книги из ГПНТБ / Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло
.pdfS3 |
ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ |
ІГЛ . 3 |
приведена на стр. 293:
Л*
Ф{х) = (2/}'Г2п) J e - ‘24L
О
Следовательно, при достаточно больших значениях N
Р {|іѵ - а \ < х У Щ ш ) ~ ф (X). |
(3) |
Формула (3) содержит целое семейство оценок, завися щее от параметра х. Если задать любой коэффициент доверия ß (см. стр. 31), то можно найти (по таблице) корень х= х$ уравнения Ф (д') = ß. Тогда из (3) вытекает,
что вероятность неравенства
— а\ < ѴЩІЫ |
(4) |
приблизительно равна ß.
Чаще других используют коэффициент доверия ß=a; = 0,997, которому отвечает .Vß = 3, или ß = 0,95, которому отвечает хр=1,96. (Значение Xß=3 соответствует так на зываемому «правилу трех сигм», ибо случайная величи
на £дг приближенно нормальна и ее среднее квадратич
ное уклонение а= У DhJN.) |
|
иной по |
||
1.3. |
Вероятная ошибка метода. Несколько |
|||
ход к оценке ошибки |
связан с понятием |
вероятной |
||
ошибки |
|
|
|
|
|
Гң = |
0,6745 ]/D |7jV. |
‘ |
(5) |
Численный множитель 0,6745, фигурирующий в (5),— это значение х$, отвечающее ß = 0,50. Название «вероят ная ошибка» вызвано тем, что
Р (IIw — |
а |О л ') л* 1/2 ä Р ІІІуѵ — а| > |
rN], |
|
т. е. одинаково |
вероятны |
ошибки, большие |
чем rN, и |
ошибки, меньшие чем гх. |
|
|
|
Величина гх часто используется на практике для ха рактеристики порядка ошибки: действительная ошибка
I gjv—аI зависит от использованных в расчете случайных чисел и может оказаться в 2—3 раза больше, чем rN, но может быть и меньше. Таким образом, используя гх, мы оцениваем порядок ошибки, а используя (4)— верхнюю границу ошибки (с коэффициентом доверия ß).
5 П |
МЕТОД ОЦЕНКИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЖИДАНИИ |
89 |
1.4. |
Эмпирическая оценка дисперсии. Как |
правило |
когда мы приступаем к расчету Mg, значение дисперсии Dg неизвестно. Хорошую теоретическую оценку для Dg удается получить редко. Однако в большинстве задач
величину |
Dg |
нетрудно оценить эмпирически, в ходе |
|
расчетов |
а. В |
самом деле, |
достаточно одновременно |
с вычислением |
вычислять |
также Z(g<)2; так как при |
|
больших N |
|
|
|
(1/Л0 2 І (SO®«М(£*), і=1
то из (2) видно, что
D£ä (i/;v) S (S,-)2 — |
It |
( ) |
||||
|
|
i—I |
|
6 |
||
|
|
|
|
|
||
Формулу (6) постоянно используют на практике. |
||||||
Правда, ниже в п. |
1.7 доказано, |
что при |
небольших |
|||
N более точна формула |
|
/V |
|
|||
|
|
N |
|
1 |
|
|
Dg: |
' N- |
|
( I t ) * |
У |
(7) |
|
|
N [ N - 1) |
|||||
|
;=і |
|
Ѵ Й |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
отличающаяся от предыдущей множителем (1— 1//V). Но в расчетах, выполняемых методами Монте-Карло, всег да Л7^> 10, и р'азинца между (7) и (6) невелика. К. тому же надо иметь в виду, что Dg используется только для оценки ошибки, так что погрешность порядка 10% в значении Dg роли не играет.
1.5. Оценка ошибки без расчета дисперсии. Буде по-прежнему считать, что дисперсия Dg конечна. Допу стим, что по каким-либо причинам (иногда из-за от
сутствия |
места |
во внутреннем накопителе |
ЭВМ) мы |
не можем |
(или |
не хотим) одновременно с 2g,- |
вычислять |
также 2(gi)2. Оценку погрешности gN—а тем не менее
можно получить.
Предположим, что N — mN\, где т — небольшое на туральное число /д ^ З , а Ni настолько велико, что рас пределение случайной величины
I = Ш х ) 2 It |
(8 ) |
і=1 |
|
90 |
ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ |
[ГЛ. 3 |
(где |ь |
. . . , £,ѵ, — независимые случайные |
величины, |
распределение которых совпадает с распределением £) можно считать близким к нормальному (по той же цент ральной предельной теореме). Очевидно, М£ = а.
Вместо того чтобы сразу вычислять | w, разделим за дачу на пг «вариантов» и вычислим пг величии, которые можно считать независимыми реализациями £:
Воспользуемся теперь следующей теоремой Р. Фише ра [24, 44].
Если %і, — независимые одинаково распре деленные нормальные (гауссовские) случайные величи
ны с математическим |
ожиданием а, то случайная ве |
личина |
|
где |
|
m |
m |
подчиняется закону распределения Стыодента с (пг—1)-й
степенью свободы*). Это означает, что для любых
*І<*2
Р {хх < t < х2) = J sm_i (Л') dx.
где нормировочная постоянная
§ I] МЕТОД ОЦЕНКИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЖИДАНИИ 91
В нашем случае |
величины £і, . . . , |
приближенно |
нормальные; М£к= а ; |
-ѵ=£іѴ; |
|
|
т |
|
s2 = |
(l/m )S (Eé - ііѵ)2. |
(9) |
|
k=I |
|
Выбрав А'з= —хі = х, получим приближенное равенство
|
|
____________ |
X |
|
Р (|ëw — «I < |
xV s-/{ni~ 1)) ä ; 2J sm_i (y)dy, |
|||
|
|
|
|
о |
которое будет |
тем |
точнее, |
чем ближе распределение £ |
|
к нормальному. |
приведена |
таблица |
корней x = t m3 урав |
|
На стр. 294 |
||||
нения |
|
|
|
|
2 1 sm (у) dij = ß.
о
Если задан коэффициент доверия ß, то по этой таблице нетрудно найти соответствующее значение лг=/т_іір и записать окончательную оценку: вероятность неравенства
ІІ/Ѵ— «I < 1,р j/^s2/(m — 1) |
(10) |
приблизительно равна ß.
Оценка (10) подобна оценке (4), но вместо неизвест |
|
ной дисперсии |
сюда входит эмпирическая величина |
sг, которую легко вычислить по формуле (9). Однако,
вообще говоря, оценка (4) применима при |
меньших N. |
|
Неравенство (10) позволяет определить также веро |
||
ятную ошибку метода (5): |
|
|
г,ѵ = t„i-1, 0,5 V |
— !)• |
(И) |
Оценка (10) использовалась в некоторых работах автора и, неза |
||
висимо, в работе Г. Г е р ц е л я и М. |
К а л о с а [127]. |
|
1.6.Случай D |= oo . Из п. 1.1 вытекает, что беско
нечность дисперсии не препятствует приближению к а. Однако последующие оценки погрешности теряют си лу. Из (4) видно, что в случае конечной дисперсии ошиб ка убывает как N~u2. При D | = oo порядок убывания ошибки оказывается хуже. Поэтому обычно рекомендует ся избегать методов расчета, в которых дисперсия осредняемей величины бесконечна.
92 |
ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ |
|ГЛ. 3 |
Тем не менее в некоторых задачах такие методы ис пользуются. Оценки погрешности при D£= oo имеются
вмонографии [33] (см. также статьи [144, 176].)
1.7.Замечание. О некоторых терминах, употребляемых в мате матической статистике [24, 44].
Независимые реализации £і , . . . . £ді случайной величины £ назы ваются выборкой. Предположим, что закон распределения величины!; зависит от некоторого параметра а. Любая функция от выборочных значении ф( | і , . . . , | л,) , используемая в качестве приближения к а,
называется оценкой а. Если Мф = а, то оценка ср называется несмс-
Р
щенной. Если ф — >- а при N — >- оо, то оценка ф называется состоя тельной. При небольших Л' более существенно отсутствие смещения,
при больших — важнее состоятельность.
Очевидно, оценка (1) представляет собой несмещенную и со стоятельную оценку математического ожидания а.
Легко доказать, что оценка дисперсии
(ПЛОТ] і=і
фигурирующая в (6), смещенная. В самом деле,
М (ІЛѴ) 2 |
Щ - І Ъ = |
М (S2) — М (!;ѵ) = D i - D l A |
|||
i=i |
|
|
|
|
|
ибо Mg = MgjV. |
Из |
(1) следует, что D |jV = |
Dg/УѴ. Поэтому |
||
М |
|
N |
|
|
|
|
t 2 |
€2 |
= (1 - |
\/N) D|. |
|
|
=£ |
Ьді |
|||
Несмещенную оценку дисперсии дает формула (7). |
|||||
Рассмотрим |
две |
функции |
ф (£і , . . . , s w; |
ß) и ф" ( |і. ■• •, I n I ß)- |
|
Интервал (ф', ф") называется доверительным интервалом для пара метра а с коэффициентом доверия ß, если вероятность неравенства
ф '< а < ф " равна ß:
Р { ф '< а < ф " } = ß.
В приведенных выше оценках (4) и (10) использованы довери тельные интервалы для среднего значения а нормальной случайной
величины: в первом случае — при известной дисперсии, во втором —
при неизвестной. Так как величины £.\' и £/г лишь приближенно (асимптотически) нормальны, то вероятности неравенств
Іц - *э V Ö W < a < lN + Xfi V W Ü
и соответственно
ІД1 ~ ~ * т — l,ß*/Vт |
1 < а < І.ѵ “Г ^ _ , , рх /]^ Г = 1 |
лишь приближенно равны ß
§ 2] |
ПРОСТЕПШИП МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО |
93 |
§2. Простейший метод Монте-Карло для вычисления интеграла
2.1.Простейший метод Монте-Карло. Обозначим че рез G произвольную область (ограниченную или неогра
ниченную, связную или несвязную) ПЛОСКОСТИ X, у. Точ ки плоскости будем обозначать одной буквой Р— (х,у), а элемент площади dP = dxdij. Рассмотрим задачу о приближенном вычислении интеграла
/ = |
U(P)P(P)dP, |
(12) |
|
о |
|
где р(Р) — некоторая |
заданная плотность |
вероятностей, |
определенная в G, так что f р (Р) dP — 1. |
|
|
|
G |
|
Заметим сразу, что любой интеграл |
|
|
|
J 7 ( Р ) А Р |
|
по о г р а н и ч е н и о й |
области G можно считать интег |
|
ралом вида (12).. Действительно, если площадь G обоз |
||
начить через SG, то pi(P) = l/Sa при P ^ G |
представляет |
|
собой плотность вероятностей случайной точки, равно мерно распределенной в G. Если ввести функцию fi{P) = - Sa - f ( P) то, очевидно,
J 7 ( Р) A P = j f i ( Р ) р Л Р ) АР.
Чтобы построить метод Монте-Карло для расчета ин теграла (12), рассмотрим случайную точку Q с плот ностью р(Р) и введем скалярную случайную величину Z«=/(Q), математическое ожидание которой равно ис комому значению интеграла
MZ = I f (Р) р (Р) dP =» I. |
(13) |
|
|
в |
|
Для расчета МZ можно использовать оценку (1). |
|
|
Итак, если Qі, |
. . . , QN— независимые реализации |
|
случайной точки |
Q. и Zi~f(Qi), . . . . ZN— f(QN), |
то |
оценкой интеграла |
(12) служит величина |
|
N
Ѳ* - (1/ло JS Z,. |
(14) |
94 |
ВЫЧИСЛЕНИЕ |
ИНТЕГРАЛОВ |
(ГЛ. 3 |
|
Очевидно, |
М0к= /, и если существует M|Z|, то, соглас |
|||
но п. 1.1, |
оценка On |
/. |
В рассматриваемом |
случае |
M |Z |= а$\f(P)\p(P)dP.
Следовательно, если интеграл (12) сходится абсолютно, то 0іѴсходится по вероятности к I.
П р и м е р. Требуется вычислить интеграл
|
со |
|
|
|
|
/ = ( |
( (.ѵ) e~kxdx, |
|
где ft> 0 . |
|
6 |
|
|
|
Выберем |
плотность |
p{x)=k e~kx |
п |
функцию / i— k~1f(x). Если |
£,: -значение |
случайной |
величины £ |
с |
плотностью р(х), то оценка |
интеграла
/і (ІО = (АЛО-1 2 / ( 5 , ) .
i=i i=i
Находить значения | можно по формуле (7) гл. 2. Поэтому формулу для вычисления / можно записать в виде
/ » (ЛіѴ) 1 V / ( - f t - 1 In Ѵ/),
i=i
где Yi, . . . . YjV — независимые случайные числа.
В дальнейшем вычисляются только абсолютно схо дящиеся интегралы. Однако метод Монте-Карло позво ляет вычислять и условно схо дящиеся интегралы, если пре образовать их надлежащим образом (см. упражнение 5
гл. 3).
2.2. Геометрический метод Монте-Карло. Предположим, что в области G
0 s£ /(P )< c . |
(15) |
Втрехмерном пространстве х,
у, z рассмотрим цилиндриче
|
|
|
скую |
область G = G><(0, с) |
Рис. |
34. |
(рис. |
34)', а в G рассмотрим |
|
стью р(х, |
у, |
|
случайную точку Q с плотно |
|
z) = (\/с)р(х, у). |
Очевидно, проекция точ |
|||
ки Q на |
плоскость я, у |
представляет собой случайную |
||
ПРОСТЕЙШИЙ МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО |
|
05 |
||
точку Q = ( |, г|) |
из п. 2.1 (с плотностью р(х, |
//)), |
а тре |
|
тья координата |
Q, назовем ее |
не зависит |
от | |
и ц и |
равномерно распределена в интервале 0< 2<;с, так что
ее плотность pi(z) = |
1/с. |
Выберем N независимых реализаций . Qi............QN |
|
случайной точки Q; |
обозначим через ѵ количество то |
чек, оказавшихся ниже поверхности z — f(P), |
и составим |
оценку |
|
. 0* = cvjN. |
(16) |
Дискретная случайная величина ѵ подчиняется распреде
лению Бернулли Р{ѵ = |
пі} = С'ѵ рт(1—p),v-m(m =0, 1,. . . |
|
. . . , N), |
где р — вероятность того, что точка Q окажет |
|
ся ниже |
поверхности |
z=f(P) . Вычислить эту вероят |
ность нетрудно: |
|
|
Р = |
Р IS < / (Е, Л)} = |
J d x d y |
I |
'ріх, у, z) dz = (1 /с)І. |
||||
|
|
G |
|
0 |
|
|
|
|
Так как M v = N p = (\/c)NI, |
то |
из (16) |
вытекает, что |
|||||
• ^ |
|
|
р |
следует из известной тео |
||||
М0,ѵ = |
/. Сходимость 0,ѵ---- >І |
|||||||
ремы |
Бернулли о сходимости |
частот |
к |
вероятностям. |
||||
Впрочем, оценку |
(16) |
также можно |
представить в |
|||||
форме (1). Введем случайную величину Z, зависящую |
||||||||
от точки Q— (I, ip £): |
|
|
|
|
|
|
||
|
с, |
если |
£ < /(£ , |
г]), |
|
|||
|
2 = |
|
если |
£ > /( £ , |
Ч). |
|
||
|
.0 |
, |
|
|||||
Если точкам Qb . . . , Qx соответствуют значения Z |
||||||||
• .., 2;Ѵ, то |
|
|
|
|
|
|
•. |
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
Ѳ,ѵ = |
(UN) |
У. Ь. |
|
'(17) |
|||
|
|
|
|
|
і=1 |
~ |
— Р |
|
И поэтому утверждения |
о том, |
|
||||||
что МѲ,\-=-/ и Од/-----* 1 |
||||||||
вытекают также из результатов § 1. Абсолютная сходи мость интеграла (12) следует из ограничения (15).
Геометрический метод представляет собой обобщение метода в:.т- числешш объема, рассмотренного во введении. В самом деле, если
96 |
|
ВЫЧИСЛЕНИЕ |
ИНТЕГРАЛОВ |
[ГЛ. 3 |
||
область Q ограничена и p(P)*a\/Sa при Р е G, то |
при больших N |
|||||
|
|
vJN ж І/с = |
ѴІѴ~, |
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
где V— |
$f{P)dP — объем |
части |
G, ограниченной |
сверху поверх- |
||
|
G |
у), а 1Л~ = c S fl— объем |
всей |
цилиндрической |
||
ностыо z — j(x, |
||||||
области Ъ. |
|
|
|
|
|
|
2.3. |
Сравнение |
точности |
методов |
Монте-Карл |
||
В оценке (14) |
фигурируют значения случайной величины |
|||||
Z = /(Q), гДе |
Q — случайная |
точка с плотностью р{Р). |
||||
Так как |
для |
существования дисперсии DZ необходимо |
||||
и достаточно, чтобы существовал второй момент |
||||||
|
|
M(Z3) = |
J 7 2(P)p(P)cfP |
(18) |
||
(ср. (2)), то условием |
применимости оценок погрешно |
|||||
сти § 1 в рассматриваемом случае служит существова ние интеграла (18)*).
Если через L2 обозначить множество функций f(P), для которых интеграл (18) сходится, то требование схо димости этого интеграла можно записать в форме/(Я) е
e L 2. В тех случаях, когда |
важно указать область G и |
|||||||
плотность р{Р), будем писать, что /(P )e L 2(G; р). |
осред- |
|||||||
Итак, |
если |
f(P)i=L2(G; р), |
то |
дисперсия |
||||
няемой величины Z в простейшем методе и. 2.1 ко |
||||||||
нечна: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
DZ = j /- (Р) р (Р) dP - |
Р. |
|
(19) |
|||
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
Рассмотрим |
теперь геометрический |
метод |
п. 2.2. |
|||||
В оценке |
(17) |
осредняются |
значения случайной величи |
|||||
ны Z, для которой |
|
|
|
|
|
|
||
|
М(22) = с2Р { £ < /(£ , і))} = с/, |
|
||||||
так что дисперсия |
DZ = |
с/ - Р. |
|
|
(20)*У |
|||
|
|
|
|
|
||||
*) Из |
сходимости |
интеграла |
(18) |
следует |
абсолютная |
сходи |
||
мость интеграла (12), |
ибо |
|
|
|
|
|
||
|
У \ n P ) \ p ( P) d P ^ |
< |
(Р)Р(Р) dP. |
|
||||
§ 2] ПРОСТЕЙШИЙ МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО 97
Сравним величины |
(19) и (20): если 0 ^ /( Р ) ^ с , |
то |
I Г (Р) р (Р ) dP < с I / (Р) р (Р) dP = с/, |
|
|
С |
G |
|
следовательно, |
|
|
|
DZ<DZ. |
(21) |
Неравенство (21) показывает, что в каком-то отно шении простейший метод Монте-Карло лучше геометри ческого метода: при одинаковом количестве N осредмяемых величин вероятная ошибка оценки (14) будет не больше, чем вероятная ошибка оценки (17). Можно ска зать, что точность метода Монте-Карло зависит от дис персии осредняемой случайной величины. И простейший метод всегда точнее геометрического.
П р и м е р . Требуется вычислить интеграл
|
|
|
/ = |
С exd x . |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
Оценки |
(Ы) и (1C) |
в этом случае равны |
|
||||
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
0,ѵ = |
(1/'Ѵ) |
2 |
*Vf. |
= -/,V , |
|
|
|
|
|
1=1 |
|
|
|
где V — количество пар (у,, |
у,], |
(yA>, |
ул,) таких, |
что еу' < Л |
|||
(как всегда Уі, |
. . . ( уіѴ, У|, . . . . |
yN— независимые случайные числа), |
|||||
По формуле (19) вычислим дисперсию DZ: |
|
||||||
|
1 |
е-хіі.к — Р = |
|
|
|
|
|
D2 = |
[ |
(1/2) (е2 — 1) — ( е —- 1)2 = |
0,2420. |
||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
По формуле (20) вычислим дисперсию DZ: |
|
||||||
|
|
DZ = el — I- = |
<?— 1 = |
1,7183. |
|
||
2.4. Сравнение трудоемкости алгоритмов Монте-Кар ло. Из результатов предыдущего пункта напрашивает ся вывод, что простейший метод Монте-Карло всегда выгоднее геометрического. Однако такой вывод был бы слишком поспешным: хотя вероятная ошибка оцецкп 0,ѵ
и меньше вероятной ошибки ѲЛпри одинаковых N, но время, затрачиваемое на расчет 0іѴ, может оказаться го
раздо больше времени, затрачиваемого на расчет Ѳ*.
7 И. М, Соболь