книги из ГПНТБ / Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло
.pdf198 |
Р Е Ш Е Н И Е Л И Н Е П П Ы Х У Р А В Н Е Н И И |
Н 'Л . 5 |
|
|
Итак, строим цепи г-*-к1-*-к2 |
.. ., вы- |
|
числяем вдоль цепей веса |
|
||
|
Ң7 |
••• ö*t—1*гг |
(66) |
|
Ргк,Рк,к, • • • Pki-ltii |
||
и случайные величины |
|
||
|
|
||
|
É[e(r,] = 2 1w,fkr |
(67) |
|
Если количество цепей N достаточно велико, то
. N
|
|
|
' |
S = 1 |
|
|
|
|
где t[e (rl], — значение |
£[е(г)], |
полученной |
на |
s-й цепи. |
||||
5.4. Обращение матрицы. Пусть задана квадратная |
||||||||
матрица |
B = ( b aр), |
l ^ a , |
ß ^m . |
Требуется |
вычислить |
|||
элементы |
обратной |
матрицы |
С = (с ар), удовлетворяю |
|||||
щей соотношению ВС— Е, |
где |
Е — единичная |
матрица: |
|||||
|
|
|
/1 |
0 |
... |
0\ |
|
|
|
Е = |
0 |
1 |
... |
о)- |
|
|
|
|
|
|
Іо |
о |
... |
\ ) |
|
|
Если все собственные значения ра матрицы В удовлет воряют условию
I Ца 1 I < 1г
то задача эта может быть решена' методом последова тельных приближений*). В самом деле, обозначим через
А матрицу |
(68) |
А = Е —В. |
Легко проверить, что собственные значения матрицы А равны' '1—Ца и, следовательно, попабсолютной величине меньше единицы. В силу этого сходится ряд
И |
С = і |
А1 |
|
|
|
■ ;=о |
|
|
|
||
|
|
0 0 |
ОО |
|
|
ß C = ( £ - Л) " = С - Л С = |
2 |
= £ |
**). |
|
|
______________ |
1=0 |
і=1 |
|
|
|
*) |
Более общий случай см. упражнение 6 стр. 209. |
|
|
||
**) Для запоминания можно заметить, что |
ряд (Д — И)-1 |
=з |
|||
СО |
|
|
(1—? )_1 = |
ОС |
|
*= |
аналоі'ичен геометрической |
прогрессии |
2 |
* |
|
(-0 |
|
|
|
і=о |
|
§ 51 РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ 109
Докажем, что если матрица А удовлетворяет усло виям теоремы 8, то для того, чтобы вычислить элемент
сг/ матрицы С, можно |
использовать цепи п. 5.3; надо |
|||||
лишь, |
кроме ф = е (г), выбрать еще f = e (r'). |
где |
||||
В |
самом деле, мы |
видели, |
что |
М£[е(г)] — zT, |
||
2Г—г-я компонента решения уравнения |
(56). Однако это |
|||||
решение равно |
|
|
|
|
|
|
|
z = |
2 |
A‘f = |
С/, |
|
|
|
|
і= 0 |
|
|
|
|
так что его г-я компонента есть |
|
|
|
|||
|
|
|
т |
|
|
|
|
2г |
= |
2 Сеос/ос* |
|
|
|
|
|
|
а=1 |
|
|
|
В частном случае, когда / = е (г), получим, что zr= |
сГГ', |
|||||
что и требовалось доказать. |
|
|
|
|||
Подставив в (67) вместо / вектор е{г), получим со ответствующий этому случаю метод Монте-Карло: при достаточно большом N
|
Сгг' |
|
|
ЩІЧ=П J s |
|
(69) |
||
|
|
|
|
|
|
|||
здесь |
снова s — номер |
цепи, |
а сумма с |
условием |
||||
(і|Аі==г') означает, |
что суммируются |
только |
те |
Wit для |
||||
которых номер ki=r'. |
|
|
|
|
|
|
||
5.4.1. |
Ч и с л е н н ы й |
п р и м е р : |
найти |
матрицу |
С, |
обратную |
||
к матрице |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/2 |
О 0\ |
|
|
|
|
|
В = |
|
1/2 |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
1/ |
|
|
|
собственные значения которой, очевидно, равны р 1 = р2= 1 /2 , рз=1.- Сперва по формуле (68) вычислим матрицу
1/2 0 0\
А = 2 1/2 0 .
0 0]
200 |
РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ |
[ГЛ 5 |
Затем выберем матрицу вероятностей перехода, допустимую по от ношению к матрице Л, например:
1 |
0 |
0 |
|
|
1 |
1 |
0 |
(70) |
|
( М = 2 |
2 |
|||
|
||||
1 |
0 |
0 |
|
элементы С|1, С\о 11
пинающиеся с £0= ' '= 1 Так как в первой строке матрицы (70) лишь Ри=^=0, то все цепи окажутся одинаковыми:
/е0= 1, = I, /?2= 1. . . .
Веса вдоль такой цепи меняются на множитель Яц/рц = 1/а=
Ч3*7о |
IV |
_1_ |
4 ’ '' ‘ |
Осреднение в (60) не нужно, достаточно одной цепи для получении точного результата
|
си — 2 |
^ |
= 1+ Т + Т + |
= 2, |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
С і„ = |
2 |
W t = 0 ; |
|
|
|
Г, = 0. |
|
||||
|
" |
№;=2) |
|
|
|
|
|
:3) |
|
|
|
|
2) |
Столь же просто оцениваются элементы с31, с32 |
и с33: цепь на |
||||||||||
чинается с é o = r = 3 ; так как |
в третьей строке |
матрицы |
(70) |
лишь |
||||||||
один |
ненулевой |
элемент |
р3і = |
1, то |
й і= 1 , |
далее |
й2= 1 , |
А3= 1 , |
. . , |
|||
Итак, |
все цепи будут одинаковыми |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
&0==3, |
^1= |
1, |
&2= 1 , /Сз = |
1, . . . , |
|
|
|
|||
а соответствующие веса |
(с |
учетом |
того, что <з31/р31 = |
1) |
равны |
|
||||||
|
Й70 = 1, 1 ^ = 1 , |
|
W t = - j . П,/з = Т ' |
|
|
|
||||||
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с31 = |
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jLi |
|
= |
1 + Т |
+ Т + |
|
••• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
(% =і> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сд2 = |
s |
w t = |
0, |
сзэ = |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
(і'ІЙ£=2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) И только для вычисления с2і, с22 и с23 нужно действительно строить случайные цепи, начинающиеся с Ііа= г = 2, и производить
расчеты. Впрочем, в этом случае различные типы цепей легко клас сифицируются, ибо во второй строке матрицы (70) лишь р2| и р22 отличны от нуля.
5 51 |
РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ |
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ |
£ 0 1 |
||
Цепь, |
начало которой |
Л0 = 2, |
может несколько раз оставаться п |
||
£ і= /г 2 = . |
. .— kf — 2. Mo |
если |
окажется, что/т( .і.| = 1 , |
то дальше |
|
уже все |
^t+x ~ * н -2 ~ ■ • -= 1 - |
Следовательно, общий |
вид |
такой |
|
цепи (0 ^ Ц < ° ° )
* „ = ■ * ! = . . . |
= ^ = 2, kl + l = k l+2= ... = 1. |
(71) |
Соответствующие такой цепи веса легко вычислить: так как а22Іі>22= .
= 1, о2і/р2і == 4, ац/р\\ = |
Чг, |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
Г 0 = Щ = ... = |
Wt = 1; |
11"ж |
= |
4; WV+2 = 2, |
Г (+8 = |
1. ... |
||||
Интересующие нас суммы весов вдоль такой цепи равны |
|
|||||||||
V |
^ = 4 + 2 + 1 + 1 / 2 + . . . = 8 , |
|
|
|||||||
07кі=Ц |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
fl7( = |
f + l , |
V |
Ц7. = 0. |
|
|
||||
(£/*£=2) |
|
|
|
('•/*/=3) |
|
|
|
|
||
Из этих соотношений сразу следует, |
что с2) = 8, |
Соз= |
0. |
|
|
|||||
Оставшийся элемент с22 можно вычислить аналитически, если за |
||||||||||
писать, что вероятность получить |
цепь |
(71) |
равна |
(см. |
начало |
|||||
стр. 39) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Ркі'Реі = (1/2)<+І» |
|
|
|
|
||||
и вместо формулы |
(69) |
воспользоваться |
точным |
выражением для |
||||||
математического ожидания |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
с,., = М |
У |
|
117. = |
у.а + |
1) 2 ~ (/+І) |
= |
2. |
|
||
|
('/*і=2) |
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
Итак, обратная матрица С равна
/2 0 0\
С = 8 2 0 .
\2 0 1)
Конечно, в общем случае (когда в матрице А много ненулевых
элементов) разнообразие цепей столь велико, что заменить формулу (69) аналитическим расчетом невозможно. Заметим также, что по цепям, начинающимся с кй=г, можно одновременно вычислять все
crr' с г '= 1 , 2, . . . , т, ибо каждое W, входит в сумму 2
{llki=r’)
при одном и только одном г',
5.5. |
Решение |
дифференциальных |
уравнений Лапл |
са и Пуассона. В ограниченной связной области G |
|||
плоскости |
X, у с |
простой границей |
G0 рассмотрим |
2 0 2 РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ІГЛ. 5
дифференциальное уравнение с частными производными
|
|
d2u/dx2+ d2u!dy2= F (x, |
у), |
(72) |
где и— и(х, |
у ) — искомая функция. Уравнение (72) |
при |
||
F(x, |
t/)= 0 |
называется уравнением |
Лапласа, а |
при |
F (х, |
у) ФО —уравнением Пуассона. |
|
|
|
Предположим, что на границе G0 задана некоторая функция g(x, у) (часто пишут g(S), где S — длина дуги границы, отсчитываемая от какой-нибудь фиксирован ной точки). Требуется
|
|
|
|
|
найти |
|
такое |
|
решение |
||||
|
|
|
|
|
и(х, у) |
уравнения |
(72), |
||||||
|
|
|
|
|
которое на границе совпа |
||||||||
|
|
|
|
|
дает с g(x, у): |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
и(х, |
у) |
Co= g . |
(73); |
||||
|
|
|
|
|
Задачу об отыскании ре |
||||||||
|
|
|
|
|
шения |
|
уравнения |
(72), |
|||||
|
|
|
|
|
удовлетворяющего |
гра- |
|||||||
|
|
|
|
|
зывают задачей |
Дирихле. |
|||||||
|
|
|
|
|
Для |
приближенного |
|||||||
|
|
|
|
|
решения этой задачи [63, |
||||||||
|
|
|
|
|
88] выбирают на плоско |
||||||||
|
|
|
|
|
сти |
достаточно |
мелкую |
||||||
|
|
|
|
|
квадратную сетку с ша |
||||||||
|
|
|
|
|
гом |
h |
(рис. |
53). |
Коорди |
||||
пусть |
будут |
|
y,=lh, |
наты |
узлов |
этой |
сетки |
||||||
X j = j h , |
а |
значения |
и (xh |
у,) |
к |
||||||||
F(xjt у,) для краткости |
обозначим щл и Fj%l. |
Узел |
(/, |
I) |
|||||||||
называют внутренним, |
если и он, и все четыре соседних |
||||||||||||
с ним узла (/—1, /), ( /+ 1, I), |
(/, /—1), |
(/, |
/ + 1) |
принад |
|||||||||
лежат |
G+G0, в противном случае узел |
(у, I), |
принадле |
||||||||||
жащей G+G0, называют граничным. |
|
|
|
заменяет |
|||||||||
Во внутреннем узле |
(xh yt) |
уравнение (72) |
|||||||||||
ся разностным |
уравнением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
И/+М — 2к/,/ + “/—U |
+ |
u!,l+1Т~ 2“/Ц + ul,l-1 |
= FІ.н |
|
|||||||||
|
к2 |
|
|
к1 |
|
|
|
|
|||||
которое можно переписать в виде
иІ , і = |
(“/ - і . / + иі + l.l ^ |
1 “t“ и i . i+ i ~~ |
/,/)• |
(74) |
РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ |
203 |
В граничных узлах полагают |
|
иі>I— gh !• |
(75) |
(Значения gh , «сносят» с ближайших точек границы G0.) Решение алгебраической системы (74) —(75) при /г-»-О приближается к решению задачи Дирихле для уравне ния (72).
Если перенумеровать все узлы, принадлежащие G-j-G° (в произвольном порядке), и переписать в том же
порядке уравнения (74) и (75), |
то получим |
систему |
|||
вида (55) |
|
|
|
|
|
ТП |
|
fa, a = |
1,2, . . . , III |
|
|
Ча = 2 |
tfaßflp |
+ |
|
||
\т — количество |
узлов), |
с |
весьма |
своеобразной |
матри |
цей А: внутреннему узлу с номером а отвечает строка аа1, . . . , flam, в которой 4 элемента равны 1/4, а осталь ные— нули; граничному узлу с номером а отвечает стро
ка |
a a l = |
aK2= . . . = a < x m = 0 ; |
все диагональные элементы |
f l a |
a = 0 . |
(Можно доказать, |
что все собственные значения |
такой матрицы по абсолютной величине меньше едини
цы.) Свободные члены |
этой |
системы равны /а= |
= — (1/4)Ii2Fa, если узел |
номер а |
внутренний, и fa= g a, |
если узел номер а граничный.
Воспользуемся методом п. 5.3. и построим метод Монте-Карло для расчета иТ— значения решения в одном (заранее заданном) узле. Выберем матрицу переходов
'flap, если узел номер a внутренний, ^aß, если узел номер а граничный
[(бар — символ Кронекера: 6aa = l, бар=0 при аф$)'. Процесс построения цепи по такому закону оказыва
ется очень наглядным: 1) начинаем с k0— r; 2) если узел ki внутренний, то с одинаковой вероятностью XU выбира ем в качестве k i+\ номер одного из соседних с ним узлов; 3) если узел kt граничный, то цепь останавливается:
ki= ki+i—ki+2—• ■•
Расчет весов Wi вдоль такой цепи также чрезвычай но прост: пока цепь не попала на границу \Vq— Wi= ,..
204 |
РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ |
[ГЛ. 5 |
||||
Поэтому случайная |
величина |
(67) |
оказывается |
равной |
||
|
|
£ = |
fk, + /fe, + |
• • • + |
/*;, |
(76) |
где /г,- — номер первого выхода |
цепи иа границу. В (76) |
|||||
все |
fk0........ fk. j |
вычисляются |
по |
формуле |
/'а= —1 |
|
— (1/4)Іг2Ра и лишь последнее fhi равно значению gH- |
||||||
|
З а м е ч а н и е . |
Если вместо |
граничных условий (73)’ |
|||
заданы более сложные условия, например: |
|
|||||
|
[сіи+с2(ди/дх)+с3 |
{duldy)]c»= g, |
|
|||
то уравнения (75) наряду с uhl будут содержать также значения иа в некоторых соседних узлах. И случайная цепь, попав на границу, останавливаться не будет.
П р и м е р . |
Пусть |
и(х, |
у) — решение |
уравнения |
Лапласа |
|||||||
(д2иІдх2) + {д-и/(іу2) = 0 |
в единичном |
квадрате |
O ^ .v ^ l, |
Ostysj; 1, |
||||||||
удовлетворяющее |
граничным |
условиям |
и(х, |
0 ) = 0 , |
и (0, у] = 0, |
|||||||
»(.V, 1) = X , н(1, у ) = і /. |
Вычислить значение м(1/2, |
1/2). |
|
|
||||||||
|
|
//•? |
1/2 |
J/4 |
|
1 |
|
|
||||
|
■Ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
<ю-----ф ------ щ т |
|
|
|
|||||
© ------ © |
|
<Ф-----ф ------ ©1/2 |
|
|
||||||||
©— |
<ь |
© ------ © |
■©//# |
|
|
|||||||
ф -— |
©■ |
© — |
©■ |
|
|
|
|
|
||||
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
X |
|
|
|
|
|
Рис. |
54. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Выберем в квадрате |
сетку |
с |
шагом |
/г = 1/4 |
и перенумеруем уз |
|||||||
лы так, как это указано на рис. 54.. Для |
уравнения |
Лапласа форму |
||||||||||
ла (76) еще более упрощается: C = g fti, |
|
так что |
С равно |
значению g |
||||||||
в том узле, в котором цепь попадает на границу. |
Возле |
каждого |
||||||||||
граничного узла на рис. |
54 проставлено |
значение |
g |
для |
нашего |
|||||||
примера. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 5] РЕШЕНИЕ ЛІШЕПНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ 205
Для построения цепей воспользуемся таблицей случайных цифр, приведенной на стр. 295. Если случайная инфра е окажется 0 или 4, то будем перемещаться в соседний узел справа; если е равно 1 или 5,
то будем перемещаться влево; если е равно 2 или 6, то перемеща
емся вверх; |
|
если |
е |
равно |
3 |
или 7, |
то |
перемещаемся |
вниз; |
значения |
||||||||||||||
е, равные 8 |
пли 9, |
опускаем. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 3 |
|||
6 |
|
5 |
|
1 |
|
|
|
|
|
5 |
0 |
7 |
5 |
|
6 |
|
6 |
|
1 |
|
|
5 |
|
5 |
т |
|
- |
|
<- |
|
|
|
|
~ ^ |
1 - |
|
t |
|
? - |
|
13—12— 11 |
||||||||
13—18—17—1G |
|
|
13— 12—13—8—7—12— 17—16 |
|
||||||||||||||||||||
|
6 |
6 |
|
|
|
|
|
4 |
3 |
4 |
|
|
|
|
5 |
|
6 |
5 |
|
|
5 |
|
1 |
|
|
т |
г |
|
|
|
|
|
- |
|
1 |
- |
|
|
13—12— 17—16 |
13— 12— 11 |
|||||||||
13—18—23 |
|
|
13—14—9—10 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
2 |
3 |
3 |
2 |
4 |
3 |
7 |
|
|
|
|
7 |
5 |
|
7 |
|
0 |
2 |
|
6 |
|||
|
|
Т 4 4 1 -* 4 4 |
|
|
|
|
I - |
|
1 |
|
-*■ t |
|
f |
|||||||||||
13—18—13—8—13—14—9—4 |
|
|
13—8—7— 2 |
13— 14—19—24 |
||||||||||||||||||||
|
1 |
6 |
|
0 |
3 |
|
3 |
3 |
|
|
|
|
4 |
2 |
|
5 |
|
0 |
2 |
|
|
2 |
|
2 |
- |
|
t |
- |
4 |
|
; |
4 |
|
|
13—14—19—18—19—24 |
|
t |
|
1 |
||||||||||
13—12—17— IS—1 3 - 8 - 3 |
|
13— 18—23 |
||||||||||||||||||||||
4 |
5 |
5 |
|
5 |
|
|
|
|
3 |
7 |
|
|
|
5 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
13—14—13— 12— 11 |
|
|
1 |
1 |
|
|
13—12—11 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
13— 18—3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
В табл. 3 приведены |
16 |
случайных цепей. |
В первой строке запи |
|||||||||||||||||||||
саны использованные случайные цифры, |
во |
второй — схематически |
||||||||||||||||||||||
указано направление перемещения, а |
в третьей — сама |
цепь |
(номе |
|||||||||||||||||||||
ра kl). |
Соответствующие этим |
цепям |
значения |
С равны 0, |
0, |
0, |
1/2, |
|||||||||||||||||
1/4, 0, 0, 0, 0, 3/4, 0, |
3/4, 1/2, |
0, |
0, 0. Среднее арифметическое этих ве |
|||||||||||||||||||||
личин дает |
нам |
приближенное |
значение решения в точке (1/2, |
1/2):1 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
\_ |
|
|
|
1 |
10 |
г |
= о |
17 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
и |
2 |
|
|
|
—г V |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1(5 XJ. |
|
|
|
|
*' • |
|
|
|
|
|
|||||
Из эмпирической оценки дисперсии |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
іб |
|
|
|
1 |
/І6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Di: |
|
_і_!Д.о |
|
|
|
|
|
0,081 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
"V ‘2 |
|
|
|
|
S1t , |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
15 |
1 |
~s |
|
15 |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
следует, что вероятная ошибка |
г1в = |
0,675 ]^D^/16 « |
0,05 . |
|
|
|
||||||||||||||||||
Точное |
|
решение |
рассмотренной |
|
задачи и=ху, |
так |
что |
|||||||||||||||||
и (1/2, 1/2) = 0,25, и фактическая ошибка расчета равна 0,08.
206 |
РЕШЕНИЕ ЛПНЕПНЫХ УРАВНЕНИЯ |
[ГЛ. 5 |
Метод настоящего пункта позволяет вычислять реше ния разностных уравнении, аппроксимирующих диффе ренциальные уравнения. Связь таких задач с блуждани ями по сетке была впервые установлена в [113]. В § 3 гл. 8 указан метод Монте-Карло для решения задачи Дирихле, не связанный с разностными уравнениями.
5.6. Случай очень большого числа переменных. Мет ды Монте-Карло, изложенные в §§ 2, 3, 4, часто исполь зуются в вычислительной практике, так как классиче ские численные методы решения интегральных уравне ний в многомерном случае приводят к весьма сложным расчетным схемам. Методы настоящего параграфа, на против, сравнительно редко используются, так как эти задачи хорошо решаются численными средствами линей ной алгебры. Пожалуй, только в задачах с большим числом переменных методы Монте-Карло могут успешно конкурировать с методами линейной алгебры [115].
Предположим, |
что требуется |
оценить |
одну |
компоненту |
гг ре |
||
шения |
2 системы |
(55), |
у которой |
все |oaß |
| < 9/m , |/а |< с , |
н 9 < І . |
|
В этом |
случае ряд гг = |
fr-\- (А[)Г+ (4 г/)г + . . . |
сходится |
быстрее, |
|||
чем геометрическая прогрессия c+cq+cq2-\-. .. , и при заданной точности можно ограничиться каким-то определенным количеством t
слагаемых:
|
|
|
= |
2 (А'і)г. |
|
(77) |
|
|
|
|
і=0 |
|
|
Будем считать, |
что |
/^ 3 . |
Для |
того чтобы |
по компонентам |
вектора |
A'f вычислить |
все |
компоненты |
вектора |
необходимо |
проде |
|
лать т2 умножений |
(операциями сложения, |
как более простыми, мы |
||||
пренебрегаем). |
У вектора |
A{f |
'нам нужна |
лишь одна компонента |
||
(A{f ) r. Следовательно, общее количество умножений, затрачиваемых
при расчете по формуле |
(77), |
равно |
( / — і ) т 2+/?і. |
|
|
Рассмотрим теперь |
метод |
п. 5.3. |
Пусть все Paß = ^Іт > это |
зна |
|
чит, что каждый номер |
ki с равной |
вероятностью |
может принимать |
||
значения 1,2, . . . . /л независимо otA,-_! . Такой |
выбор можно |
(см. |
|||
стр. 46) осуществлять по формуле А,-= 1 + Д (т у ), где у — очередное случайное число.
Для реализации цепи с такими |
вероятностями |
перехода |
надо: |
||||||
1) выбрать А0= г ; 2) |
выбрать |
k\ и |
найти |
элемент |
|
; |
3) |
выб |
|
рать k2 и найти eÉ ftjn |
т. д. до |
a kt_ Jkf . |
Значение |
случайной ве |
|||||
личины (67), |
соответствующей |
(77), |
будет |
вычисляться |
по |
формуле |
|||
I = 2 |
w Jkr |
где \Ѵ[ = |
|
WQ= |
1. |
|
|
||
|
|
|
|
|
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. 5 |
|
|
|
207 |
||||||||
Если матрицу |
яа р |
заранее умножить |
на т, |
то на расчет одного |
|||||||||||||
значешшС будет затрачнааться всего 3/ умножении |
(/« на у, mak( |
|
|||||||||||||||
на |
|
и fk[ на 't7,-) • |
и если |
для |
достижения |
требуемой точно |
|||||||||||
сти придется вычислить |
N цепей, |
то |
общее количество умножений |
||||||||||||||
при таком способе расчета |
равно 3tN+ m2. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Очевидно, расчет методом Монте-Карло будет экономичнее, чем |
|||||||||||||||||
расчет по формуле (77), |
если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
(7—2)пР+іп>ЗШ. |
|
|
|
|
(78) |
|||||||
Легко показать, |
что |
величина N — количество |
цепей, необходи |
||||||||||||||
мое для |
достижения |
заданной |
вероятной |
ошибки — ограничена |
при |
||||||||||||
in -у оо |
и |
/->-оо. |
В самом |
деле, как известно, /V пропорционально днс- |
|||||||||||||
Персии |
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
t |
9£ <С с ( I — Я) ~ *» |
|
||
D£. Ыо |
|
|
|
так как |
|с| |
sg с ^ |
го |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£=о |
|
|
|
|
D C <c2(l—q)~2. |
Последняя |
граница |
ни |
от |
т, |
ни |
от / не зависит. |
||||||||||
Квадратному |
|
неравенству (78) удовлетворяют |
все т такие, что |
||||||||||||||
|
|
т > [ — 1 + |
У 1 + |
12/(/ |
— 2)Nl/[2(( — 2)]. |
|
|||||||||||
Так как |
/Ѵ3>1, то |
это неравенство |
можно |
заменить более простым |
|||||||||||||
|
|
т > V |
12/ (/ — 2) N/{2 (/ — 2)] = |
/З М //(/ — 2). |
|
||||||||||||
Наконец, |
так как |
|
при / ^ 3 |
отношение |
//(/—2 ) ^ 3 , |
то последнее |
не |
||||||||||
равенство, а вместе с ним и (78), будет выполнено |
при любом /^ 3 , |
||||||||||||||||
если только |
|
|
|
|
|
|
|
_ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
т > |
3 / |
N. |
|
|
|
|
|
|
||
Например, если |
N = 900, то |
метод |
|
Монте-Карло выгоднее, |
чем |
||||||||||||
расчет по формуле |
(77), для систем порядка т > 9 0 . |
|
|
||||||||||||||
Упражнения к главе 5
I.Рассмотрим произвольную функцию R(P, P') из L2(Gy,G)
решение г(Р) уравнения (25), представимое в виде |
сходящегося |
ряда (28). Чтобы вычислить квадратичный функционал |
(Rz, z) ме |
тодом Монте-Кпрло, можно использовать пары независимых слу
чайных траекторий (Л. В. Майоров, А. М. Суховой [49]). |
|
||||
а) |
Пусть две |
траектории |
типа Тх (Q0 |
Q, -* •• •) |
» |
(q0 |
Qj—y ■ • |
-)строятся по плотностям |
|
|
|
|
р W o). Р (Qi-i>Qi) ч |
p' (Q q). p' ( Q / _i . Qy) |
|
||
соответственно. Определим случайную величину |
п> зависящую |
от |
|||
пары таких траект’орий: |
|
|
|
||
|
R (ö 0l Qn) |
00 |
|
|
|