книги из ГПНТБ / Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ

продольной и поперечной волн. Для ее решения используются наблю­ дения над режимом колебаний земной поверхности, проводимые на сейсмостанциях. Энергия некоторых землетрясений настолько велика,что результат их воздействия, может быть зафиксирован в любой точке земного шара. Процесс распространения упругих колебаний внутри Земли описывается системой динамических уравнений теории упругости

поперечные волны распространяются в упругом теле Земли по тем же законам, по которым распространяются световые и звуковые волны,то есть преломляются и отражаются на границе,двух сред с различными физическими свойствами. Линии их распространения есть геодезичес­ кие линии в метрике, связанной с величиной скорости волны. Эти геодезические линии, вообще говоря, не являются прямыми линиями, если скорость не постоянна. При этом, если скорость распростране­ ния возмущений растет с глубиной, то геодезические линии, соеди­ няющие землетрясение и сейсмостанщт являются некоторыми кривыми, проходящими через внутренние слои Земли. Наблюдения, проводимые на сейсмических станциях, позволяют поставить в соответствие каж­ дому землетрясению таблицу времен пробега волн от землетрясений

10

больше под континентами, особенно увеличиваясь в районе горных массивов. Считается, что кора наиболее резко различается по сво­ им скоростнш» свойствам. Здесь налицо довольно существенное раз­ личие в скоростях распространения волн от одного района к друго­ му. Кора отделяется от оболочки поверхностью Мохо, на которой ста­ рость распространения волн имеет разрыв. Оболочка Земли (употреб­

некоторыми свойствами жидкости, а именно, через него не проходят поперечные волны. Скорость продольных волн при переходе от оболоч­ ки к ядру меняется окачком . Естественно предположить, что веще­ ство ядра отличается по своему составу от вещества оболочки.

В настоящее время рядом геофизиков построены одномерные сфе­ рически-симметричные модели распределения скоростей сейсмических

претации его применялись различные приемы, поэтому естественны некоторые различия в этих моделях. Интересно, однако, отметить, что все модели отличаются друг от друга в среднем на величину по­ рядка 10%, то есть достаточно близки. Вместе с тем в геофизике имеются в настоящее время факты, позволяющие предполагать о су­ ществовании внутри Земли неоднородности! по географическим коор­ динатам. К числу этих фактов относятся систематические отклонения в годографах волн, построенных для различных материков, от усред­ ненного годографа, асимметрия гравитационного и магнитного полей. При этом отклонения от годографов, отвечающих сферически-симмет­ ричному распределению скоростей упругих волн, достаточно малы.На­ пример, при временах пробега сейомических волн от источника воз­ мущения до приемника порядка 10-20 минут отклонения в годографах не превышают Ь-10 секунд. Это позволяет предположить, что откло­ нения скоростного строения Земли от сферически-симметричной моде­ ли также малы. Тем не менее эти малые флуктуации в распределении скоростей волн представляют для геофизики большой интерес, так как, возможно, они помогут объяснить механизм развития земной коры,воп­ рос дрейфа материков и т . д . Таким образом, задача определения трехмерного скоростного строения Земли является одной из актуаль­

12

теории обратной кинематической задачи для случая трех переменных

В последнее время появились довольно обоснованные сомнения в том, что скорость в мантии монотонно растет с глубиной. Рядом гео­ физиков высказано предположение о существовании в мантии Земли слоев с пониненной скоростью или, как их обычно называют, волно­ водов. При наличии последних обратная кинематическая задача с ис­ точниками возмущений, расположенными выше волновода, становится неоднозначной. Характер этой неоднозначности был исследован М.Л.Гервером и В.М.Маркушевичем [45,47] . 3 рамках кинематики един­ ственность задачи можно сохранить только располагая источники воз­ мущений в самом слое пониженной скорости f I I ,477 . Для некоторых районов земного шара постановка обратной кинематической задачи с источниками, расположенными внутри мантии, имеет практический смысл. Так, например, в поясе, проходящем через Курильские остро­ ва и Японию, землетрясения, происшедшие за последнее столетие, заполняют целый объем, простирающийся в глубину до 600 км. В це­ лом по земному шару землетрясения располагаются,в основном, в ко­ ре. Поэтому возможное наличие волноводов существенно ограничивает применимость кинематического подхода при изучении мантии Земли.а связи с этим все большее внимание исследователей привлекают урав­

ности Земли сейсмосганции фиксируют от землетрясений полные сейс­

различных районов земного шара и достаточно густой сетью сейсмо­ сганции можно пытаться определить по ним функции iff, , как функ­ ции географических координат и глубины. Математическая теория по­ следней обратной задачи, которую естественно назвать обратной ди­ намической задачей теории упругости, только начинает создаваться. Имеются только отдельные результаты, относящиеся к чаотной одно­ мерной модели Земли (см._ [2,3,21,28,29,44,48]).

13.

С потребностями геофизики, а именно, гравитационной и магнит­ ной разведки, связано возникновение и другой обратной задачи - теории потенциала. Общая ее формулировка заключается в следующем: вне некоторой области, ограниченной поверхностью 3 , задан потен­ циал Юбъемных масс, простого слоя, либо магнитный), порожденный телом с некоторой плотностью, лежащим внутри S% требуется опреде­ лить положение, форму и плотность тела. К такой постановке приво­ дит геофизическая задача об определении положения и формы, а так­ же плотности (либо намагниченности) тела, лежащего в однородной среде.

Рассмотрим простейшую математическую модель, связанную с об­ ратной задачей ньютоновского потенциала. Пусть в безграничном трех­

то исследование этой обратной задачи сводится к исследованию ин­ тегрального уравнения первого рода ( 1 4 ) , при заданной функции ц(х) для точек х , лежащих вне 3. Отметим, что эта задача не имеет единственного решения без дополнительных ограничений. Свя­

зано это с тем, что тела, имеющие разную плотность и разный носи­ тель этой плотности, могут создать одно и то же поле тяготения (например, тело с малым носителем и большой плотностью и тело с большим носителем и меньшей плотностью). Поэтому обычно считают заданной либо плотность тела (и тогда задача сводится к отыска­ нию носителя), либо заданным носитель при неизвестной плотности. Первая теорема единственности для обратной задачи ньютоновского потенциала в предположении, что плотность тела постоянна и зада-

14

потенциала была существенно продвинута. В настоящее время разра­ ботаны и численные методы решения этих задач. В математическом отношении, так как решения соответствующих прямых задач находят­ ся в ввде интегралов, исследование обратных задач сводится к ис­ следованию интегральных уравнений первого рода.

Некоторые вопросы астрофизики и квантовой механики привели в следующей задаче: дан спектр дифференциального оператора второго

рии дифференциальных операторов доказывается, что в случае, когда

15

случае, когда функция ^(сс) четна относительно середины отрезка [а.,6], ее можно однозначно найти но собственным числам задачи (16У-

(особенно в нерегулярных случаях) для восстановления дифференци­ ального оператора. В постановке В.А.Марченко обратная задача фор­ мулируется следующим образом: дана спектральная функция дифферен­ циального оператора (15); требуется найти этот оператор. В регу­ лярном случае, который мы рассматривали выше, задание спектраль­ ной функции эквивалентно заданию наряду с собственными числами А п , нормировочных коэффициентов

при этом произвольные множители собственных функций фиксируются

ным образом определяет дифференциальный оператор (15) . Полное ре­

функции, дано И.М.Гельфандом и Б.М.Левитаном [ 4 2 ] . В несколько другой постановке эту же задачу исследовал М.Г.Крейн [66-70] . Ряд результатов в связи с обратной задачей Штурма-Лиувилля получен и в работах В.А.Марченко [9б] , Л.Д.Фаддева [162,163] , Л.А.Чудова [166,167] и других авторов. Подробное изложение обратной задачи Штурма-Лиувилля содержится в монографиях М.А.Наймарка [105] , Б.М.Левитана [8б] , а также в постановке с данными рассеяния в мо­ нографии З.С.Аграновича и В.А.Марченко [ i ] .

Одной из важнейших в прикладном отношении задач является так­ же обратная задача электромагнитной разведки. Взаимодействие элек-

-тромагнитного поля со средой описывается уравнениями Максвелла,з которые входят в качестве коэффициентов магнитная восприимчивость,

16

димости последовательности элементов, то множество называется функциональным пространством. Зачастую для элементов множества можно ввести понятие расстояния между элементами этого множества, которое является обобщением понятия расстояния между точками в обычном числовом пространстве. С помощью этого расстояния можно затем ввести понятие предельного перехода и тем самым превратить

дельные элементы, построенные для всевозможных сходящихся после­

18

то множество X превратится в метрическое пространство, которое принято обозначать через С [0,1] . Нетрудно проверить, что аксиомы метрики 1) - 3) при этом выполнены. Сходимость к элементу х прост­ ранства C [0 ,l ] означает при этом, как нетрудно убедиться, равно­ мерную сходимость.Действительно,то что последовательность элементов

xneC[o,l] сходится к элементу хЙ) , означает согласно определению 2 , что для любого £>о существует такой номере,

зависящий только от £ , что при всех п. > Jf(a) выполнено нера­ венство

превращаем его в метрическое функциональное пространство Lp .Пер­ вые две из аксиом метрики проверяются легко, последняя следует из неравенства Минковского для интегралов:

19