книги из ГПНТБ / Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ

тура ядер

этих уравнений

несколько иная, чем у уравнения эллип­

тического

типа. Связано это с различием фундаментальных решений

этих уравнений.

Б дальнейшем части нашего курса

мы познакомимися с некоторы­

ми методами исследования

возникающих

здесь задач, и прежде все­

ратных

задач для гиперболических уравнений. На простейшей

задаче

о восстановлении функции через ее сферические средние нам будет

удобно

познакомиться с некоторыми особенностями этих задач

и

Итак, рассмотрим в трехмерном пространстве

x . , , x „ x 3

задачу

о восстановлении

функции

и1щ,э^,я3)

по известным для нее сред­

ним значениям по сферам произвольного

радиуса i

l o 4 t < < = o

) ,

центры которых пробегают

множество

точек некоторой

плоскости.

Для

удобства мы совместим эту плоскость с координатной

плоскос­

тью

х3=о

и введем для координаты х 3

специальное

обозначение

х 3 = у . Совокупность координат

х , , х а

будем в дальнейшем

обозна­

чать

через

х . Таким образом,

точка в этом трехмерном

простран­

стве

будет

обозначаться через

(х,у),

а функция

it6c,,Xj,x3 )

че­

рез

<1№,у). Пусть еще

=

) - переменная

точка

на сфере радиуса

i

, центр которой помещен в точку

(х,о). В этих

обозначениях задача

об отыскании функции и(х,ц)

по ее указанным

интегрального

уравнения

^

jj

utx+i, п)

duj=ftic,z)

( I )

при известной

функции

f(x,i) (х^о).

Через

du>

здесь обозначен

элемент телесного угла с центром в

точке

(х,о).

Естественно,что

без дополнительных предположений о классе функций, в котором

ищется решение-уравнения

( I ) , единственности решения этого урав-

ной

ц

функция

ttte,t/|

удовлетворяет

однородному

уравнению

( I )

(то

есть

уравнению

( I )

при

/(х,г) = о

) .

В связи

с

этим

ш

будем

считать,

что

щх,у)

является четной функцией

по у . Монно

было бы показать, что любая функция из

этого

класса,

обладающая

дополнительно свойством непрерывности, однозначно определяется

функцией

//х,z).

Мы докажем это предполагая,

что выполнено

не­

сколько бодее кесткое условие, а именно, что функция

Шос,ц)

не­

прерывно дифференцируема по переменным

х 1 ? э с г .

Воспользуемся для

этого

методом

Р.Куранта

[73] (глава У1, я 17)

и рассмотрим

резуль­

тат применения оператора

я

№

=

\ -ffwh,

1=1,2

'

о

к уравнению ( I ) . Последовательно проводя ряд

выкладок,

связанных

с вычислением этого оператора от левой

части

равенства

( I ) ,

и

используя

формулу

Гаусса-Остроградского,.находим

R

= ^ 1 ? <

ffl и(х+*.п№*ц=±.

§\uhix+t,Ji)dtdii

=

Здесь в промежуточных выкладках через

oiS

обозначен

элемент

площади поверхности сферы

1Иг+Чг=Я)

численно равный

Л d u ,

а через cosfn,^)

—

косинус утла между

нормалью

п

к сфере и

осью

$i , при этом использовано очевидное

равенство

C O S ( n , k ) = A .

Рассмотрим теперь

оператор

Результат

его

применения к

уравнению ( I )

приводит,

как

это

видно

из предыдущего

выражения, к

равенству

Итак, действие оператора Ц

на / равносильно вычислению

сферического среднего от функции

-и?(х,у) = u(x,y)xLj

то есть

первого момента функции и(х,у)

относительно i координаты. По­

этому, если рассмотреть результат

применения оператора

/.. к LJ,

то мы получим, очевидно

с центром в точке

(х,о)

радиуса % . Зная функцию /(х,т),

мы зна­

ем интеграл по этой сфере от функции

и(х,у).

Вычислив операто­

ры

LL (i=1,2)

от известной функции

/№,т),

мы находим момен­

ты первого порядка от функции

Щх,у)

на этой

сфере. Затем в

результате повторного применения операторов

LL

(i=i,2)

к уже

полученным выражениям, находим все моменты второго порядка на

этой

сфере по переменным

xitxz.

Но этот процесс, очевидно, мож­

бого порядка по xS7xz.

Например,. чтобы найти среднее по сфере от

функции

и(х,у) х * ' х£г,

достаточно

вычислить от функции

•fix,г)

суперпозицию операторов L±'LZ.

При этом

t

= -Ь \\ Шх+МИъ

d u ,

(3)

l$l'+7f=%*-

^ , « , = 0 , I, 2, .. .

В го же время функция Шх+^ц)

на взятой нами сфере является,

очевидно, функцией двух переменных, так как на этой сфере

ri = ± i

Учитывая ее четность относительно 1% , соотноше­

ние (3)

можно записать в виде:

ft*.-|s-x|*

Здесь через ^ = (51}5Z)

обозначена переменная -x+\. Последняя

№

/ = a M J

^

'

^

^

^

(4)

Ясно, что такими моментами функция

ср(5)

определяется

однознач­

но. В алгоритмическом отношении для

ее

нахождения можно

поступить

следующим образом. Из системы функций

i r " * - ^ * 1

(к^, к.г

= о,4,2,...)

нетрудно

построить

полную систему

ортогональных

внутри

круга

f r r - x / ^ z

полиномов

Pn Cr) =

^ ( i j , ^ )

с помощью обыч­

ного

метода

ортогонализации. Тогда коэффициенты Фурье сп

от

функ­

ция

ср(5)

по этой

системе

многочленов могут

быть подсчитаны

по

формуле

Функция

cpfe)

находится после

этого

в виде обычного ряда

Фурье.

То,

что

функция ср($)

имеет на границе круга особенность, не

яв­

ляется препятствием, так как особенность эта интегрируемая.

Итак,

мы показали,

как с помощью вычисления некоторых

опера­

торов от

функции

/(эс,т)

можно построить

функцию Щх,у)

на каж­

дой фиксированной сфере. Из самого построения ясно, что для

того,

чтобы однозначно найти функцию

а(х,у)

всюду

(в указанном выше

классе),достаточно

функцию

/fx,t)

задать

внутри сколь

угодно

тонкого

цилиндра

имеет

конечную высоту:

o ^ t ^ t „

(7„>о). Тогда с помощью описан­

ного

выше процесса мы можем найти функцию

Ш х , у )

на любой

сфере

центр, который лежит внутри круга

/ х - x j

« &, ^=о;а радиус

i

заключен в пределах от

о до т0 .

Следовательно,

функция «.fx,y)

области *Й плоскостью, проходящей через ось симметрии

х.=эс?

Итак, по функции /fx,-г),

заданной в цилиндре конечной высоты

1^ мы можем найти функции

и(х,у)

внутри области <D.

Но ,зная

X

О

Х0-£ Хо х0 +е

функцию ulx, у)

Рис.П

внутри <£),

мы можем вычислить от нее

сферичес­

кие средние по любой сфере с

центром на плоскости у=о,

которая

ду радиусом сферы t и координатами ее центра

(-х,о) выполнялись

условия

1 + |х-х°/^тс +£,

если

/ х - х ° / ^ £ ,

(5)

t s s t 0 ;

если

|-х-о:°| ^ е .

Следовательно, мы можем найти функцию

$(х,%)

в области, описыва­

Итак,

мы установили, что

задание функции /ftc.t) внутри ци­

линдра ix-x-j^E,

ОбЪ£,гс

определяет функцию /йс,т)

внутри

кругового

усеченного конуса,

у которого верхнее основание

совпа-

0 Xo-Zo-£

XD -£ Хо

Рис.12

дает с верхним основанием цилиндра, а образующие наклонены

к

плоскости

7 = о

под углом 45°. Это означает, что функцию

/(ос,г)

нельзя задавать

произвольно. Более

того, функция /fx,i)

представи-

мая в виде

( I ) ,

обладает свойством

типа аналитичности:

она

одно­

ном цилиндре J x - x 7 * e ,

p&t«x>.

В то же время ясно, что функциям

и(х,у)

неаналитическим

отвечают

неаналитические

/(х.,%1. В связи

с изложенный вше, конструктивное описание структуры множества

функций

представимте в виде ( I ) , представляет

из себя

довольно

трудную задачу.

Мы покажем сейчас, что задача

решения уравнения

( I )

является

к матш изменениям функции

/(ос, г).

Рассмотрим для этого функцию

v f M - T , = ^

' i J a(x+t>

У+71) » Ч

(6)

которая с точностью до множителя

т

представляет

из себя сфери­

ческое среднее по сфере радиуса

т

с центром в точке (ос,у ).Бу­

дем считать, что функция а(х,у)

дважды непрерывно дифференцируе­

[73, I37J)

известно

(можно в этом убедиться и

непосредственно),что

функция

"г7(х, у, t)

в полупространстве ъ^о

удовлетворяет вол­

новому уравнению

Здесь A-zy - оператор Лапласа по примененным

х, у. Непосредст­

тх(х,у,г)

обращается в нуль

V(x, у, о)

= о.

(8)

Кроме того,

из формулы

( I )

следует,

что

И, наконец,

условие четности функции

и(х,у)

по переменной

у

для

функции

чг(х,у,г)

приводит к равенству

| ^ И Г о

=

° -

( 1 0 )

Задача отыскания функции

v(x,y,i)t

удовлетворяющей уравнению

( 7 ) ,

при условиях ( 8 ) - ( 1 0 ) , представляет из

себя смешанную

зада­

чу.

Эта задача, очевидно, эквивалентна для уравнения (7) задаче

Коши с данными по пространственной переменной

ц ,

если в область

ко

функцию

/(х,т)

продолжить четным образом

и задачу

рассмат­

ривать

во

всем пространстве

х,у, х.

Покажем, что

задача

(7)—(10)

эквивалентна уравнению

( I ) . Для этого

нам достаточно показать,что

из равенств

( 7 ) - ( 1 0 ) , в которых функция

гг(х,у,

%)

связана

с

функцией

ЩХ,у)

формулой

(6), следует

равенство

( I ) . Чтобы

это

доказать, .заметим, что

при известной функции

тПэ^^х)

функция

U-t^y)

может быть найдена по формуле

u(x,^

= Jun

4

tr(^y,D

=

|

j 1Г&е,'у,г) J ^

Q

,

( I I )

которая непосредственно

следует

из

равенства

( 6 ) . Пусть

теперь

v(x,y,i)

есть

решение

задачи

( 7 ) - ( 1 0 ) . Обозначим через

и(сс,у)

предельное

значение производной по

t

от функции

v(xr-y,x)

при

•z—»-0. Тогда функция

v(ac,y,i)

удовлетворяет

уравнению (7)

и

условиям

( 8 ) , ( I I ) ,

то

есть

представляет

из себя

решение

задачи

Коши с данными по х

. Как известно, решение такой

задачи дается

с помощью формулы Пуассона, которая совпадает

с формулой

( 6 ) . Ус­

ловие (10) приводит тогда к равенству

из которого, в силу единственности решения задачи интегральной

геометрии, следует, что четная часть функции

и^сх,у)

равна

ну­

лю, то

есть

ьц-х^у) = uix,-у).

А условие (9)

приводит

к урав­

нению ( I ) , которое нужно решать в классе четных функций. Тем са­

мым эквивалентность

задачи интегральной

геометрии

и задачи ( 7 ) -

(10)

установлена. Отсюда, в частности,

следует

единственность

решения задачи ( 7 ) - ( 1 0 ) . Покажем, что

эта задача

тем не менее

не­

что малым функциям /(х,т)

могут соответствовать

немалые возмуще­

ния решения. Рассмотрим решение задачи (7) - (10) при

а, .

l

sin.

ni

f(X,1J = ^ 5

Stn n X j - S t n n X a .

При достаточно больших

п

и s

функция /fx,i)

мала вместе с

v-(x,y,z) = ^sinnx-slnnx1-&lrt

n x 2 - сАпц.

(12)

При этом решение задачи при любом фиксированном у

стремится

к

бесконечности при

Тем не свойством обладает

и функция

и(х,у]у

дающая решение

задачи ( I ) :

а(х,у} = ^ i - s ^ n пз ^ sin nxz-скпу.

(13)

Л это и означает неустойчивость задачи,

и следовательно,

ее клас­

сическую

некорректность.

Тем не менее задача

( I ) является условно-корректной,

то есть

ство т четных по переменной у

функций

Шх,у),

компактное

в про­

странстве

С (например,

ограниченное

множество функций с ограни-

ченныки заданной

константой первыми производнши) и пусть

R - M H O -

"естЕо образов

-fix,х)

функций

ulx,y)em

при отображении

( I ) .

Тогда

при условии, что решение

шх,у)ет

—решение

задачи

( I ) су­

ществует

и единственно, оно будет также и устойчиво

в силу

следу­

ющей теоремы из функционального

анализа.

Т е о р е м а .

Если Л

- взаимно

однозначное

и непрерывное

отображение

компакта т

в нормированное

пространство Ф ,

причем

Лт^/ИаФ^

то обратное

отображение

Ж~'&=т

также непрерывно.

В данном

случае, если на множестве R ввести

метрику простран­

ства

С,

то отображением

на ft, осуществляемое

с помощью равен­

ства

( I ) , будет

непрерывным и взаимно

однозначным. Следовательно,

С)

правой части /гх,т) будут соответствовать малые

изменения

его

решения. Таким образом, задача решеяш уравнений

( I ) коррект­

же на величину

п приводит к тому, что по любому заданному е > 0

можно найти такую область о&у&у*

в пространстве

что в

этой области

| w ( x , y ) / ^ e .

§ 3. Интегральная геометрия

I ,

Постановка

задач интегральной геометрии для

семейства

кри­

вых и поверхностей. В общем виде

задача

интегральной геометрии мо­

жет быть сформулирована следующим образом. Пусть

*£)- область

п -

мерного

пространства

сс = Сх1 ,хг ,...) x j ,

а

1 ш

-

семейство

кри­

вых,

зависящее от

п

параметров

( } = (£,,£г ,

причем каждая

из кривых семейства целиком принадлежит

области

£>

и соединяет

пару

точек

границы О .

Требуется найти внутри

области <D функцию

Щх),

если

относительно ее известны интегралы по

семейству кривых

/.(f)

с заданной

весовой функцией

х).•

jj)(x,V-u(x)ds

=

ггЦ).

ц )

Lit)

Здесь ds - элемент длины дуги

кривой

L($)

. В точно таком же ви­

верхностей

S(?)

произвольной

размерности s ^ n - i ,

заполняющего

область £>.

Нужно

только в формуле ( I ) заменить

на

5(f), а

ds считать

элементом площади

поверхности.

Естественно, что сформулированная в таком общем виде задача

интегральной

геометрии не будет

иметь однозначного

решения

без

тей, и на весовую функцию уэ(х,$).

Ограничения эти существенно

зависят от структуры области <D. Не вдаваясь

в общую ситуацию, мы

рассмотрим в дальнейшем два частных

случая,

когда область <£> име­

ет вид либо полупространства, либо

единичного круга. На самом д е ­

привносит в рассуждения увеличение размерности пространства.

В

связи с этим детализируем для семейства

кривых постановку задачи,

которую мы будем в ближайшее время рассматривать.

Пусть х,ц

- двумерное пространство,

<£)={(х,^): о^у^Н,

Н>о).

Будем предполагать, что каждая из кривых

L($,T2]

двупараметричес-

кого семейства

представляет из

себя непрерывную дугу, принадлежа­

щую области

"5D , концы которой

лежат на

прямой у = о

и которая

пересекается

прямыми параллельными оси

ц

не более,

чем в одной