книги из ГПНТБ / Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ

стве меры нуль, считаются тождественными.

4 . Пусть X

- пространство

всех функций, определенных на от­

резке [ 0 , l ]

и суммируемых со

степенью р вместе с производными

до порядка I.

При этом, вводя метрику на множестве X с помощью

формулы

i

P

^

-

f

l

S

^ - y

^ r

,

(4)

о

получаем функциональное

пространство

W '

введенное

в рассмотре­

ние С.Л.Соболевым.

Существует и много других функциональных пространств,

но мы

ограничимся

приведенными примерами.

Определение

5.

Последовательность элементов {хп}

метричес­

кого пространства

X

называется сходящейся в себе

или фундамен­

тальной последовательностью, если для любого числа

£>о

найдет­

ся номер W7E)

такой, что

при любых

п., m > Ж(£)

расстояние

j 3 f x „ , x j < e .

Определение

6.

Если в метрическом пространстве

X

каждая

полнить за счет введения функций, имеющих обобщенные

производные

I порядка,

суммируемые со степенью р . Пополненное

таким образом

пространство

является полным и обозначается через W p .

Определение 7. Функциональное пространство называется линей­

ным, если для него выполнены обычные, для линейного

векторного

Пространства

<Г, С '

\Ip

являются линейными.

Определение

8. Если линейное

пространство является в то же

В линейном метрическом пространстве X

вводится понятие нор­

мы элемента х (обозначается Их||) следующим

равенством

||xl!=

p\0i,O).

В этой

формуле

через о

обозначен нулевой элемент линейного мно­

жества

X . Норма элемента удовлетворяет условиям:

1)

llxi>o,

причем

/|£Ц=с, лишь если х = о ;

вом тша В . Пространства С,

С

, Lp

являются

пространствами

типа В. Введем теперь понятие функциональной

зависимости.

Определение 10 . Пусть даны два произвольных множества X и

Y

и дан закон, по которому каждому

элементу х е Х

ставится в

соот­

ветствие единственный элемент

ye Y .

Будем говорить в этом

случае,

что задан оператор у=Дэс, определенный на множестве X

, с

об­

ластью значений, расположенной в множестве У

. Говорят

также,

что

задано отображение множества

X

на множество

Y .

В том

случае,

Элемент уе У

, соответствупций элементу х е X , при отображе­

нии посредством

оператора Л , называется образом элемента ос , а

странстве Y .

Тогда

оператор

Л

называется линейным,

если:

1)

этот

оператор аддитивен:

то есть для всех зг,

и эсг

ия X

имеет

место

равенство

г)

оператор J

однороден,

то

есть для всех х е Х

и любых ве­

щественных

Л

(если

вещественно X ) или комплексных А (если

X

комплексно):

= Я / х .

МЫ

yU)=

\ J[{s.i)-x(s)

ds

(5)

где

ЛIs. i) -

непрерывная

в квадрате

o « s , 4 « i

функция. Тогда

если

xeC[o,il

то.очевидно, yeC[o,ij.

Выполнение условий I )

и 2)

определения

I I здесь очевидно. Следовательно,

оператор

J x

=

_[ Xu,i)-x(s)

ds

(6)

о

действующий

из пространства

С [о,Л

в пространстве С to,i)

яв­

ляется линейным.

Определение 12. Оператор

Л,

определенный на метрическом про­

странстве У

с областью значений

в метрическом пространстве

Y ,

стоянная М

, что для

любого

х е

X

УхП

4 Л-1хЦ

(7)

Здесь

Jx II

берется в

смысле

метрики

пространства

X

,

а

ИЛхЦъ

смысле

метрики пространства

Y.

Нетрудно убедиться в том, что линейный оператор Л , определя­

емый формулой (6)

с непрерывной

в квадрате о й s, i Й 1

функцией

J{{s, I)

является

ограниченным. Действительно,

из

(5) находим:

та/х

lyflll

<

nwux lJits,l)l

• maa

\x(S)\ .

о «. t * i

O t S . l i i

О <.S: i

Выбирая

Ж = moux

IJ{(S,l)l

О IS,

l 11

'

получаем

llpc

^JUlxilci

tft-Mxlc

,

что и означает ограниченность оператора Л . Символ

llxllc

означает

здесь,

что

норма берется

в метрике пространства

С

[о,О.

Можно показать, что в случае

оператора

(6) норма его в Cro.fl

определяется формулой

i

IIЛII = mwx

\\7i(s,{)

\ ds .

oi Ы

1 о

для любого

у е У , то

операторы

Д

и А'1

называются взаимно

об­

ратными. Если оператор JT'

удовлетворяет

лишь одному из

условий

( 8 ) ,

( 8 0 ,

то он называется левым или соответственно

правым

об­

ратным для

оператора

.

Оператор, обратный к линейному, также является линейным.

Определение 15. Пусть А - линейный оператор. Рассмотрим

на­

ряду

с ним оператор

A-XJ,

где

А

- некоторый параметр, a

J -

тождественный оператор. Допустим, что для некоторого

Л

оператор

A-AJ

имеет ограниченный

обратный

( Л - Л 7 ) ! = А д

Тогда

это

значение А

называется регулярным

значением оператора А

. Сово­

спектром оператора А . Для регулярных

значений

Я однородное

уравнение

li-Ad)x-o

(9)

имеет

только тривиальное

решение

х = о

, а неоднородное уравне­

ние -

единственное решение.

Те значения Я , для которых уравнение (9) имеет решение, от­

личное

от

тривиального ,

называются собственными

значениями опе­

ратора

А

, а соответствующие им,

отличные от тождественного ну­

принадлежат J f , то множество Ж называется

компактным в себе, ес­

ли же эти пределы принадлежат пространству

X . не принадлежа .мо­

Пример компактного множества. Пусть 'Л -

множество функции

xfi)

е

С Сол],

которые

имеют непрерывные

производные

первого

порядка, ограниченные по

модулю фиксированной константой

МЫ

«

JU .

Множество Ж компактно в

Clojh

Это следует

из общего

призна­

ка

компактности множества

Л в пространстве

<С

(теоремы Ариела),

который формулируется следующим

образом:

Для

того,

чтобы множество

Ж с

С

Lo,i]

оыло компактным,

необходимо и достаточно, чтобы функции

x(i)ej{

были равномер­

но ограничены и равностепенно непрерывны.

Определение 17. Линейный оператор

А

, определенный на линей­

ном нормированном пространстве

X , с областью

значений,

располо­

женной

в линейном нормированном пространстве

Y

, называется впол­

пространства

X в компактное множество пространства

Y.

Пользуясь теоремой Арцела, легко показать, что оператор

~Л ,

определенный

формулой ( 6 ) , с непрерывной функцией

Ж(з,{)

явля­

ется вполне непрерывным оператором, действующим из

С с о, п

в

С ЮЛ.

собственные значения

вполне

непрерывного

оператора заключены на

отрезке

[ - l l J l / ,

lAl

J

и,

в случае счетного спектра, имеют един­

ственную предельную

точку

А =

о.

Определение 18 . Пусть Л

-

нелинейный

оператор, действующий

из линейного нормированного

пространства

X в линейное

нормиро­

ванное пространство

Y.

Если для фиксированного

х„е X

и любого

he X

, существует

линейный

оператор

JteJ

[X—^Y]

(вообще

говоря,

зависящий

от

х.)

такой,

что

Jllx0 + h}

- Д(х.)

=

J'frjk

+tj(xo,h),

I ы(х„ h) I

_

Q

llhl

fl/ij—о

'

то оператор

Л (xj

называется

производной

Фреше (сильной про­

изводной) оператора Л

, вычисленной в точке

эс0 .

Производная нелинейного оператора

играет

такую же вакную роль

как и производная обычной функции.

Пример. По отношению к нелинейному оператору А,

определяемому

формулой:

i

Л(х)

= j Ji(s.t)X^S)

ds ,

о

и действующему, в случае непрерывного ядра

Tils,

I)

из

С Ю, fl в

Cio.il,

производная Фреше на элементе

x0 fs) е

Ссо.п

су­

ществует

и задается

равенством

Ах=у

( I )

где i 1 | - элементы некоторых метрических пространств

X

и Y.

По отношению к уравнению ( I ) польским математиком С.Банахом

был

Т е о р е м а

Б а н а х а .

Пусть в полном метрическом

пространстве X дан оператор Л,

переводящий элементы пространст­

ва X

в элементы этого же пространства. Пусть,

кроме" того, для

всех

xt, xz

е X

р(Лх„Лхг)

4

o t j o f x , , ^ ) ,

(2)

где

d. < i

и не

зависит

от ос1

, зсг . Тогда существует одна и толь­

ко одна точка

х„

такая,

что

Лх0=-х0.

Точка

х.

называется неподвижнойточкой оператора Л .

Доказательство этой

теоремы можно найти в различных курсах

функционального анализа

(см.,

например, [ 9 1 ] ) ,

а также некоторых

курсах дифференциальных уравнений (см. [ I I I ] ) . Учитывая важность

этой теоремы для дальнейшего

изложения курса, мы приведем здесь

ее доказательство.

Возьмем произвольный элемент

х е X

и построим последова­

тельность

fo}

с помощью процесса:

Х , = Л х ;

Х а « Л ж 1 ;

Х 3 ==ЙХ 1 ;

. . . ; « „ - - Д х ^ - , ...

Докажем, что последовательность

{ х „ }

сходится в себе. Оценим для

тельности,

используя неравенство (2):

jD(X,,Xi)= J)(JlxJxJ

«

A-ffaXj;

J)(X2,X3)=

j)(dxitJlxJ

< A-J>(X„Xj

< 0?J)(X,Xt)

;

J>lX3,^)=JiUxi,Ax3)

<S 0LJ>(Xt,X3)

< CL3-J>(XfXt) ;

Пусть теперь т и

п -

любые целые положительные числа,

связанные

условием m > п.. Тогда,

в силу неравенства

треугольника,

находим

4 ( л "

+ а " ' +

. .. + а"1 -')-^(«.х.) = ^ _ ^ • JD(OC x j .

Отсюда, при

n , m — с л е д у е т

j 5 ( x n , x m ) — ~ о ,

а это и озна­

X

по условию теоремы

полное, то сходящаяся в себе последова­

тельность

{xnJ

сходится к некоторому

элементу х о е Х . Покажем,

что

^ х 0 = х „ .

Действительно,

^ ( х . , Лх„)

« f(xc,xn)

+ j3(x„Jx„)

=

"

f K , ^ J

+j>(Axn-„ Лхл) <

jofx„, x j + <x J)Lx„.t, x„) .

Возьмем теперь любое

e>o . Из сходимости последовательности

{х^|

к

элементу

х„

следует,

что найдется

такой номер Л , что

при

n>J\f

выполнены неравенства

f

< а/г ,

j3lx„x„J

< % .

Тогда

из предыдущего неравенства следует

f(x0,lx0)<a.

В силу произвольности

е

заключаем,

что

j>lx„,Jlxo)=01

то

есть

ctfac; =oc0 .

Покажем, теперь, что элемент

а;

единственный. Допустим, что

существуют два элемента

х0 '

и

д£ ,

удовлетворяпцив

равенствам

Тогда

Последнее неравенство при <х<*

имеет место только в случае,если

х ог )= °>

то есть

осо '= х * .

Итак,

мы доказали, что оператор

А

имеет

едлиственную непод­

вижную точку. Переходя в формуле

(3) к пределу

при т - » ~ > ,

полу­

чим формулу, дающую оценку ошибки п -го приближения:

ffrn,K)

^

- j r s ; -

fix,

Ах).

(4)

Замечание. Довольно часто приходится рассматривать оператор

А. такой, что неравенство

(2) выполняется не во всем пространст­

ве

X

. а

лишь в некоторой замкнутой

окрестности точки Я.. Пусть

эта окрестность -

замкнутый яар радиуса г

с центром в точке 5с .

Обозначим его через

Six. х).

Принцип сжатых отображений

остается

в

силе при условии, что оператор

А

отображает шар

5(й,г)

в се ­

бя. При этом последовательные

приближения

хп е S(x, г)

я рассуж­

дения, приведенные выше, сохраняются. В частности, если

^)(х,Л$)«гй-а).то оператор

А , удовлетворяющий

условию

(2) , пере­

водит шар

5(5,-г)

в себя. Действительно, для любого

х е

Б(х,г)

jj(x,Ax)

<

j>(Jlx,Axl

+ JJ(Ах,

х) *z

а

это и означает, что оператор о? осуществляет сжатое отображе­

ние шара

S(xt%)

на себя. Поэтому в силу

принципа

С.Банаха,

оператор

Л

имеет в шаре

5[х,%)

единственную неподвижную

точку.

При исследовании задач математической физики их часто

сводят

к интегральным уравнениям, когорне эквивалентны исходной

задаче.

Мы приведем здесь

неоколько примеров применения принципа

сжатых

отображений по отношению к различным интегральным уравнениям.

I .

Рассмотрим на отрезке

[о, ± J

интегральное уравнение Фред-

гольма второго

рода

x(s)

= х"{5)

+ Л •

l)xd)

di

( 5

)

о

относительно неизвестной функции

x(s).

В этом уравнении

Л

-

числовой параметр,

x°(s),

J£(s,l)

- заданные функции, непре­

рывные на

отрезке

[oj]

и в области

o<.s,

соответст­

венно. Обозначим через

d

оператор, определяемый

правой частью

равенства

(5)

Лх{з)

=. x°(s)

+ Я

j Ui(s.l)xU) di

(6)

о

Лз непрерывности функции

x°(s)

и ядра

di(s.l)

уравнения

(5) следует,

что оператор

Л

переводит элементы

хеСгч п

в

элементы

того же пространства. При этом,

если

i

Щ- тшх

\ \li(s,l)\di

< 4 ,

(7)

О

iS

t1

о

то оператор

d

является

оператором сжатия. Действительно,

возь­

мем любые две непрерывные

функции

xtts),

x 2 ( s ) .

Тогда,

из

формулы. (6;

следует:

(

О

1

$

|Л|- т а л

f

1'Я(5,1)1оИ • тсих

\хШ-х^1)\

• rruvx [ jOi(s,i)jd.l

• Их -х IJ

тсих

о

O S S S 1

0

имеет единственное непрерывное на отрезке

Lo,il

решение. Это

го рода относительно неизвестной

на отрезке

1о,И

функции

x(s)

arte) = oc°tt) + {

Ш$Л) x(i) di.

(8)

Будем также считать, что

cc°(5j

- непрерывна

на отрезке

а ядро непрерывно в области

o s i ^ s

<ц.

Так

как

уравнение

(8)

является частным случаем уравнения ( 5 ) , то сразу ясно, что яри

выполнении условия

\X(s,l)l

<i

(9)

это уравнение имеет единственное непрерывное на

отрезке

[о,

решение. Однако легко показать, что уравнение (8) имеет единст­

венное непрерывное при

o < s « j

решение,

если неравенство

19)

и не выполнено. Действительно,

пусть

тал

)Ж(в,1)\ =

d>i.

(Ю)

Разобьем

тогда

отрезок

[о,{]

на конечное число

отрезков

f 5 K , 5 K , t ] ,

к= о, 1, г,

;

s „ = o ,

s w = - i ,

длина

каж­

дого из которых не превосходит

*/d . При этом задачу решения урав­

нения (8)

на отрезке

[о, i]

можно рассматривать как Л

различ­

ных задач:

ocfs) = x°js)

+

}

"Jiis.l)

sell)di,

( I I )

S K

где

x°K(s) =

x'tsj

+ j

U£(s,l)x<t)dl,

(I2)

О

к = q

i, 2, ... , M-i .

Уравнения

( I I )

должны решаться последовательно

в порядке

возрас­

тания индекса

к. , при этом на

каждом шаге функции

a^(s)-

из­