книги из ГПНТБ / Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло

G8

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

[ГЛ. 2

о б р а з о в а н и и

к о о р д и н а т

Пусть 0,-=

£,■ (.ѵ'і• •••>

х „),

і = 1, 2, ...,

п, — взаимно однозначное

дифференцируемое отображе­

ние области В в пространстве х х

, х„

на область•В' в пространстве

У і, ... , у „ .

Если плотность

случайной

точки Q =

( | , , , . . , £„)

я В

равна Pq{x I,

то плотность

случайной точки

Q ' = ( i } , ......... і]„)

в В’, где 11,- = gi (?! , .

., 1„),

равна

P q ’ {Уі

>• • ■. У„) — Pq (-Н .......... х п)

д (хг...... *„)

.........Уп)

в правой части

х,- должны быть выражены через у іш

Д о к а з а т е л ь с т п о . Пусть D ’ — произвольная область внутри

В', а D — ее прообраз при рассматриваемом отображении. Очевидно,

P{Q e£>} =

Р {0 ,е Д '} . По

правилу замены

переменных в интеграле

P { Q s d }

J

pQdx1 . . .

д

( х 1 ...... *„)

dxn

dy, ■■■dyn,

D

д (Уі.........Уп)

а по определению плотности Pq ?

Р {Q 'e D '} =

j pQ.(y ,........ yn) dyx . . dyn .

D’

2.4. 1.

П р и м е р . С л у ч а й н а я т о ч к а Q р а в н о м е р н о р а

п р е д е л е н а в ш а р е x2+ y 2-\-z2< R2.

Обозначим через £, и, С декартовы координаты точки Q. Их сов­

местная

плотность распределения в шаре постоянна- Pq (x , у, г) =

динат достаточно громоздки

(см. ниже п. 3.2.1). Поэтому перейдем

к сферическим координатам

(рис. 23):

х = г sin 0 cos ф,

т /= г sin 0 sin ф,

z = r c o s 0 .

Pq (г, 0, ф)

= (3 rüR

3) (2 ' s i n

0) ( 2 л ) - 1

п, следовательно, сферические координаты Гд,

Ѳ0 ,

<Pq точки Q цела-

нпепмы.

Уравнения

(11 )

для их

нахождения можно записать

так:

0

Ф(э

л

® sin 0 rfO

R* ~

Г

d(р

J

1 1 '

J

2

- 1 - * ' ' J

2 л - Ѵз-

0

0

0

Отсюда получаем

широко распространенные формулы

rQ =

R V У1>

COS0Q = 2 т2— 1,

ср0 = 2 л у 3.

(И)

Е, = f g

s in Oq cos ф ^ ,

т] = r Q s in 0 Q sin epg, ^ =

r Q c o s 0 (?.

2.4.2.

П р и м е р .

В ы б о р с л у ч а й н о г о

н а п р а в л е н и я

для любого телесного угла Q

,,

GO

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

[ГЛ. 2

Легко

видеть, что если

Q — случайная точка, равномерно

рас­

пределенная в шаре * 2+ i/ 2+

2 2< / ? 2, т о направление ее радиуса-век­

тора обладает нужным нам свойством. Действительно, если Q, и

—

два

равных телесных угла,

то объемы соответствующих нм шаровых

секторов равны (рис. 24),

и вероятность того, что точка

Q попадет

в каждый из них, одинакова. Поэтому из (14) получаем

формулы

для

выбора «случайного» направления.

cos0 =

2yi — 1,

ф= 2лу2.

(15)

cüj = cos cp ]/"і

— c o s 2 Ѳ

, со., =

sin ф У 1 — cos2 0,

со

cos Ö.

2.4.3.

П р и м е р

[8].

С л у ч а й п а я

т о ч к а

Q

=

(t1( .

£

п о д ч и н я е т с я

п - м е р п о м у

н о р м а л ь н о м у (гауссовскому)

р а с п р е д е л е н и ю с математическими

ожиданиями

М Е-о,- и вто­

рыми моментами

М [(!;— я,-) ( |;— aj)] =Ьң.

Определитель

матри­

цы ß=(& ,-;-)

положителен: Aß >

0.

Плотность такой случайной точки выражается формулой

P q

X») =

Ас

\

—

сі і (хі - ° і) ( хі

“/)

1

',/=1

~

Г

где С =

(с,у)

— матрица обратная,

по отношению к В,

а Дс — ее оп­

ределитель.

Как известно, линейным преобразованием координат

можно

привести

положительно

определенную

квадратичную

форму, стоя­

векторные обозначения: если и = ( с д , . . . ,

и о = (су.........ц;[) —

векторы, то их скалярное произведение

1=

1

если С =

(с j..) — квадратная

матрица

(1=^л, /^ л ) , то

w = Cu — это

вектор с компонентами ш,- =

П

сіаиа ;

квадратичная с[юрма выра-

СС-—1

жастся через скалярное произведение

Ё

са

(хі -

°і) (x j -

ai) = (c ix — «) ■ * -

«)•

і,І= 1

Выберем новые координаты

уи . . . »

уп, и пусть х —а = Ту. Тогда

('С ( х - а ), х - а ) = (СТу, Ту) = (Т'СТу, у),

где Т ■— транспонированная

матрица

Т.

Последнее выражение обра­

тится в

[у,

у),

если

Т'СТ = Е — единичная матрица. Отсюда

62

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

II'Л. 2

0 < г/< 1 ,

то, повторяя рассуждения п. 1.5, получим для

бы

упростить

формулы счета.

В

и.

3.2 плотность

Рч(х,

y ) = p Q(r)

зависит только от

г,

и

моделируются

полярные координаты точки Q. В пп.

3.3

и 3.4 %— это

сит только от расстояния

до начала координат

Г = V Х2+ у2

Pq(x>У)= с{г) при

R i ^ r < R 2.

По формуле (11) для вычисления р и 0

получим урав­

нения

р

2я І гс (г) dr = yL,

0 (2я)-> =

у.,.

(18)

«I

Вычислив р и 0, нетрудно найти

и декартовы

коорди­

наты точки Q:

р sin 0.

ë= pcos0, т]=

3.2.1.

П р и м е р. Случайная величина £ определена в интерва

точки

Q, равномерно

распределенной

в круге x2+ y 2< R 2. В самом

деле,

если Pq (х, у) =

(я /?-)- 1 в этом

круге, то

’

‘V

~

у) dy =

2

,-------

при |х| <

R.

р- (х) =

)

pQ ( х ,

V R'— x'-

—Vr--x*

Из формулы

(18)_при c(r) = (я/?2) -1, ßi = 0, R ? = R

получаем

явные

формулы р = R У Ѵі> 0 = 2яу2.

Таким образом,

I

=

R У'ѵі cos 2-чѴз-

Если в этом примере сразу применить метод обратных функций

для моделирования £, то уравнение

(4)

F(£) = у Для нахождения |

окажется весьма сложным:

г а) = 4 "+ і г arcsin х

+ i J k

V R2- ^ = V-

3.2.2. П р и м е р .

С л у ч а й н а я

в е л и ч и н а

С н о р м а л ь н а с

параметрами (0;

1)

pt (х) =

(2 я Г 1/2 е~х'/2, 0 <

X <

оо.

Pq (х . У) = Pt (х) рц (у) = (2л)-1 e- '’*'2 ,

0 < г < ш .

Р

[ re~r^2dr = 1 — ylt

0 = 2яѴаі

b

так что р =

У —2 In уг Следовательно,

£ =

У — 2 In у! cos 2луа.

'1 =

У — 2 ln Yi sin 2лу...

(19)

64

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

(ГЛ. 2

Формулы

(19),

полученные в [107],

позволяют по двум случай­

ным числам Yi и у2

сосчитать сразу два

независимых значения слу­

рами (0; 1), то случайная величина

І = оС+а

нормальна с параметрами (н; а).

3.3 Метод суперпозиции. Допустим, что функция рас­

пределения F(x) интересующей нас случайной величины

I представима в виде

т

ckFk (х),

(20)

F (а) = 2

/і=і

где все Fh(x) — также функции распределения, а

с(1> 0 .

Из (20) при А'-э-оо следует,

что С |+ ...+ с т = 1 .

Следо­

( .

2

-

\

^2

• ** Сп\ /

так что P{ii =

Ä} = Cft.

•уі

и

уг— независимые случай­

Т е о р е м а

5.

Пусть

ные числа. Если

по числу

-уі

разыграть значение ц = к

Д о к а з а т е л ь с т в о . Воспользуемся

теоремой о пол­

ной вероятности и вычислим функцию

распределения

величины I, построенной в теореме:

Р {I < х} = 2 Р {I < 4п = /е} Р (т) = k} =

6=1

m

Fk (x) ck = F (x),

=

/ 0 =

1

что и требовалось доказать.

встречаются тог­

Функции распределения вида (20)

да, когда мы имеем дело со смесью случайных

величин.

Например, если у нас всего N деталей, среди

которых

Nh деталей

с функцией

распределения

«времени жиз­

ни» Fh(t),

k = \, 2, . . . ,

m, то функция

распределения