книги из ГПНТБ / Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло

например, невыпуклая или несвязная или такая, что гра­ ницы на отдельных участках трудно записать в явном виде. Предположим лишь, что существует достаточно простой алгоритм, позволяющий определить, принадле­ жит ли области В любая заданная точка (х, у) или нет.

Выберем прямоугольник П = {яі<л'<Ьі, а2<.у<.Ь2}, содержащий область В (рис. 32). Координаты случайной

точки Q ^ d ', г]'), равномерно распределенной в П, легко вычислить (п. 2.1):

l ' = öi+*Yi (*і—аі), ц '= а 2 + Ь (Ь2—а2).

Для нахождения точек. Q, равномерно распределен­ ных в В, можно вычислять точки Q', равномерно распре­ деленные в П, и отбирать среди них те, которые принад­ лежат В. В самом деле, для любой области G <=В

P { Q e C ) = P { Q ' e G } I Q ' & S } = P { Q ' e C | P { Q 'ceB}.

Так как Q' равномерно распределена в П, то вероят­ ность попадания Q' в любую область пропорциональна площади этой области: Р{Q'i=G} = S G/Sn, P{Q'efi} = = S BISn■Следовательно,

P { Q e Ö } = 5 c/Ss.

или, что то же, плотность pQ{x, y) = l/SB в области В. Эффективность такого метода равна отношению

площадей

з = 5 в/5ц-

§ 51 МЕТОДЫ ОТБОРА 81

Поэтому э будет наибольшей тогда, когда площадь П минимальна — результат очевидный геометрически. Яс­ но также, что в тех случаях, когда область В хорошо

то, что э близка к 1/2, по полученным здесь формулам случайные точ­

ки в шаре вычисляются быстрее, чем по формулам п. 2.4.1, в которых

вычислять значения Q' можно различными методами. Если каждая точка Q' вычисляется по п случайным числам уі...........уПі где п ^ т ,

то все координаты Q' представляют собой функции т),= g{ (у ............ y^),

Формально можно считать, что (45) — это частный случай (36), так

6 И. М. Соболь

пользовать для моделирования той или иной конкретной случайной величины |. Ответить на такой вопрос одноз­ начно нельзя. Целесообразность тех или иных преобра­ зований зависит от многих факторов.

Например, часто стремятся к минимизации времени, затрачиваемого на получение одного значения |. Однако за такую минимизацию приходится расплачиваться уд­ линением программы и (или) расходом места во внут­ реннем накопителе ЭВМ. Если во внутреннем накопите­ ле места много, то можно использовать таблицу с интер­ поляцией (см. конец п. 1.3): такой способ будет, как правило, самым быстрым. Поэтому выбор любого друго­ го способа моделирования — это компромисс*).

Далее, выбирая преобразования, редко учитывают качество псевдослучайных чисел. Но одномерное рас­ пределение чисел "ff обычно тщательно проверено, а рас­

формула вида i= g("f). Поэтому уменьшение количества случайных чисел, затрачиваемых на получение одного значения |, иногда представляется весьма желательным (особенно с точки зрения гл. 7).

К счастью, при расчете многих задач время, затра­ чиваемое на преобразование случайных величии, не слишком велико, и можно выбирать самые простые и ес­ тественные способы моделирования.

*) Еще быстрее — осуществлять случайную выборку из заранее заготовленной таблицы значений §. Для некоторых случайных вели­ чин такие таблицы имеются [165], однако в расчетах на ЭВМ при­ меняются они редко (ср. конец п. 1 3 гл. 1).

Интересно отметить, что точно так же можно использовать таб­ лицу для моделирования случайной величины, значения которой по­ лучают экспериментально и функция распределения которой неизве­ стна (даже в многомерном случае],

6*

Г Л А В А 3

ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ

Во введении уже упоминалось, что в подавляющем большинстве задач, решаемых методами Монте-Карло, вычисляют математические ожидания некоторых случай­ ных величин. Так как чаще всего математические ожи­ дания представляют собой обычные интегралы, то цент­ ральное положение в теории методов Монте-Карло занимают методы вычисления интегралов.

В настоящей главе изложены наиболее важные и вместе с тем наиболее простые методы, знакомство с которыми необходимо каждому специалисту в области Монте-Карло. Более сложные методы, не имеющие пока значительных практических применении, по намечаю­ щие, как нам думается, основные направления развития методов вычисления интегралов, рассмотрены 'в гл. 4.

Впрочем, п. 1.1 гл. 4 мог бы быть отнесен к гл. 3: вы­ борка по группам не раз использовалась в практических вычислениях. Численный пример, приведенный в конце гл. 4 (п. 3.3), относится к оценкам, рассмотренным в обеих главах.

Заметим, что почти все результаты этих глав легко обобщаются па интегралы Римана — Стилтьеса (и даже Лебега — Стилтьеса [33]). Мы, однако, всюду рассматриваем только интегрирование в смысле Римана.

§1. Общий метод оценки математических ожиданий

1.1.Сходимость метода. Рассмотрим произвольну случайную величину g, у которой существует математи­

ческое ожидание ЬА\— а. (Напомним, что по определе­ нию математическое ожидание МІ существует тогда и

только тогда, когда существует М |||. ) Чтобы оцепить величину а, выберем N независимых реализаций

. случайной величины £ и вычислим среднее ариф­ метическое

Так как последовательность одинаково распределенных независимых случайных величин, у которых существуют математические ожидания, подчиняется закону больших чисел (теорема А. Я- Хинчина [44]), то среднее ариф­ метическое этих величии сходится по вероятности *) к математическому ожиданию: при N ->■со

— р

ку (1) можно использовать во всех случаях, когда су­ ществует М |= я.

Из курса теории вероятностей известно, что последова­ тельность одинаково распределенных независимых слу­ чайных величин с конечными дисперсиями подчиняется центральной предельной теореме. Последнее означает,

ЧТО ДЛЯ Л ю б ы х Х \ < ^ Х ч

Выберем х2— —Хі— х. Тогда из последнего соотношения

) Определение сходимости по вероятности приведено ка стр. 34.