Со),			где	б(Я)-дельта-функция

Дирака*). Тогда из (7) вытекает, что

М 0,[б(Р-Ро)] = (б(Я-Яо), /Сер) =/Сф(Ро).

*) Хотя дельта:функция и не принадлежит L2(G), но скалярное произведение (б, К ‘ ф)конечно.

166

РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ

[ГЛ. 5

Выбор в качестве начальной плотности дельта-функции означает, что начальная точка фиксирована: Qo— Po. Со кратив в (6) i|?(Qo) с p(Qo), можно переписать (7) в виде

M{Wsp(Qi)\Qu=Po}=K\p(Po). (9)

Итак, если все /V траекторий 7\ начинать с фиксиро ванной точки Q„=7Jo, то

/('<, (Р0) « ¥I	^,ѵ {Wi4 (Q,)\|Q0 ^	Р0}„	(10)
где индекс s имеет тот	же смысл, что	в (8). Конечно,
формулу (9) можно вывести не прибегая		к помощи дель

та-функции, а рассматривая лишь траектории, начина ющиеся из точки Р0 и пх плотность.

Изложенный метод, очевидно, неудобей, если нужны значения /Сер(У3) во многих точках, ибо из каждой та кой точки пришлось бы строить «свои» N траекторий. Следующие два способа позволяют использовать одни и те же траектории для оценки К‘ц>(Р) во многих точках.

1.3.2.	С р е д и н е з н а ч е н и я по о б л а е т и. Об
начим	через %а{Р)	индикатор		произвольной	области
	у (Р) =	/ 1’	еСЛ1‘	Р £ В>
	L<	ІО,	если	PQB.
Пусть р (Р) — произвольная			«весовая» функция. Если в
формуле	(7) положить ф— рхи, то
Мб,- ІРХь] = (p/в, /С'ф) = вf р (Р) К 1Ф(Р) dP.					(11)

Формула (11)'позволяет по N траекториям вида Tt оце пить среднее значение К‘ср(Р) с весом р(Р) по любой области В:

(К‘<р)в = вf Р (Р) /Оф (Р) dP/вf р (Р) dP.

так как стоящий в числителе интеграл

.f р (Р) К 1ф (Р) dP Ä3 ¥ 2 Ѳ; [рів]3.

(12)

Наличие справа величины ув имеет простой смысл: сум

мируются Ѳ,[р], но только по тем траекториям,	для ко
торых начальная точка Q0e ß .	і

§ 1]

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

167

Конечно, надо иметь в виду, что если область В очень мала, то в (12) окажется очень мало слагаемых, отлич ных от нуля, п точность такого метода расчета будет не высокой.


	Обозначим интересующую нас функцию через н=/С'ф IP)- Ме
тод	настоящего пункта позволяет					вместо значении и{Р{).......... и (Я/;)
в	заданных	точках	Р\, . . .		,	Рк	вычислить		средине значения
(/ß), . . . , itß по некоторым областям							Ви	,	Bk .содержащим со
ответствующие		точки	Р\, . . .	,	Р . Оцепить			погрешность		такого при
ближения нетрудно,			если	по	полученным			значениям		ив 1, . . . , и як

можно составить себе представление о поверхности и(Р). Например,

пусть вместо значения	н(.ѵ0)	мы вычислили	среднее значение
	д‘и-j- h	l.v,,-] h
" о =	I	н (.v) A- d x l I	А- СІХ.
	.V„—/I	IV,,'—h

Если и (x) «в(.ѵ ) — a-\-bx2, то ошибка и,-)— ti(x0) приближенно равна


p0— P U'u)		b (Ар J - h)1— (.Vq— /0'		— bxi =	b lr .
		^ (a-„ + h)" —(.v„ ■Л)ö
1.3.3.	Оц е н к а		коз ф ф и ц п е н т о в		Фурье. Выб
рем в качестве ф(Р)			в (7) несколько ортонормировап-
ных функции фі (Р), . . . , ф,„(Р), так				что (ф,„ ф.,)=6„.,-.
Здесь 6Ы— символ Кронекера: 6W=()				при k=j=j п 6,„t= l .
Формула	(7) позволяет оцепить коэффициенты Фурье cih
функции /Сер(Р)		относительно я\|-(1(Я):

Сип= (/С'Ф, \\\) = М 0,- [\|\].

Пели система функций фь . . . . ф,„ выбрана достаточно разумным образом, то

К 1ф ( Р )	Ü Сі.Ид- (Р ),	(1 3 )
	*=1
II, вы числив приближ енны е значения
I	N	(14)
C i.k ^T rh 0{[ф*Ь,		(14)
Л	s= l

получим приближение (13) для К!ц>(Р) во всей области. 1.4. Случайные траектории с поглощением. Траект

рии типа Ті — далеко не единственный способ вычисления итераций методом Монте-Карло. Зададим произвольную

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 3217 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ