Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.56 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 3213 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ

[ГЛ. 3

при a ^ x ^ b . 11 можно записать очевидное неравенство

j V (х) Р (л-) dx > 0.

Проинтегрировав по частям, получим неравенство

I / (-V) ѵ' (х) dx < о.

Подставив сюда выражение для ѵ'(х), получим (37). Случай невозрастания J(х) рассматривается точно

так же, так как тогда о(х) ^ 0, f'(.v) ^ 0.

П ри м е р. Рассмотрим интеграл

	/ =	1
	/ =	[ exdx.
		о
Симметрнзовапная функция		в	этом примере		равна		jO)(x) —
			= ( l/2 ) (er+fi - A- )				(рис. 40), а
			соответствующая оценка
					N
			Ѳ;й =(2,Ѵ )-'		2	(evf + el - T 0 .
					i=i
		■	Дисперсия осредпяемой величи
			ны равна
			DZ°> =	(1/4)	[Че —
			- ( < ? -	1) (3<? — 5)j = 0 ,0 0 3 9 2 .
			Это во много раз .меньше, чем
			DZ = 0,2420.
			3.3.2. О е л о ж н о й с и м-
			м е т р п з а ц и н .			Интервал		о <
			< х < Ь	можно		разбить на		ко
			нечное число частей п на каж
			дой из них использовать прос
			тую симметризацию.
			, Ь) на две равные части. Пусть
с	ь
1о = \ 1 (У) dy ~г § f (у) сіу =
а	с
с			(1/2) J II (У) -і-7 (с -Vb-y)\dy.
= (I/2) ] (/(</)	-г /{а -г с — y )\d y -(		(1/2) J II (У) -і-7 (с -Vb-y)\dy.

В первом из этих интегралов сделаем замену переменной .ѵ = 2у — а, которая преобразует интервал (а, с) в (а, Ь), а во втором — замену

5 3]	СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ ХОРОШИХ		ОЦЕНОК	119
х — 2у — Ь,	которая преобразует	интервал (с, Ь)	в (о, Ь).	Получим
выражение
	/о = J	/(2) (х) dx,
где	а
где
/™ м - т [ і (" + ')+		,(Ч - * ) ч /(2- ^ = г ) ‘.

Следовательно, для оценки интеграла /0 можно использовать вели чину

		0^	= ( 1/ Л ' ) Ѵ z}2\
			i=l
где	Zj2*— значения случайной величины				= (è — о ) / ^	(\|) .
	П р и м е р. Рассмотрим интеграл
		I
		/ = f (2 — З.ѵ — х") dx = 1 /6 .
		b
Так как f(x ) — 2—З.ѵ — .ѵ2, то нетрудно вычислить, что
	/<»() = —**,		/<2>(*) = (1/8)(1 +2.С-2.Ѵ2).
Сравним дисперсии величин
		Z = !(y), z«1» == / fl>(v)		и Z«>. = /<2 ) (y):
	DZ =	I
	DZ =	f(2 — З.ѵ — ,v2)-(/.v — 1/36 =		41/30 — 1/36 = 211/180-
		b
		1
	DZW = [(x — x 2y2dx — 1/36 =			1,30— 1/36 = 1/180;
		b
		I
DZ<2) =		(1/64) f (1 + 2 * —2*3)3 c/.v - 1/36 =			9/320 — 1/36 =	1/2880.
		b
F.c.ni обозначить время расчета f(x) через t,					то времена расчета /0) (,ѵ)
и	(х) приблизительно равны 2t и it.			Следовательно, трудоемкости
трех способов расчета равны соответственно
		24 Ul 180 > 2lj 180>		0,25//180.

3.3.3. К сожалению, различные методы симметриз ции, весьма наглядные и эффективные в одномерном случае, становятся громоздкими и трудно оцениваемы ми при переходе к функциям многих переменных. Даже простая симметризация функции f(x, у, z) по всем пере-

120 ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ [ГЛ. 3

меиным в единичном кубе содержит уже 8			слагаемых:
fll)= ( l / 8)	[}{х, у, z) +/ ( 1—-V,	у, z)+f{x,	1 —у, 2) +
+ f ( x , У,	1— z ) + f ( l — Л, 1 - у ,	z) + / ( 1 — X,	У,	1 - 2 ) +
	+f(x, 1 - у , 1—г) + / ( 1—А', 1-у,			1—2)].

Некоторые способы одномерной симметризации рассмотрены в рабо тах [133, 136, 149]. См. также упражнение 6.

При расчете методом Монте-Карло ряда физических задач [29] используют приемы, которые по существу представляют собой частич ную симметризацию (по отдельным переменным). Например, вместо того, чтобы моделировать случайное направление каждой частицы,

вылетающей из заданной точки О (рис. 41), по формуле cos0=»

= 2 у — 1 рассматривают пару частиц, которые вылетают по направле ниям 0i = arccos(2y— 1) и Ѳ2= я — Ѳі. Выбор направления Ѳ2 равно силен использованию 1 — у вместо значения у. Такой способ модели

рования обеспечивает более равномерное расположение траекторий частиц в пространстве.

3.4. Двухэтапные схемы расчета. В некоторых зад чах можно указать не одну «хорошую» оценку, а целое семейство, зависящее от параметров. Возникает вопрос о наилучшем выборе параметров. Обычно условием вы бора служит требование минимума дисперсии оценки (при этом молчаливо предполагается, что время расче та одного испытания слабо зависит от значений пара метров) .

Аналитическое решение в этой ситуации, как прави ло, невозможно. Однако можно рекомендовать числен ный подход: на первом этапе весьма грубо вычисляются дисперсии оценки при различных значениях параметров (это нетрудно сделать методом п. 1.4 по небольшому ко личеству N испытаний); на втором этапе решается ос новная задача, при помощи оценки с наилучшей систе мой параметров. Известные по первому этапу время счета и дисперсия позволяют довольно точно оценить объем работы, необходимый для достижения заданной вероятной ошибки.

§ 31 СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ ХОРОШИХ ОЦЕНОК 121

Мы рассмотрим два примера одпопараметрических оценок.

3.4.1. В п. 3.1.1 для приближенного вычисления интеграла

	/ =		(' f ( P) p ( P) d P
использовалась оценка			в
использовалась оценка
			N
Ѳ/Ѵ=	С + ( 1/Л') V			[/((?<)- А		(<2,01.
			і=і
где Qt— случайные точки		с	плотностью		р(Р),	а	//(Р) — некоторая
функция, «близкая»	к	1(Р), интеграл			которой		известен:	С=
= \|/г (Я) р (Р) dP- Обе функции f(P)				и /і(Я) принадлежат Lo(G;				р).

Можно пыбрать произвольный параметр а и рассмотреть более общую оценку интеграла I

			N	[/ (Q .) _ ah (1?,.)].
		ѳ£> = о с +	(1 /Л’) V			(38)
			1=1
Действительно, в (38) осредняется				величина Z(ct)= a C + f ( Q ) —ah(Q),
математическое ожидание которой МZ(K) = / . По известной формуле
о дисперсии суммы
	DZ<a> = D/ (Q) -		2ar \ r Df (Ц) D/i (Q) +		(Q),	(39)
где г — коэффициент корреляции величин f (Q) и li(Q):
	г =	М {[f ( Q) ~ /] [А (Q) — С]} [D/ (Q )D A (Q )]-1-'2.
Простые	вычисления показывают,			что минимум DZ^“1 реализуется
при a =	a„ =	г У Df (Q)/Dh (Q) и равен
		min DZ<a) =	D Z ^	= (1 — г") Df {Q) .
		a
(Теоретически		возможен даже случаи DZ^“1 = 0, который реализует
ся при I г I = I;		однако на практике, если \| г \| = 1 ,			то случайные вели
чины HQ)	и h(Q) связаны линейной зависимостью /'(Я) =Ah{P)-\-B,

и искомый интеграл равен /= Л С + Д ;	никакие приближенные оценки
не нужны).
П р и м е р. Требуется вычислить интеграл
I
/ = [ exdx =	е— 1.
о

Так же, как в п. 3.1.1, положим Л(.ѵ)=.ѵ,' но вместо оценки (23) вое? пользуемся оценкой (38)

Я р - Ш + ЩЮ V ( Л -ay,.).

і=і

122

ВЫЧИСЛЕНИЕ

ИНТЕГРАЛОВ

[ГЛ S

Так как

D/ = \e-xdx — I- = 0,2420,

Dli =

f x'dx -

(1/4) = 1/12,

___

г Y

D/Ш = \ (ех -

(.V -

1/2

dx =

(1/2) (3 -

е),

то маилучшее значение а 0 =

6(3 — е) — 1,6903,

и соответствующее ему

значение дисперсии равно

DZ(a'> =

(1/2) (е2 -

1) -

Р -

3(3 -

е )2= 0,00393.

Это примерно в 10 раз меньше, чем D2' в п. 3.1.1. Ничего удивитель

ного в таком результате нет:

из рис. 42

видно,

что

прямая у — І +

+ с!0(-ѵ — 1/2)

гораздо лучше

приближает

функцию

у — с*, чем пря

мая у — /-f-.v—1/2. '

3.4.2. Чаще других встречается

метод существенной выборки, за

висящий от параметра. Если при

всех а (из некоторого множества)

плотности р(Р\ а) допустимы по

отношению к

1{Р),

то

интеграл

/ о = 1

(Р) dP

можно

вычислять

методом

существенной

выборки

(п. 3.2) с любым и. Нанлучшес

значение

а - а » — это

значение,

при котором

достигает

минимума

интеграл

f \r-(PYr(P-,v.)]dP,

фигурирующий в выражении (29) для дисперсии. Аналитическое ис следование способов выбора и имеется в статье А. Маршалла [157]. Однако па практике обычно выбор а осуществляется эксперименталь

ным способом, указанным в начале п. 3.4. П р и м е р . Интеграл

		/	= f exdx
			о
в п. 3.2.1 вычислялся		методом	существенной	выборки с плотностью
р(х) = (2/3) (1+л‘) . Рассмотрим			теперь семейство допустимых плот
ностей
	р(х\	а) = (1+ а .ѵ )/(1+ а /2),		а > 0 .
Для	разыгрывания значений		случайной величины £ с плотностью
р(х;	а) методом обратных функций получаем уравнение

(б + «52/2 )/(1 + а /2 ) =Y .

(?ѵ)

§ -II ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 123

решение которого нетрудно записать із яыюя виде. Окончательная

оценка	интеграла I:					N		t
				-L а;2) А'“ 1		N		t
		Ol“ » =	(1	-L а;2) А'“ 1		У	er‘ (1 л а ;,- )-!,
						I -	1
где I і	= (1/а)	[ ] / l -I- а		(а + 2) у. — і ] .
В	этом	примере		дисперсия		осредпяемон величины Z ^ =
= (М-а;'2) е?		(1 -\|-а \|)- 1 ранна
			1		а /2) (1 -I- a x ^ e ^ d x — I2.
		DZ(a>=	С(1		а /2) (1 -I- a x ^ e ^ d x — I2.
			'о
После замены переменной цт/= 2(1+а.ѵ)								это выражение превратится в
	DZ(tx^= ( 2 —1 +				а - ') е~ - “		f	euij~ydij — I2,
							Іа

где интеграл выражается через интегральную показательную функ цию Еі (лс):

DZ<a) = (2—1 + а ’-1 ) е ~ ~ ' а [ і і (2 + 2/а ) - Ё і (2/а)] - / 2.

При а = 1 получаем для DZ^* выражение из п. 3.2.1, которое равно 0,0269. Однако расчеты показывают, что дисперсия DZ^a) будет мини мальной при а = ао~1,81, когда DZ1-““) =0,0040.

§4. Интегралы, зависящие от параметра

4.1.Использование зависимых испытаний. Предполо жим, что требуется приближенно вычислить значение интеграла

HX) = с$ f ( P , \ ) p ( P ) d P

(40)

при нескольких значениях действительного параметра?-., например ?і=?ч, . . . , К,. Если при каждом из этих X условие применимости простейшего метода Монте-Кар ло выполнено

DZ = f )- (Р, X) р (Р) dP - 1- (к) < со,

то можно записать оценку для І(Х):

Ѳіѵ (Л) ^ (1/ Л о І - т - Д ) ,	(41)
1=1

где Qi, . . . , Q.v — случайные точки с плотностью р{Р).

124

ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ

[ГЛ. 3

Оценка (41) справедлива при каждом из интересую щих нас значении Ль • ■• , ks. Если функция f(P, к) не прерывно зависит от к, то и ѲЛ-(Л) будет непрерывной функцией от к. Вычислив ѲЛ.(Лі), . . . , 0Л'(Л3) мы, конеч но, получим значения, отличные от І(к\), . . . , /(Л,), но эти значения будут расположены па гладкой кривой. Если N достаточно велико, то кривая 0*(Л) окажется достаточно близкой к I(к) п по значениям ѲЛ.(ЛЛ) можно будет даже оцепить производную I'(к) (если опа суще ствует) .

Несколько неожиданным может показаться утверж дение, что результаты п. 1.2 не дают достаточного осно вания для применения оценки (41). В самом деле, из

(4) следует, что вероятность неравенства

I 0д: (к) - / ( к ) | < VDZ (k)/N

(42)

приблизительно равна ß (если N достаточно велико). Это справедливо при каждом Л = лЛ. Но нельзя утверждать, что вероятность одновременного выполнения нескольких неравенств (42) при к = к \ , . . . , ks тоже равна ß.

Формула (4) позволяет оцепить все ошибки |Ѳ,ѵ(ЛЛ) — —/(Л*) |, если для каждого k = k h вычислять 0Л. (kh) по независимым испытаниям, т. е. считать, что

/ (?,/,) ^ (1/ЛО 2 / (Qi,к, кк),

і'-М

где Qi,h при /= 1 , 2, . . . , N; /г = 1, 2, . . . , s — незави симые случайные точки с плотностью р(Р). Однако в этом случае приближенные значения интеграла даже при очень близких к могут различаться между собой на

величину порядка YDZjN и результаты расчета не дают верного представления о разностях /(Л,І+і)—I(kh). (Кро ме того, при таком расчете приходится вычислять в s раз больше случайных точек.)

Пример. Вычислить интеграл

/ (к) = [ cos 7.x dx = к ~ 1sin 2к

для Л«=0,2; 0,4; . . . ; 2,6.

§ 41		ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА						125
							Т а б л и ц а 2
?.	I М	0°	0+	l'lfl	1 (/.)	0°	0+	Гц.
0 ,2	1,947	1,929	1,929	0,01 1,0 —и, 036		—0,628	0,190	0,3d
0 ,4	1,793	1,722	1,732	0,04	1,8 —0,246	—0,851	—1,040	0,31
0,6	1,553	1,401	1,474	0,08 2,0 —0,378		—0,955 —0,299		0,31
0,8	1,249	0,997	0,915	0,14 9 9 - 0 ,4 3 3		—0,939 —0,175		0,30
1,0	0,909	0,551	0,377	0,19 2,4 —0,415		—0,814 —0,056		0,20
1,2	0,563	0,105	0,627	0,24	2,6 —0,340	—0,600 -0 ,1 6 3		0,28
1.4	0,239	—0,300	0,348	0,28
	По формуле				10
					10
			01« № = 0.2 V «*2лТі
					і=і
проведены		два расчета, результаты которых даны в табл. 2 и на
рис.	43. В	первом	случае для расчета всех			0ю(А) использовались

одни и те же уі> • • ■ . Ѵю приведенные на стр. 108; соответствующие результаты обозначены кружками: Ѳ°. Во втором случае для расчета каждого Ѳю(Я) использовались новые случайные числа (образованные из пятерок цифр таблицы на стр. 29jj, которые выбирались подряд); соответствующие результаты обозначены крестиками: Ѳ+.

126

ВЫ411СЛЕН1ІЕ ИНТЕГРАЛОВ

[Г Л . 3

На рис. -13 отчетливо видно, что значения 0° расположены на гладкой кривой, сходной с /(X) (непрерывная линия), а значения 0 Н разбросаны около /(X). В табл. 2 приведены также вероятные ошибки

П Д О — 0,675

=	0,675-10—1/2 [2 - X - 1 sin 2Х (Х ~‘ sin 2Х - cos 2Х)]12.
Значение Д '= 10	невелико, и нельзя быть уверенным в том, что рас

пределение 0 ю достаточно близко к нормальному. Поэтому интересно отметить, что все ошибки 0 10(Х) — / (X) по порядку равны /'1о{Х).

На протяжении многих лет метод (41) неоднократно и с успехом использовался в самых различных расчетах, по строгое обоснование его было впервые опубликова но лишь в 1962 году А. С. Ф р о л о в ы м и Н. Н. Че н цовым [92]. Этому же вопросу посвящены работы [67, 78, 84]. В дальнейшем изложении мы следуем статье [78].

4.2. Вспомогательная теорема о погрешности просте шей квадратурной формулы. Допустим, что для прибли женного вычисления интеграла

/ = \ І (-Ѵ) dx

используются .V фиксированных точек х'і, . . . , хіѴ, при надлежащих интервалу (0, 1), и простейшая формула

/ ~ ( 1//Ѵ )І / (л-,). 1=1

Погрешность такого приближения зависит от функции fix):

			N	I
	б (/)		= (1/АО 2	/ (X,) - .[/(X) dx.		(43)
			і-І	0
Обозначим		через \Ѵ'2 (L) множество			непрерывных
функций	f(x)	с	кусочно непрерывными		производными
П а-) , такими,		что	1
			1
			І [/' (*)]3 dx < ZA			(44)
			b
По сравнению с § 2 здесь мы сужаем класс подын
тегральных функций: там				требовалось	только,	чтобы
[(х )е О ,	а здесь — }'(х) езАо.

§ О и н т е г р а л ы , з а в и с я щ и е о т п а р а м е т р а 127

Обозначим	через S K(x) количество точек				х,- с номе
рами 1^ /^ іѴ ,		удовлетворяющих		неравенству х,-<х.
Нетрудно проверить, что			N
			N
		S n О) =	Ъ е{х — л-,),
			!= 1
и представляет		собой ступенчатую		функцию	(рис.	44).
Т е о р е м а	5.	Каковы бы ни были точки хь . . .				, л',Ѵ(
верхняя грань погрешности (43) равна					'2
			I I	т I	'2
sup	I б (/) I =		Ц \|5 л-0) -	Л'ѵГ- dx\	.	(45)
/ewyo			'o	'
Д о к а з а т е л ь с т в о .			Функция f(x) может		быть	вы
ражена через свою пропз-

получпть,	что		Рис. 44,
J	I	1	Рис. 44,
	I	1
	\ n t ) d t = n 1) -	I‘n o t dt.
	о	d
Вычитая	последнее равенство	из	предпоследнего, полу
чим формулу для погрешности
	è ^ = i r U ' (о W	-	(OJ dt.	(4 6 )
	è ^ = i r U ' (о W	-	(OJ dt.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 3213 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ