книги из ГПНТБ / Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло

Ошибки этих значений 0ю — /= 0 ,0 2 2 и Ѳ'ю — /= 0 ,0 0 8 близки к соот­ ветствующим вероятным ошибкам /‘ю = 0,014 и /'ю==0,007.

3.2. Метод существенной выборки. До сих пор рассматривали интегралы вида (12) и использовали при вычислении их случайные точки с плотностью р{Р). Предположим теперь, что требуется вычислить абсолют­ но сходящийся интеграл

где область G может быть как ограниченной, так и неог­ раниченном, и квадрат функции f(P) не обязательно ин­

ма по отношению к любым f{P). Вообще же допустимая

ибо вне множества G+ функция f ( P ) = 0.

Согласно п. 2.1 для приближенного расчета /0 можно использовать независимые реализации Qi, . ■. , Q.v слу­ чайной точки Q и оценку

0* = (lM0 S Z o(Qf)-

і=і

Вероятная ошибка этой оценки зависит от дисперсии DZ0(Q), которую нетрудно вычислить: так как

не обязательно конечна. Естественно поставить вопрос о выборе р(Р) так, чтобы минимизировать DZ0.

мая плотность р{Р), дисперсия DZo^DZ0. А это легко доказывается с помощью неравенства (1), стр. 292:

С л е д с т в и е . Если подынтегральная функция f(P)] не меняет знака в G, то, DZ0 = 0.

110 ВЫ'ПІГ.ЧПІНЕ ИНТЕГРАЛОВ [ГЛ. 3

Отметим, что плотность р(Р) тождественно равна пулю в области Go, в которой f ( P ) = 0. Этот результат согласуется с выводом из теоремы 1, что область, в ко­ торой /(P )s= 0, выгодно при интегрировании исключить.

В действительности использовать плотность (31) для расчета интеграла (28) нельзя, ибо в (31) входит значе­

бон задачу, эквивалентную по трудности исходной зада­

по возможности пропорциональной |[(Я)|. Такой метод выбора р(Р) часто приводит к величинам Z0 с неболь­ шими дисперсиями. Он был предложен Г. Капом [142] и называется методом существенной выборки (importan­

вклад которых в /0 более существен, будет выбираться больше случайных точек.

Возможна и другая интерпретация целесообразности выбора р(Р) пропорционально f(P) (в случае знакопо­ стоянной f{P)): чем ближе Z0= f (Р)ІР(Р) к постоянной, тем меньше дисперсия DZ0(Q).

Очень сложные плотности р(Р) использовать не ре­ комендуется, так как тогда процесс реализации случай­ ных точек Q с плотностью р(Р) станет очень трудоем­ ким. Заметим, что для вычисления интеграла

/о = f2U(Р) р (Р) СІР

а

не обязательно использовать оценку Ѳд-: можно приме­ нить какой-нибудь из методов п. 3.1.

П р и м е р . Интеграл

1

/= j exdx I

0

рассмотренный в пп. 2.3 п 3.1.1, можно представить в виде

1

I = (3/2) f е* (1 + х )~ хр ( a ) dx,

о

119 ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ (гл . s

выбрать ограниченную область GeczG так, что j f(P)dP < Е ,

G - G в

и строить оценку для интеграла по области Ge. Вместо этого можно попытаться заменой переменных преобразо­ вать G в конечную область. Однако наиболее естествен­ ным, по-впднмому, надо считать использование метода существенной выборки. И в этом случае также рекомен­ дуется включать особенность в плотность, т. е. выбирать р{Р) так, чтобы отношение f(P)/p(P) стремилось к по­ стоянной при |Р | -> оо, Р еС .

3.2.3. О д и н т и п и и т е г р а л о D с о с о б е н н о с т ь ю . Об значим через G шар .v24-//2+ z 2< P 2. Во многих разделах физики и ме­ ханики встречаются интегралы вида

\ \ h ( P , Р ')р ~а(іР(іР',

G G

А. Для того чтобы вычислить интеграл (33) простейшим методом Монте-Карло, выберем две независимые случайные точки Q н Q', рав­

она содержала такую же особенность, как подынтегральная функция. Так как р (P.P') = P q (Р) Pq’(P' 1 Р)> то точку Q будем по-прежнему

считать равномерно распределенной в G: pQ (Р) э 1/КС.

Для определения р^,{Р'\Р) перенесем начало координат в точку

Р и выберем сферические координаты г', O', q/ с центром в Р (рис. 38).

Направление (из точки Р) условимся задавать единичным вектором ш, а расстояние по этому направлению от точки Р до границы шара G назовем /( ш). Пусть

a дисперсия этой величины равна

DZ = (4jiPg)2 (3 — а )~ 2 ff hm ~ 2ap dP dP' — 13.

äa

Так как функция Л(р) ограничена, а I не превосходит диаметра шар* G, то последний интеграл сходится, и

дисперсия DZ конечна при всех а < 3 . В. Из-за симметрии задачи интег­ рал (33) может быть сведен к трех­ кратному. В расчетной схеме методов Монте-Карло этот факт учитывается «автоматически», если при реализа­ ции случайных точек принимать во внимание симметрию. Чтобы показать это выведем расчетные формулы для

соображений симметрии ясно, что

ау = «= Я/ у .

В способе А точка Q' также равномерно распределена в G. Из со­

ображений симметрии ясно, что можно ее выбирать в плоскости q' = 0 и считать, что

xQ' = rQ sin 0r yQ = 0. iQf = rQ, z o sö y ,,

где cos Ѳу, = 2у' — 1, rQ, = R f r y ! _

Получаем следующий алгоритм для расчета / методом А:

1)Формулы для і-го испытания

§ И- (M. Соболь

пую величину £, равномерно распределенную в этом ин­ тервале, и величину Z = (ö —cr)f(g). Так как МZ = I 0>то простейший метод Монте-Карло приводит к оценке ин­ теграла

ь —(7 N ни

0jv = “ Т ~ V £—1

где |і, . . . , І.ѵ — независимые значения |.

Рассмотрим теперь симметризованную функцию

интеграл которой по-прежнему равен /0, и пусть Zm =

= {Ь—a)fn>(g). Ввиду того, что MZ(,)= /o, можно за­ писать симметризованную оценку интеграла

а математическое ожидание квадрата Z равно